Duas retas são consideradas perpendiculares quando: Show A) elas não possuem nenhum ponto em comum. B) elas se interceptam formando um ângulo de 90°. C) elas se interceptam possuindo dois pontos em comum. D) elas pertencem ao mesmo plano. Considere uma reta cuja equação geral é r: \(2x+3y-4=0\). A reta perpendicular a ela, representada por s, que passa pelos pontos (1, 1) possui equação geral igual a: A) 3y – 2x + 1 = 0 B) x – y + 1 = 0 C) – 3y + 2x – 1 = 0 D) 2y – 3x + 1 = 0 E) 2y + 3x – 1 = 0 Dadas as retas \(y_1=2x+3\) e \(y_2=-\frac{1}{2}x+8\), podemos afirmar que: A) elas são paralelas. B) elas são perpendiculares. C) elas são coincidentes. D) elas são reversas. (Cespe) Considere a reta r: y = –3(x – 2) e o ponto P = (3, 4). Considere, ainda, s a reta que passa por P e que é perpendicular à reta r. Com base nessas informações, assinale a opção que indica o ponto no qual se interceptam as retas r e s. A) (9/10, 33/10) B) (9, 12/10) C) (3/8, 39/8) D) (–9, –12) E) (9/8, 33/8) Sobre as retas perpendiculares, julgue as afirmativas a seguir: I – Duas retas são ditas concorrentes quando elas são perpendiculares. II – Quando as retas são perpendiculares, elas também são concorrentes. III – Duas retas são paralelas quando elas formam um ângulo de 90° entre si. Marque a alternativa correta: A) Somente a afirmativa I está correta. B) Somente a afirmativa II está correta. C) Somente a afirmativa III está correta. D) Todas as afirmativas são falsas. Analise as posições relativas entre as retas r e s e entre as retas t e p. Podemos afirmar que elas são, respectivamente: A) concorrentes, perpendiculares e coincidentes. B) concorrentes, não perpendiculares e paralelas. C) paralelas e concorrentes perpendiculares. D) paralelas e coincidentes. E) concorrentes, perpendiculares e paralelas. A bissetriz dos quadrantes ímpares foi interceptada por uma reta de equação \(y=mx+n\) no ponto 2, 2. Sabendo que, além desse ponto, a reta passa pelo ponto (3, 1), o valor do seu coeficiente linear é: A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 As retas r: \(2x+4\) e s: – 3x + 1 foram representadas em um mesmo plano cartesiano. Analisando a representação, podemos afirmar que: A) r e s são duas retas são paralelas. B) r e s são duas retas coincidentes. C) r e s são retas concorrentes e perpendiculares. D) r e s são retas concorrentes, mas não perpendiculares. E) r e s são retas relativamente reversas. Duas retas r e s se encontram no ponto P. Considere que A pertence à reta r e B pertence à reta s e que foi traçada a bissetriz PC do ângulo APB. Sabendo que r e s são perpendiculares, podemos afirmar que o ângulo suplementar do ângulo APC é igual a: A) 45° B) 60° C) 75° D) 120° E) 135° Analise a imagem a seguir: Sobre as retas r e s, podemos afirmar que: I – As retas r e s são concorrentes. II – As retas r e s são perpendiculares. III – As retas r e s são paralelas. Marque a alternativa correta: A) Somente I é verdadeira. B) Somente II é verdadeira. C) Somente III é verdadeira. E) Todas são verdadeiras. (FEI) As retas 2x – y = 3 e 2x + ay = 5 são perpendiculares. Então: A) a = – 1 B) a = 1 C) a = – 4 D) a = 4 E) n.d.a. (Aeronáutica) As retas de equações y + x – 4 = 0 e 2y = 2x – 6 