Para quê valores de má função F x m 2 x 2 2x 6 admite valores reais?

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####### ALUNO:

FUN«√O

DO2∫ GRAU

E SUAS TECNOLOGIAS

MATEM¡TICA

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####### INTRODUÇÃO

Para entender a Função de 2º Grau - importante tema para o Enem -, acompanhe o seguinte raciocínio: na física, sabe-se que a trajetória de um projétil lançado obliquamente em relação ao solo horizontal é um arco de parábola com a concavidade voltada para baixo.

Adotando a origem O do sistema de eixos coordenados no ponto de lançamento, pode-se demonstrar que a altura atingida, num determinado instante, por esse projétil (ordenada y) e a distância alcançada, nesse mesmo instante, na horizontal (abscissa x) relacionam-se de acordo com a função definida pela sentença y = A 2 + B, na qual A é uma constante que depende do ângulo de tiro, da velocidade vo de lançamento e da aceleração local da gravidade, e B é um valor constante que depende do ângulo do tiro. Tal função descrita acima é uma função polinomial do 2º grau ou também conhecida como função quadrática. Esta função tem aplicação em diversos cálculos.

####### DEFINIÇÃO

Função Polinomial do 2º Grau ou Função Quadrática é a função real definida por:

####### f(x) = ax

2

####### + bx + c

onde a, b e c são coeficientes reais, sendo a ≠ 0 alguns exemplos de função quadrática: a) y = x 2 – 5x + 6, na qual a = 1, b = -5 e c = 6 b) y = - x 2 + x + 4, na qual a = - 1, b = 1 e c = 4 c) y = 3x 2 - 4x, na qual a = 3, b = -4 e c = 0 d) y = 2x 2 – 1, na qual a = 2, b = 0 e c = -

####### PROPRIEDADES GRÁFICAS

O gráfico da Função Polinomial do 2º Grau y = ax 2 + bx + c é uma parábola cujo eixo de simetria é uma reta vertical, paralela ao eixo y ou até mesmo o próprio eixo y, passando pelo vértice da parábola.

####### CONCAVIDADE DA PARÁBOLA

A parábola pode ter a concavidade voltada para cima ou para baixo. A parábola tem a concavidade voltada para cima quando a > 0 enquanto tem a concavidade voltada para baixo quando a < 0. Observe:

a> 0 a < 0

Interseção da parábola com o eixo x (eixo das abscissas): A parábola intercepta o eixo x (eixo das abscissas) no ponto (x,0), ou seja, sempre que y for igual a zero. Logo, temos que ax 2

• bx + c = 0. As raízes da função são raízes da equação do 2º grau, ou seja, x = :

Repare que, sendo ∆ = b 2 - 4ac, podemos ter: Δ < 0 = a parábola não intercepta o eixo Ox. Δ = 0 = a parábola é tangente ao eixo Ox. Δ > 0 = a parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos distintos. Observe as possibilidades descritas abaixo:

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INTERSEÇÃO DA PARÁBOLA COM O EIXO Y (EIXO DAS ORDENADAS): A parábola intercepta o eixo das ordenadas sempre quando temos o valor de x igual a zero, ou seja, y = a. 2 + b + c = 0 + 0 + c = c. Logo, a parábola intercepta o eixo das ordenadas no ponto (0,c).

VÉRTICE DA PARÁBOLA: O vértice da parábola determina o ponto de mínimo ou de máximo da função. Tal vértice será o par ordenado (xv,yv). Para determinarmos os vértices de uma parábola temos que encontrar o par ordenado de pontos que constituem as coordenadas de retorno da parábola. Esse ponto de retorno da parábola, mais conhecido como vértice da parábola, pode ser calculado com base nas expressões matemáticas envolvendo os coeficientes da função do 2º grau dada pela lei de formação y = ax² + bx + c.

Exemplo 2: Determine o vértice da parábola: a) x 2 – 2x – 3 b) – x 2 – 4x c) x 2 - 4

Exemplo 3: Dada a função f(x) = 3x 2 – 4x + 1, determine: a) f(2) b) f(1) c) f(0)

Exemplo 4: Seja f: R R a função definida por f(x) = 4x 2 - 4x + 3. Determine x, se houver, para que se tenha: a) f(x) = 3 b) f(x) = – 1

Exemplo 05: Determine o valor de m para que a função f(x) = 4x 2 – 4x – m tenha zeros duplos:

Exemplo 06: Para que valores reais de k a função f(x) = (k – 1)x 2 – 2x + 4 não admite zeros reais?

