Quantos números de 4 algarismo distintos podemos formar com os algarismos 3 5 7 8?

A análise combinatória é a matéria que desenvolve métodos para fazer a contagem com eficiência. Os problemas de contagem estão presentes no cotidiano, por exemplo, no planejamento de pratos em um cardápio, a combinação de números em um jogo de loteria, nas placas dos veículos, entre inúmeras outras situações.

A ideia é a seguinte: Imagine que você tenha 3 calças, 5 camisas e 2 sapatos e queira saber quantas são as combinações possíveis utilizando essas peças. Para isso basta efetuar a multiplicação, assim: 5 . 3 . 2 = 30 possibilidades de combinações. Esse é chamado de princípio multiplicativo.

Exemplo 1. Quantos números de dois algarismos distintos podemos formar com os dígitos: 3, 5, 7 e 6?
Então são 4 possibilidades para as dezenas, são quatro dígitos diferentes, e para as unidades serão 3, pois não queremos repetidos, portanto:
4 . 3 = 12 números de dois algarismos distintos.

Muitos problemas de Análise combinatória podem ser resolvidos utilizando o fatorial (n!), que é a multiplicação de números consecutivos: 4!= 4.3.2.1= 24.

Exemplo 2. Calcule o valor de: 5!

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5.4.3.2.1
5.4
20 . 3 . 2 . 1
120

Essa propriedade utilizada na análise combinatória é a permutação, significa mudar a ordem, pense: De quantas maneiras distintas sete pessoas podem sentar em sete poltronas?

Temos uma permutação de sete elementos, então:

7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5.040 maneiras.

Outras propriedades são: combinação e arranjo.

A combinação é a formação de um grupo não ordenado. Vamos pensar dentro da contagem: Em uma turma de 30 alunos, 6 serão sorteados para uma viagem. Quantas possibilidades possíveis para esse sorteio?

Lembre-se que a ordem do sorteio não importa.

Já arranjo forma grupos específicos, vejamos uma situação: Na formação de senhas para clientes, um banco disponibiliza oito dígitos entre: 0, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 8. Sabendo que cada senha é formada por três dígitos distintos, qual o número de senha?

Lembre-se, aqui é importante a ordem dos elementos:

A8,3=     8!    
           8!- 3!

8!
5!

8.7.6.5!
    5!

8 . 7 . 6

336 senhas.

2 - Qual o valor da soma dos vinte e quatros números obtidos no problema anterior?

A) 106656
B) 106600
C) 200000
D) 109556
E) 105556

Solução:

Não seria nada elegante obter a soma solicitada, efetuando-se diretamente a adição dos 24 números escritos acima. Vamos ver um método indireto que se aplica a este e a outros casos.
Repare que um número qualquer de 4 dígitos da forma abcd onde a, b, c e d são números naturais, pode ser escrito como:

abcd = 1000 a + 100 b + 10 c + d.
Exemplo: O número sete mil seiscentos e cinquenta e três pode ser escrito como:
7653 = 7000 + 600 + 50 + 3 = 7.1000 + 6.100 + 5.10 + 3

Posto isto, observe que na soma solicitada, o número 1 aparece 6 vezes na posição a, ou seja, o número 1 aparece 3! = 1.2.3 = 6 vezes na primeira posição; o número 3 também comparece 6 = 3! vezes na posição a, o mesmo ocorrendo com o 5 e o 7.
Logo, a soma dos algarismos da primeira posição será igual a:
(3!.1 + 3!.3 + 3!.5 + 3!.7).1000 = 3!(1 + 3 + 5 + 7).1000

Nota: a multiplicação por 1000 deve-se ao fato de que um algarismo na posição a do número abcd tem valor relativo igual a a.1000. Por exemplo, no número oito mil setecentos e sessenta e cinco = 8765, observe que o valor relativo do 8 é 8000 = 8.1000.

Já para a segunda posição b, os números 1, 3, 5 e 7 comparecem também 3! = 6 vezes, o que resulta na soma:
(3!.1 + 3!.3 + 3!.5 + 3!.7).100 = 3!(1 + 3 + 5 + 7).100

Nota: a multiplicação por 100 deve-se ao fato de que um algarismo na posição b do número abcd tem valor relativo igual a b.100. Por exemplo, no número oito mil setecentos e sessenta e cinco = 8765, observe que o valor relativo do 7 é 700 = 7.100.