são, entre si, A) paralelas. B) coincidentes. C) concorrentes e perpendiculares. D) concorrentes e não perpendiculares. Alternativa B Duas retas são perpendiculares se o ângulo formado entre elas possui 90°. Alternativa D Primeiramente, encontraremos o coeficiente angular da reta r: \(2x+3y-4=0\ \) \(3y=-\ 2x+4\) \(y=\frac{-2x}{3}+\frac{4}{3}\) Então, temos que \(m_r=-\ \frac{2}{3}\). Sabemos que \(m_r\cdot m_s=-\ 1\): \(-\frac{2}{3}m_s=-\ 1\) \(m_s=-\ 1\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)\) \(m_s=\frac{3}{2}\) Sabemos também que a equação reduzida da reta s é: \(y=\frac{3}{2}x+n\) Se x = 1 e y = 1: \(1=\frac{3}{2}\cdot1+n\) \(1=\frac{3}{2}+n\) \(1-\frac{3}{2}=n\) \(-\ \frac{1}{2}=n\) A equação reduzida da reta é: \(y=\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}\) Multiplicando por 2: \(2y=3x-1\ \) Igualando a zero: \(2y-3x+1=0\) Alternativa B Para analisar a posição relativa entre as retas, sabemos que os coeficientes angulares são \(m_1\) = 2 e \(m_2=-\frac{1}{2}\). Caso as retas fossem paralelas ou coincidentes, os coeficientes angulares seriam os mesmos, o que não é o caso. Sendo assim, essas retas se interceptam. Verificaremos se elas são perpendiculares: \(m_1\cdot m_2=-1\) \(2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=-1\) \(-1=\ -1\ \) Conclui-se, portanto, que as retas são perpendiculares. Alternativa A A equação reduzida da reta r é: y = – 3x + 6 Logo, sabemos que \(m_1=-\ 3\). Como s é perpendicular à reta r, calcularemos o coeficiente angular da reta: \(m_1\cdot m_2=-\ 1\) \(-\ 3\cdot m_2=-\ 1\) \(m_2=\frac{-\ 1}{-\ 3}\) \(m_2=\frac{1}{3}\) Como a reta passa pelo ponto P = (3, 4), temos que: \(y\ =\ mx\ +\ n\) \(y=\frac{1}{3}x+n\) \(4=\frac{1}{3}\cdot3+n\) \(4=1+n\) \(4-1=n\) \(n=3\) Então, a equação da reta s é \(y=\frac{1}{3}x+3\). Queremos o ponto em que as equações são iguais: \(\frac{1}{3}x+3=-3x+6\) \(\frac{1}{3}x+3x=6-3\) \(\frac{10}{3}x=3\) \(10x=3\cdot3\) \(10x=9\) \(x=\frac{9}{10}\) Quando x = \(\frac{9}{10}\), temos que: \(y=-\ 3x+6\) \(y=-\ 3\cdot\frac{9}{10}+6\) \(y=\frac{-27}{10}+6\) \(y=\frac{33}{10}\) Assim, o ponto em que as retas se encontram é: \(\left(\frac{9}{10},\ \frac{33}{10}\right)\) Alternativa B I – Falsa Duas retas são concorrentes quando elas possuem um único ponto em comum. II – Verdadeira Para que duas retas sejam perpendiculares, é necessário que elas formem um ângulo de 90°. III – Falsa Duas retas são ditas paralelas se elas não possuem nenhum ponto em comum. Alternativa E As retas r e s são concorrentes por se encontrarem em um único ponto. Além disso, o ângulo formado entre elas é um ângulo reto, logo r e s são retas perpendiculares. As retas t e p são paralelas, pois elas não possuem nenhum ponto em comum. Assim, as posições relativas entre as retas são, respectivamente, concorrentes, perpendiculares e paralelas. Alternativa D A reta é perpendicular à bissetriz, e sabemos que a bissetriz possui equação y = x. Logo, o seu coeficiente é igual a 1. O produto entre os coeficientes de duas retas perpendiculares é sempre igual a – 1, então podemos concluir que: \(1\cdot m=-\ 1\) \(m=-\ 1\ \) Sendo m = – 1, temos que: \(y=-\ x\ +\ n\) Substituindo no ponto (3, 1): \(1=-\ 3+n\) \(n=1+3\ \) \(n=4\ \ \) Alternativa D Analisando a equação das retas, podemos afirmar que elas não são coincidentes nem paralelas, porque os coeficientes angulares são distintos. Logo, nos resta o fato de que essas retas são concorrentes, haja vista que os coeficientes angulares são distintos. Para verificar se essas retas são perpendiculares ou não, basta verificar se o produto entre os coeficientes angulares é \(-\ 1\): \(m_1\cdot m_2=-\ 1\) \(2\cdot(-\ 3)=-\ 6\) Note que o produto entre os coeficientes angulares é diferente de 1. Sendo assim, podemos afirmar que essas retas são concorrentes, mas não perpendiculares. Alternativa E Se as retas são perpendiculares, então elas formam entre si um ângulo reto. Logo, o ângulo APB possui 90°. A bissetriz AC divide esse ângulo ao meio, formando o ângulo APC, de 45°. Queremos o ângulo suplementar a um ângulo de 45°, que é o ângulo de 180° – 45° = 135°. Alternativa A I – Verdadeira Duas retas são concorrentes quando elas se encontram em um único ponto. II – Falsa As retas fazem um ângulo de 108°. III – Falsa As retas são concorrentes, logo elas não são paralelas. Alternativa D Como as retas são perpendiculares, encontraremos o coeficiente angular da primeira: \(-y=-\ 2x+3\ \ \) Multiplicando por – 1: \(y=2x-3\) Agora, isolaremos o y na segunda equação: \(ay=-\ 2x+5\) \(y=\frac{-\ 2}{a}x+\frac{5}{a}\) Para que as retas sejam perpendiculares, o produto entre os coeficientes angulares deve ser igual a – 1. O coeficiente angular da primeira é 2 e o da segunda é \( \frac{-\ 2}{a}\). Logo, temos que: \(2\cdot\frac{-\ 2}{a}=-\ 1\) \(\frac{-\ 4}{a}=-\ 1\) \(-\ 4=-\ 1a\) \(\frac{-\ 4}{-\ 1}=a\) \(a=4\ \) Alternativa C De início, encontraremos a equação reduzida de cada uma delas e, consequentemente, o coeficiente angular: \(y=-\ x+4\ \) Então, a primeira equação possui\(m=-\ 1\). Analisando a segunda equação: \(y=\frac{2}{2}x-\frac{6}{2}\) \(y=x-3\ \) Logo, na segunda equação, \(m=1\). Como os coeficientes angulares são diferentes, essas retas são concorrentes. Agora, verificaremos se são perpendiculares. Calculando o produto entre os coeficientes angulares: \(-\ 1\cdot1=-\ 1\) Isso mostra que essas retas são perpendiculares e concorrentes. Qual é a equação geral de uma reta que passa pelos pontos a 2 3 EB 49?Resposta: 3x - y - 3 = 0.
Qual o coeficiente angular de uma reta que passa pelos pontos 2 3 e 4 9?Segundo a questão, o ponto A é dado por (2,3) e o ponto B é dado por (4,9). Considerando, em ordem, como primeiro e segundo pontos, basta substituir os valores na equação: Portanto, o coeficiente angular é igual a 3 e a reta é crescente.
Qual é a equação geral da reta que passa pelos pontos?A equação geral da reta é a equação ax + by + c = 0, com a e b diferentes de 0. Os pontos pertencentes à reta satisfazem a sua equação geral. Podemos encontrar a equação da reta sabendo quais são os dois pontos pertencentes à reta.
Como calcular a equação geral de uma reta?Para encontrar a equação geral da reta, conhecendo dois pontos da reta, calculamos o determinante da matriz que tem como linha as coordenadas desses pontos e igualamos a zero. Ao calcular esse determinante, encontramos a equação geral da reta.. 2x+3y –10=0.. −x+y+4=0.. 2x+3y=0.. |