Exemplo 07: Calcule o valor de k de modo que a função f(x) = 4x² – 4x – k não tenha raízes, isto é, o gráfico da parábola não possui ponto em comum com o eixo x.

Exemplo 08: Determine os valores de m, para que a função f(x) = (m – 2)x² – 2x + 6 admita raízes reais.

Exemplo 09: (UCSal-BA) Determine os pontos de intersecção da parábola da função f(x) = 2x² – 3x + 1, com o eixo das abscissas.

Exemplo 10: A representação cartesiana da função f(x) = ax 2 + bx + c é a parábola abaixo. Tendo em vista esse gráfico, podemos afirmar que:

(A) a<0, b<0 e c> (B) a>0, b>0 e c< (C) a>0, b>0 e c> (D) a<0, b>0 e c< (E) a<0, b>0 e c>

Exemplo 11: (ENEM 2000) Um boato tem um público alvo e alastra-se com determinada rapidez. Em geral, essa rapidez é diretamente proporcional ao número de pessoas desse público que conhece o boato e diretamente proporcional também ao número de pessoas que não o conhece. Em outras palavras, sendo R a rapidez e propagação, P o público-alvo e x o número de pessoas que conhece o boato, tem-se: R(x) = kx(P – x), em que k é uma constante positiva característica do boato. Considerando o modelo acima descrito, se o público-alvo é de 44000 pessoas, então a máxima rapidez de propagação ocorrerá quando o boato for conhecido por um número de pessoas igual a: a) 11000 b) 22000 c) 33000 d) 38000 e) 44000

Solução: Sendo P = 44 000 temos R(x) = kx(44 000 – x) R(x) = -kx 2 + 44 000kx Para se obter o número de pessoas onde teremos a máxima rapidez de propagação, basta utilizar o xv = - b/2a = -44 000/-2 = 22 000 Letra B.

Exemplo 12: A trajetória da bola, num chute a gol, descreve uma parábola. Supondo que sua altura h, em metros, t segundos após o chute, seja dada por h= -t² + 6t, determine: a) Em que instante a bola atinge o solo? b) Qual é a altura máxima atingida pela bola?

Caiu no

ENEM

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Exemplo 03: a) 5 b) 0 c) 1

Exemplo 04: a) 1 b) – 3 < 0

Exemplo 05: m = - 1

Exemplo 06: Para que valores reais de k a funçãof(x) = (k

• 1)x2 – 2x + 4 não admite zeros reais? Pede-se: para que valores de "k" a função abaixo NÃO admite raízes reais (zeros de uma equação é a mesma coisa que raízes dessa função):

f(x) = (k-1)x² - 2x + 4

Observe que a nossa função acima temos os seguintes coeficientes:

a = k-1 -----(é o coeficiente de x²) b = -2 -------(é o coeficiente de x) c = 4 --------(é o termo independente).

Agora vamos à questão. Queremos que a função NÃO tenha raízes reais. Observe: para que uma equação do 2º grau NÃO admita raízes reais, é necessário que o seu delta seja MENOR do que zero. Veja que o delta é dado por:

b² - 4ac Então teremos que impor que o delta acima seja menor do que zero. Assim:

b² - 4ac < 0 ----fazendo as devidas substituições (vide coeficientes acima), temos: (-2)² - 4*(k-1)4 < 0 4 - 16(k-1) < 0 4 - 16k + 16 < 0 -16k + 20 < 0 -16k < - 20 -----multiplicando ambos os membros por (-1), ficamos com: 16k > 20 k > 20/16 ----dividindo numerador e denominador por 4, vamos ficar apenas com: k > 5/4 ------Pronto. Essa é a resposta. "k" terá que maior do que 5/4 para que a equação acima NÃO admita raízes reais.

