Quais são os índices de Miller para o plano mostrado na seguinte célula unitária cúbica?

Índices de Miller de um Plano Cristalográfico

Em uma estrutura cristalina é necessário fazer alusão a alguns planos de átomos, ou pode haver interesse em conhecer a orientação cristalográfica de um plano ou conjunto de planos de uma rede cristalina.

Para identificar planos cristalográficos, numa estrutura cristalina cúbica, usa-se o sistema de notação de Miller! Por exemplo, para uma célula cúbica de parâmetro de rede, o plano que intercepta os três eixos nos vértices da célulaterá os índices:

Note, que os pontos de intersecçãosão correspondentes a posição, então o índice de Miller é.

Índices de Miller para um Plano Paralelo a um dos Eixos

E se o plano for paralelo a um dos eixos, o que acontecerá?!

Ele nunca poderá interceptar um dos eixos, porque tende ao infinito e corresponde ao índice de Miller zero (0). Por exemplo, imagine um plano que intersecte os eixosee seja paralelo a, o índice de Miller respectivo será, pois não tocará no eixo. Assim:

O plano interceptaou seja apresenta o índice de. Você também pode conferir esse conteúdo em vídeo:

Índice de Miller: Plano de Intersecção com Eixos Fracionários

Se um plano intersectar os eixos numa fracção do parâmetro de rede, o adequado índice de Miller terá que ser seu inverso. Por exemplo, para um plano que intercepte o eixoem, o eixoem a e seja paralelo a, o índice de Miller correspondente será.

Então a intersecção ée o índice, lembrando que devemos adotar o valor inverso temos:.

E o que acontece se o inverso não for um número inteiro ? Vamos analisar o exemplo a seguir!

Exemplo: Quais são os valores que interceptame

• Primeiramente devemos inverter as frações:,,
• Agora devemos reduzir a inteiros, podemos multiplicar por, vamos ver o que ocorre?

• Multiplicarmos por 3 para reduzir a fração que restou:

Índice de Miller para um Plano que Intercepta os Eixos no Lado Negativo

Para um plano paralelo ae que intersecte o eixoemeem, o índice de Miller respectivo será. Notem que o “tracinho” em cima doou de qualquer outro número, representa que este é negativo.

Regras para determinar os Índices de Miller de um plano

Para determinar os índices de Miller de um plano, temos que achar as posições dos pontos em que o plano intercepta os eixos. Para isso:

• Determinamos o inverso;
• Reduzimos tudo ao mesmo denominador, quando necessário.
• Colocamos os valores entre parênteses, pondo barras sobre os índices negativos.

Para sistemas não cúbicos os índices são determinados do mesmo modo, independentemente dos ângulos dos eixos e dos parâmetros de rede,,. Assim:

Agora vamos praticar com exercícios?

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Índices de Miller de um Plano Cristalográfico Ver mais

Índices de Miller para um Plano Paralelo a um dos Eixos Ver mais

Índice de Miller: Plano de Intersecção com Eixos Fracionários Ver mais

Índice de Miller para um Plano que Intercepta os Eixos no Lado Negativo Ver mais

Regras para determinar os Índices de Miller de um plano Ver mais

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Elaboração própria

Considere as afirmativas a seguir e escolha a opção correta:

I. Num sistema cúbico, um plano e uma direção que tenham índices de Miller do mesmo valor são paralelos.

II. Quando o índice de Miller de um plano é igual a zero, esse plano é paralelo ao eixo cristalográfico correspondente a esse índice.

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Passo 1

Num sistema cúbico, um plano e uma direção que tenham índices de Miller de mesmo valor são perpendiculares.

Passo 2

Quando o índice de Miller de um plano é igual a zero, esse plano é paralelo ao eixo cristalográfico correspondente a esse índice

Resposta

Alternativa II

Exercício Resolvido #2

Elaboração própria

Determine o índice de Miller do plano a seguir:

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Passo 1

Primeiramente devemos observar onde o plano cruza.

Passo 2

Quando o índice de Miller de um plano é igual a zero, esse plano é paralelo ao eixo cristalográfico correspondente a esse índice, neste caso o Z.

Notem que em x e y ele intercepta o ponto 1

Resposta

(1 1 0)

Exercício Resolvido #3

Elaboração própria

Determine o índice de Miller do plano a seguir:

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Passo 1

Primeiramente devemos observar onde o plano cruza. Em x e y ele “corta” no ponto 1

Passo 2

Observem que no eixo z a ponta do triangulo está em paralelo ao eixo z indicando estar no eixo negativo para z.

Resposta

  (   11   1 _)

Exercício Resolvido #4

Elaboração própria

Represente nas células unitárias abaixo o plano cristalográficos indicado: ( 1   2   _1)

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Passo 1

Temos como indicado o plano ( 1   2   _1)notem que o plano “cortará” o eixo y em -2 e para x e z igual a 1

Passo 2

Traça uma linha de ligação em y=1 e uma com z=-1 paralelamente a z, pois este é negativo, note que terá um retângulo inclinado sem encostar no eixo x, pois este é igual a zero.

Quais são os índices de Miller?

Os três inteiros, h, k e l são os indices de Miller da família de planos reticulares. Os indices de Miller de uma família de planos reticulares são os inversos dos comprimentos de corte nos eixos sobre os eixos do plano da família que não contém a origem.

Como calcular o índice de Miller?

Os índices de Miller são definidos pela intersecção desse plano com os eixos do sistema de coordenadas da célula. Exemplo: Para uma célula cúbica de parâmetro de rede “a”, o plano que intercepta os três eixos nos vértices da célula (x=y=z=a) terá os índices (111).

O que são índices de Miller como são utilizados?

Os Índices de Miller, formados por conjuntos de três números inteiros (h,k,l), foram criados para designar de forma universal as famílias de planos. Estes números representam em quantas vezes o plano divide os lados da célula unitária nas direções a,b,c.

Como determinar os planos cristalinos?

a determinação da estrutura cristalina: Os métodos de difração medem diretamente a distância entre planos paralelos de pontos do reticulado cristalino. Esta informação é usada para determinar os parâmetros do reticulado de um cristal. Os métodos de difração também medem os ângulos entre os planos do reticulado.