Determine o número de vértices de um poliedro convexo de 12 faces é 30 arestas

Os poliedros são os sólidos geométricos que possuem faces formadas por polígonos. Estão presentes no cotidiano, como caixas e demais embalagens, pirâmides, construções de casas, entre vários outros objetos. Os principais poliedros são as pirâmides e os prismas. Um poliedro é conhecido como regular, ou poliedro de Platão, quando ele possui todos as faces e arestas congruentes. Existem dois tipos de poliedros, os convexos e os não convexos (côncavo). Quando o poliedro é convexo, é possível utilizar a relação de Euler para encontrar seu número de arestas, lados ou vértices.

Leia também: Características e propriedades do triângulo retângulo

Resumo sobre os poliedros

• Os poliedros são sólidos geométricos que possuem faces formadas por polígonos.

• Os principais poliedros são as pirâmides e os prismas.

• Existem também os poliedros de Platão, que são os poliedros regulares:

  • tetraedro;

  • hexaedro ou cubo;

  • octaedro;

  • icosaedro;

  • dodecaedro.

• Um poliedro pode ser convexo ou côncavo.

• Quando o poliedro é convexo, podemos utilizar a fórmula de Euler.

• A fórmula de Euler é: V + F = A + 2.

Videoaula sobre poliedros

O que são poliedros?

Conhecemos como poliedro todo sólido geométrico que possui faces formadas por polígonos, por exemplo as pirâmides, que possuem faces laterais formadas por triângulos, ou uma caixa, que possui faces formadas por paralelogramos, entre vários objetos presentes no cotidiano. Os elementos mais importantes de um poliedro são as faces, os vértices e as arestas.

Tipos de poliedros: convexos e côncavos

Os poliedros podem ser classificados como convexo ou côncavo (não convexo). Um poliedro é conhecido como convexo se ele possui as faces formadas por polígonos convexos. Ao escolher quaisquer dois pontos do poliedro, se o segmento que liga esses dois pontos pertencer ao poliedro, então ele é convexo; caso o segmento tenha partes que não pertencem ao poliedro, então ele é côncavo, como a seguir:

Veja também: O que são polígonos semelhantes?

Poliedros de Platão ou poliedros regulares

Os poliedros de Platão são casos particulares de poliedros convexos, são os poliedros regulares, ou seja, sólidos geométricos que possuem arestas congruentes e faces formadas por polígonos iguais. Conhecemos, ao todo, cinco poliedros de Platão, são eles:

• tetraedro

• hexaedro

• octaedro

• dodecaedro

• icosaedro

• Tetraedro

O tetraedro é o primeiro poliedro regular, ele tem todas as faces formadas por triângulos equiláteros, possuindo quatro faces, o que justifica o seu nome. Além disso, ele possui quatro vértices e seis arestas.

• Hexaedro

O segundo sólido de Platão é o hexaedro, conhecido também como cubo. Ele possui seis faces formadas por quadrados. Além disso, ele possui 12 arestas e oito vértices.

• Octaedro

O octaedro é o terceiro sólido de Platão. Ele possui faces formadas por triângulos equiláteros, sendo formado por oito faces, seis vértices e 12 arestas.

• Dodecaedro

Sendo o quinto sólido de Platão, o dodecaedro possui faces formadas por pentágonos regulares, sendo formado por 12 faces, 20 vértices e 30 arestas.

• Icosaedro

O sexto e último sólido de Platão é o icosaedro, com faces formadas por triângulos equiláteros. O icosaedro possui 20 faces, 12 vértices e 30 arestas.

Relação de Euler

Existe uma fórmula que relaciona a quantidade de vértices, faces e arestas de poliedros convexos. É conhecida como relação de Euler e é dada pela fórmula:

V → número de vértices

F → número de faces

A → número de arestas

Veja também: Planificação de sólidos geométricos – representação bidimensional dos sólidos geométricos

Exercícios resolvidos sobre poliedros

Questão 1 - Um poliedro possui 9 arestas e 6 vértices, então, o número de faces desse poliedro é igual a:

A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

Resolução

Alternativa D

Aplicando a fórmula de Euler, temos que:

V + F = A + 2

6 + F = 9 + 2

6 + F = 11

F = 11 – 6

F = 5

Questão 2 - Durante a sua caminhada para a escola, Matheus anotou o nome de alguns sólidos geométricos que ele viu durante o caminho. São eles:

1- Tetraedro

2- Cilindro

3- Cubo

4- Cone

Dos sólidos listados por Matheus, são considerados poliedros:

A) 1 e 2

B) 2, 3 e 4

C) 2 e 3

D) 1 e 3

E) 3 e 4

Resolução

Alternativa D

São poliedros o tetraedro e o cubo, os demais são conhecidos como corpos redondos e não satisfazem a definição de poliedro, já que suas faces não são formadas por polígonos.

Qual é o número de vértices de um poliedro com 12 faces é 30 arestas?

Qual a quantidade de faces de um poliedro convexo que tem 30 aretas é 12 vértices?

Qual o número de faces de um poliedro convexo com 12 vértices?

Quantos vértices tem um poliedro de 30 faces?

Qual é o número de vértices de um poliedro convexo?