Encontre os pontos de intersecção dos eixos x e y com a função quadrática

Introdução

Para a entender a Função de 2º Grau - importante tema para o Enem -, acompanhe o seguinte raciocínio: na física, sabe-se que a trajetória de um projétil lançado obliquamente em relação ao solo horizontal é um arco de parábola com a concavidade voltada para baixo. 
 

Adotando a origem O do sistema de eixos coordenados no ponto de lançamento, pode-se demonstrar que a altura atingida, num determinado instante, por esse projétil (ordenada y) e a distância alcançada, nesse mesmo instante, na horizontal (abscissa x) relacionam-se de acordo com a função definida pela sentença y = A.x$$$^2$$$ + B.x, na qual A é uma constante que depende do ângulo de tiro, da velocidade vo de lançamento e da aceleração local da gravidade, e B é um valor constante que depende do ângulo do tiro. Tal função descrita acima é uma função polinomial do 2º grau ou também conhecida como função quadrática. Esta função tem aplicação em diversos cálculos.

Definição

Função Polinomial do 2º Grau ou Função Quadrática é a função real definida por:

f(x) = ax$$$^2$$$ + bx + c,

onde a, b e c são coeficientes reais, sendo a ≠ 0. 

Vejamos alguns exemplos de função quadrática:
a) y = x$$$^2$$$ – 5x + 6, na qual a = 1, b = -5 e c = 6
b) y = - x$$$^2$$$ + x + 4, na qual a = - 1, b = 1 e c = 4 
c) y = 3x$$$^2$$$ – 4x, na qual a = 3, b = -4 e c = 0 
d) y = 2x$$$^2$$$ – 1, na qual a = 2, b = 0 e c = -1

PROPRIEDADES GRÁFICAS

O gráfico da Função Polinomial do 2º Grau y = ax$$$^2$$$ + bx + c é uma parábola cujo eixo de simetria é uma reta vertical, paralela ao eixo y ou até mesmo o próprio eixo y, passando pelo vértice da parábola. 

Observe que o eixo de simetria intercepta o eixo x (eixo das abscissas) num ponto equidistante das raízes, além de interceptar a parábola em seu ponto de máximo ou em seu ponto de mínimo. A parábola terá ponto de máximo ou de mínimo de acordo com a sua concavidade. Observe isso atentamente agora.

Concavidade da parábola

A parábola pode ter a concavidade voltada para cima ou para baixo. A parábola tem a concavidade voltada para cima quando a > 0 enquanto tem a concavidade voltada para baixo quando a < 0. Observe:

Interseção da parábola com o eixo x (eixo das abscissas):

A parábola intercepta o eixo x (eixo das abscissas) no ponto (x,0), ou seja, sempre que y for igual a zero. Logo, temos que ax2 + bx + c = 0. As raízes da função são raízes da equação do 2º grau, ou seja, x = -b ± b2-4ac2a

Repare que, sendo ∆ = b2 – 4ac, podemos ter:

$$$\Delta$$$ < 0 =  a parábola não intercepta o eixo Ox.
$$$\Delta$$$ = 0 =  a parábola é tangente ao eixo Ox.
$$$\Delta$$$ > 0 =  a parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos distintos.

Observe as possibilidades descritas abaixo:

INTERSEÇÃO DA PARÁBOLA COM O EIXO Y (EIXO DAS ORDENADAS):

A parábola intercepta o eixo das ordenadas sempre quando temos o valor de x igual a zero, ou seja, y = a.02 + b.0 + c = 0 + 0 + c = c. Logo, a parábola intercepta o eixo das ordenadas no ponto (0,c).

VÉRTICE DA PARÁBOLA:

O vértice da parábola determina o ponto de mínimo ou de máximo da função. Tal vértice será o par ordenado (xv,yv). Vamos determinar o xv:

Como o eixo de simetria passa pelo vértice e é equidistante as raízes, temos que o xv é a média aritmética das raízes. Para calcularmos a média aritmética entre duas raízes, basta somarmos os valores e, em seguida, dividir o resultado da soma por dois. Então, o xv será:

xv = −

Exercício

1 - (ENEM 2000) Um boato tem um público alvo e alastra-se com determinada rapidez. Em geral, essa rapidez é diretamente proporcional ao número de pessoas desse público que conhece o boato e diretamente proporcional também ao número de pessoas que não o conhece. Em outras palavras, sendo R a rapidez e propagação, P o público-alvo e x o número de pessoas que conhece o boato, tem-se: R(x) = kx(P – x), em que k é uma constante positiva característica do boato. Considerando o modelo acima descrito, se o público-alvo é de 44000 pessoas, então a máxima rapidez de propagação ocorrerá quando o boato for conhecido por um número de pessoas igual a:
a) 11000
b) 22000
c) 33000
d) 38000
e) 44000

Solução: Sendo P = 44 000 temos R(x) = kx(44 000 – x)
R(x) = -kx$$$^2$$$ + 44 000kx
Para se obter o número de pessoas onde teremos a máxima rapidez de propagação, basta utilizar o xv = - b/2a = -44 000/-2 = 22 000
Letra B.