Exemplo 08: Determine os valores de m, para que a função f(x) = (m – 2)x² – 2x + 6 admita raízes reais. Δ g 0 b²-4.a g 0 (-2)² -4.(m-2).6 g 0 4 -24(m-2) g 4-24m+48 g 0

• 24m g -52.............(*-1) 24m f 52 m f 52/24..........(: 4/4) m f 13/ ́phe

Exemplo 09: (UCSal-BA) Determine os pontos de intersecção da parábola da função f(x) = 2x² – 3x + 1, com o eixo das abscissas. No instante em que a parábola cruza o eixo das abscissas o valo de y ou f(x) é igual a zero. Portanto:

f(x) = 0 2x² – 3x + 1 = 0

Os pontos de interseção são: x = 1 e y = 0 x = 1/2 e y = 0

Exemplo 10 : Isto é apenas análise de coeficientes:

• a concavidade da parábola está para baixo, portanto, o coeficiente "a" é negativo (a<0);
• a parábola corta o eixo Y (eixo vertical) em um ponto acima da origem, logo "c" é positivo (c>0);
• após o ponto de corte do eixo Y, a parábola sobe, então "b" é positivo;
• resposta certa letra "E"

Exemplo 11 Solução: Sendo P = 44 000 temos R(x) = kx(44 000 – x) R(x) = -kx 2 + 44 000kx Para se obter o número de pessoas onde teremos a máxima rapidez de propagação, basta utilizar o xv = - b/2a = -44 000/-2 = 22 000 Letra B.

Exemplo 12 Solução: a) t = - b/2a = -6/2(-1) = 3

b) h= -t² + 6t h = -3² + 6. h = 9

EXERCÍCIO

EXERCÍCIO 02: No instante em que a parábola cruza o eixo das abscissas o valo de y ou f(x) é igual a zero. Portanto: f(x) = 0 2x² – 3x + 1 = 0

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Os pontos de interseção são: x = 1 e y = 0 x = 1/2 e y = 0

EXERCÍCIO 04: ==> (ENEM 2013)A parte interior de uma taça foi gerada pela rotação de uma parábola em torno de um eixo z, conforme mostra a figura. Figura

A função real que expressa a parábola, no plano cartesiano da figura, é dada pela lei f(x) = 32x 2 - 6x + C, onde C é a medida da altura do líquido contido na taça, em centímetros. Sabe-se que o ponto V, na figura, representa o vértice da parábola, localizado sobre o eixo x.

Nessas condições, a altura do líquido contido na taça, em centímetros, é A) 1. B) 2. C) 4. D) 5. E) 6.

A função do segundo grau f(x)=32x 2 −6x+C apresenta duas raízes reais iguais, visto que seu gráfico corta o eixo x em um único ponto. A condição para que isso aconteça é que o discriminante (∆ = b 2

• 4ac) dessa função do segundo grau seja igual à zero. Logo, ∆ = b 2
• 4ac = (-6) 2 -4.32 = 36 – 6C = 0; C=6.

EXERCÍCIO 05: ==> A temperatura, em graus centígrados, no interior de uma câmara, é dada pela funçãof (t) = t 2 − 7t + A, onde t é medido em minutos e A é constante, no instante t = 0, a temperatura é de 10º C, o tempo gasto praque a temperatura seja mínima, em minutos, é: a) 3, 5 b) 4, 0 c) 4, 5 d) 6, 5 e) 7, 5

f(t) = t 2 − 7t + A f(0) = 0 2 - 7 + A 02 – 7 + A = 10 A = 10

t 2 − 7t + A = 0 = 9

Se estamos procurando a temperatura mínima devemos encontrar o Xv = - b / 2a = - 3,5 – RESPOSTA A

EXERCÍCIO 06: ==> Para um indivíduo sadio em repouso, o número N de batimentos cardíacos por minuto varia em função da temperatura ambiente t (em graus Celsius), segundo a função N(t) = 0,1t² – 4t + 90. Nessas condições, em qual temperatura o número de batimentos cardíacos por minuto é mínimo? a) 31º C b) 12, 4º C c) 20º C d) 25º C

N(t) = 0,1t² – 4t + 90 Xv = - b / 2a Xv = - (-4) / 2,1 = 20

EXERCÍCIO 07: ==> Suponha que um grilo, ao saltar do solo, tenha sua posição no espaço descrita em função do tempo (em segundos) pela expressão h(t) = 3t − 3t 2 , onde h é a altura máxima atingida em metros. a) Em que instante t o grilo retorna ao solo?

####### 0 = 3t-3t² = 3t(1-t) = 0  t= 1s

b) Qual é a altura máxima, em metros, atingida pelo grilo? Xv = - b / 2a = - 3 / 2. (-3) = -3 / -6 = 0,5 s

h(0,5)=3 x 0,5 - 3 x 0,25 -> h=0,75m

EXERCÍCIO 08: = => Uma espécie animal, cuja família no início era composta de 200 elementos, foi testada num laboratório sob a ação de uma certa droga. Constatou-se que a lei de sobrevivência nesta família obedecia à relação n(t) = at 2 + b em que n(t) é igual ao número de elementos vivos no tempo t (dado em horas); a e b são parâmetros que dependem da droga ministrada. Sabe-se que a família desapareceu (morreu seu último elemento) quando t = 10h (após o início da experiência). Calcular quantos elementos tinha essa família 8 horas após o início da experiência.