Para a terceira posição c, os números 1,3,5 e 7 comparecem também 3! = 6 vezes, o que resulta na soma:
(3!.1 + 3!.3 + 3!.5 + 3!.7).10 = 3!(1 + 3 + 5 + 7).10

Nota: a multiplicação por 10 deve-se ao fato de que um algarismo na posição c do número abcd tem valor relativo igual a c.10. Por exemplo, no número oito mil setecentos e sessenta e cinco = 8765, observe que o valor relativo do 6 é 60 = 6.10.

Para a quarta e última posição d, os números 1, 3 5, e 7 comparecem também 3! = 6 vezes, o que resulta na soma:
(3!.1 + 3!.3 + 3!.5 + 3!.7).10 = 3!(1 + 3 + 5 + 7).1

Nota: a multiplicação por 1 deve-se ao fato de que um algarismo na posição d do número abcd tem valor relativo igual a a.1. Por exemplo, no número oito mil setecentos e sessenta e cinco = 8765, observe que o valor relativo do 5 é 5 = 5.1.

Verificamos que nos n�meros da forma abcd com 4 algarismos distintos, cada algarismo a, b, c ou d, comparecem (4 - 1)! = 3! vezes em cada posi��o. Se fossem n�meros da forma abcde com 5 algarismos distintos, o mesmo ocorreria (5 - 1)! = 4! vezes e, assim sucessivamente. Generalizando, se fossem n�meros com n algarismos distintos, o mesmo ocorreria (n - 1)! vezes. Isto � verdadeiro pois fixando uma posi��o no n�mero dado de n algarismos, restar�o (n - 1) algarismos para serem permutados, ou seja, (n - 1)! resultados poss�veis.

Assim, a soma procurada será igual a:
3!(1 + 3 + 5 + 7).1000 + 3!(1 + 3 + 5 + 7).100 + 3!(1 + 3 + 5 + 7).10 + 3!(1 + 3 + 5 + 7).1
Colocando os termos comuns em evidencia, fica:
3!(1 + 3 + 5 + 7)(1000 + 100 + 10 + 1)
Efetuando as contas indicadas, vem:
6.16.1111 = 106656 que é o valor da soma procurada, o que nos leva à alternativa A .

Nota: você pode ter achado esta solução trabalhosa e, talvez, tenha imaginado: será que somando diretamente os números não seria mais fácil?. Imagine porém, se o problema fosse calcular a soma de todas as permutações possíveis dos números 1. 3, 5, 7 e 9? Como são 5 algarismos, teríamos 5! permutações possíveis, ou seja, você teria que somar 5! = 1.2.3.45. = 120 números! Isto, se você conseguisse escrever todos os 120 números, o que seria extremamente difícil e tedioso.
Portanto, o uso da Análise Combinatória revela-se bastante proveitoso.

3 - Considere todos os números distintos de quatro algarismos da forma abcd que satisfazem às seguintes condições: 
a ¹ 0, b = a + 2, c = b + 2 e d = c + 2. Determine a soma de todos números que podem ser formados

.

Solução:

Inicialmente deveremos observar que, sendo a, b, c e d componentes de um número de quatro algarismos, eles devem pertencer ao conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
Com as condições dadas no enunciado, os algarismos serão :
a = a

¹ 0
b = a + 2
c = b + 2 = (a + 2) + 2 = a + 4
d = c + 2 = (a + 4) + 2 = a + 6
Como a, b, c e d são algarismos de 1 a 9, é claro que a + 6 deve ser menor ou igual a 9, ou seja:
a + 6 £ 9, de onde resulta a £ 3. Portanto, a poderá assumir os valores 1, 2 ou 3, j� que o enunciado imp�e que aseja diferente de zero. 
Daí, decorre pelo enunciado e pelas igualdades acima, que:
Para a = 1, b = 3, c = 5 e d = 7.
Para a = 2, b = 4, c = 6 e d = 8
Para a = 3, b = 5, c = 7 e d = 9

Assim, teremos que os números da forma abcd serão:
1357
2468
3579
cuja soma � igual a 7404.

Quantos números de 4 algarismos podemos formar com os algarismos 3 5 7 e 8?

Quantos números de 4 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1 3 5 e 7?

Quantos números de quatro algarismos distintos podemos formar usando os algarismos 3 4 5 7 8 9?

Quantos números de 4 algarismos distintos podemos fazer com os algarismos 2 3 7 e 8?