Como tinha 200 inicialmente, ou seja, em t = 0, temos que: N(0) = 200 a0² + B = 200 B = 200

como apos 10 horas, ou seja, em t = 10, todos morreram, temos que: N(10) = a(10)² + 200 100a + 200 = 0 a = -

Forma-se a seguinte equação: N(t) = -2t² + 200 N(8) = -2.(8)² + 200 N(8) = -128 + 200

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percebeu que, para cada centavo de desconto que concedia por litro, eram vendidos 100 litros a mais por dia. Por exemplo, no dia em que o preço do álcool foi R$ 1,48, foram vendidos 10 litros. Considerando x o valor, em centavos, do desconto dado no preço de cada litro, e V o valor, em R$, arrecadado por dia com a venda do álcool, então a expressão que relaciona V e x é A) V=10+50x−x 2. B) V=10+50x+x 2 . C) V=15−50x−x 2. D) V=15+50x−x 2. E) V=15−50x+x 2 . Como o enunciado sugere vamos usar X como o valor, em centavos, do desconto dado no preço de cada litro, ou seja, vamos acumular um desconto total de 0,01x.

Resolução: Portanto, o preço de cada litro de álcool é calculado subtraindo o preço inicial de seu desconto:

(1,50 − 0,01X) reais.

A quantidade de álcool vendida por dia é (10 000 +100X) litros.

Multiplicando o preço de cada litro pela quantidade total de litros que foram vendidos teremos que o valor arrecadado é

V = (1,50 − 0,01x) ⋅ (10 000 +100x)

Fazemos a distrubutiva e chegamos a resposta final

V =15 000 + 50x − x2.

Portanto, o gabarito será letra D.

(UNIFOR CE/2011) Uma pessoa dispõe de certaquantia para fazer uma aplicação financeira. Consultou obanco de sua preferência e foi informada de que,decorridos n anos sem retiradas, o lucro seria L(n) = 200 (–n 2 + 20n) reais. Então, se esta pessoa não fizer retiradas, terá lucrocrescente: a) nos 8 primeiros anos. b) no período entre o 5º e o 13º ano. c) no período entre o 10º e o 15º ano. d) em qualquer período. e) nunca.

Exemplo: (ENEM 2014) Um professor, depois de corrigir as provas de sua turma, percebeu que várias questões estavam muito difíceis. Para compensar, decidiu utilizar uma função polinomial f, de grau menor que 3, para alterar as notas x da prova para notas y = f(x), da seguinte maneira:

• a nota zero permanece zero.
• a nota 10 permanece 10.
• a nota 5 passa a ser 6. A) y = −12/5x 2 +7/5x B) y = −1/10x 2 +2x C) y = 1/21x 2 +7/12x D) y = 4/5x+ E) y = x

==>Uma companhia de avião freta um avião de 50 lugares de acordo com as seguintes condições especificadas no contrato de afretamento: (i) Cada passageiro pagará R$ 600,00 se todos os 50 lugares forem vendidos. (ii) Cada passageiro pagará um adicional de R$ 30,00 por lugar não vendido. Quantos lugares a companhia deverá vender para obter um lucro máximo? I) Receita (R) = quantidade de passageiro (Q) * valor unitário (V) x: nao vendido

II) Q = 50 - x V = 600 + 30x

R(x) = (50 -x).(600+30x) R(x)= 30000 + 1500x -600x -30x² R(x) = - 30x² + 900x + 30000 Simplifica por 30 R(x) = -x² +30x +

III) Lucro Máximo = Receita Máxima Lucro máximo ----> x máximo No caso x máximo, calcule X do Vértice

IV) Para ter lucro máximo não devem ser vendidos 15 lugares,ou seja, 50 - 15 = 35 passagens devem ser vendidas!

Quais os valores de m para que a função F x m 2 x2 2x 6 admita raízes reais?

Para quê valores reais de má função não admite zeros reais?

Para quais valores reais de má função F x M 1 ² 6x 2 assume valores negativos para todo x real?

Para quais valores de Ka função F x KX 2 − 6x 1 admite zeros reais diferentes?