Quando um dos fatores de uma multiplicação com números inteiros for zero qual será o produto?

Z = {... , � 4, � 3, � 2, �1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... }
O conjunto dos n�meros inteiros � infinito. A escolha da letra Z para representar o conjunto dos n�meros inteiros, deve-se ao fato da palavra Zahl em alem�o, significar n�mero.

� trivial entender que o conjunto dos n�meros naturais N � um subconjunto do conjunto dos n�meros inteiros Z, ou seja: N � Z.

Define-se o

Chama-se oposto (ou sim�trico aditivo) de um n�mero inteiro a ao n�mero � a.

Propriedades dos n�meros inteiros:1 � Todo n�mero inteiro n, possui um sucessor indicado por suc(n), dado por suc(n) = n + 1.

2 � Dados dois n�meros inteiros m e n, ocorrer� uma e somente uma das condi��es :
m = n  [ m igual a n ] (igualdade)
m > n  [ m maior do que n ] (desigualdade)
m < n  [ m menor do que n] (desigualdade).
Esta propriedade � conhecida como Tricotomia.

Nota: �s vezes teremos que recorrer aos s�mbolos � ou � os quais possuem a seguinte leitura:
a � b [ a maior do que b  ou a = b ].
a � b [ a menor do que b ou a = b ]

Assim por exemplo, x � 3, significa que x poder� assumir em Z os valores
3, 2, 1, 0, -1, -2, -3, - 4, ...

J� x < 3, ter�amos que x seria 2, 1, 0, -1, -2, -3, -4, ...

� �bvio que o zero � maior do que qualquer n�mero negativo ou na sua forma equivalente, qualquer n�mero negativo � menor do que zero.

... �10, � 9, � 8, � 7, � 6, � 5, � 4, � 3, � 2, � 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...

Opera��es em Z

1 � Adi��o: a + b = a mais b.A adi��o de dois n�meros inteiros obedece �s seguintes regras:

a ) n�meros de mesmo sinal : somam-se os m�dulos e conserva-se o sinal comum.

Exemplos:

(-3) + (-5) + (-2) = - 10
(-7) + (-6) = - 13

b) n�meros de sinais opostos: subtraem-se os m�dulos e conserva-se o sinal do maior em m�dulo.

Exemplos:

(-3) + (+7) = + 4
(-12) + (+5) = -7

Propriedades:

Dados os n�meros inteiros a, b e c, s�o v�lidas as seguintes propriedades:

1.1 � Fechamento: a soma de dois n�meros inteiros � sempre um n�mero inteiro. Diz-se ent�o que o conjunto Z dos n�meros inteiros � fechado em rela��o � adi��o.

1.2 � Associativa: a + (b + c) = (a + b) + c

1.3 � Comutativa: a + b = b + a

1.4 � Elemento neutro: a + 0 = 0 + a = a . Zero � o elemento neutro da adi��o.

1.5 � Un�voca: o resultado da adi��o de dois n�meros inteiros � �nico.

1.6 � Monot�nica: Uma desigualdade n�o se altera, se somarmos um mesmo n�mero inteiro a ambos os membros, ou seja, se a  > b ent�o a + c > b + c.

2 � Subtra��o: Observa-se que a subtra��o (diferen�a) � uma opera��o inversa da adi��o.
Se a + b = c ent�o dizemos que a = c � b ( c menos b). � �bvio que o conjunto Z � fechado em rela��o � subtra��o, pois a subtra��o (diferen�a) entre dois n�meros inteiros, sempre ser� um outro n�mero inteiro. Por exemplo, a opera��o 3 � 10 n�o teria resultado no conjunto N dos n�meros naturais, mas possui resultado no conjunto Z dos n�meros inteiros, ou seja -7.

A subtra��o de dois n�meros inteiros ser� feita de acordo com a seguinte regra:

a � b = a + (-b)

10 � (-3) = 10 + (+3) = 13
(-5) � (- 10) = (-5) + (+10) = +5 = 5
(-3) � (+7) = (-3) + (-7) = - 10

3 � Multiplica��o: � um caso particular da adi��o (soma), pois somando-se um n�mero inteiro a si pr�prio n vezes, obteremos a + a + a + ... + a = a . n = a x n
Na igualdade a . n = b, dizemos que a e n s�o os fatores e b � o produto.

A multiplica��o de n�meros inteiros, dar-se-� segundo a seguinte regra de sinais:

(+) x (+) = +

(+) x (-) =  -

(-) x (+) =  -

(-) x (-) =  +

Apresentaremos uma justificativa para a regra acima, mais adiante neste cap�tulo, ou seja, o porqu� de  MENOS x MENOS ser MAIS!

(-3) x (-4) = +12 = 12
(-4) x (+3) = -12

Propriedades:

Dados os n�meros inteiros a, b e c, s�o v�lidas as seguintes propriedades:

3.1 � Fechamento: a multiplica��o de dois n�meros inteiros � sempre outro n�mero inteiro. Dizemos ent�o que o conjunto Z dos n�meros inteiros � fechado em rela��o � opera��o de multiplica��o.

3.2 � Associativa: a x (b x c) = (a x b) x c ou a . (b . c) = (a . b) . c

3.3 � Comutativa: a x b = b x a

3.4 � Elemento neutro: a x 1 = 1 x a = a. O n�mero 1 � o elemento neutro da multiplica��o.

3.5 � Un�voca: o resultado da multiplica��o de dois n�meros inteiros � �nico.

3.6 � Uma desigualdade n�o se altera, se multiplicarmos ambos os membros, por um mesmo

3.7 - Uma desigualdade muda de sentido, se multiplicarmos ambos os membros por um mesmo

3.8 � Distributiva: a x (b + c) = (a x b) + (a x c).

A propriedade distributiva acima, nos permite apresentar uma justificativa simples, atrav�s de um exemplo, para o fato do produto de dois n�meros negativos resultar positivo, conforme mostraremos a seguir:

Considere o seguinte produto:
A = (7 � 5) x (10 � 6) cujo resultado j� sabemos ser 2 x 4 = 8.
Desenvolvendo o primeiro membro, aplicando a propriedade distributiva da multiplica��o em rela��o � adi��o,
vem:
A = (7x10) + [7x(-6)] +[(-5)x10] + [(-5)x(-6)]
A = 70 � 42 � 50 + [(-5)x(-6)]
Como j� sabemos que A = 8, substituindo fica:
8 = 70 � 42 � 50 + [(-5)x(-6)]
Isolando o produto [(-5)x(-6)], vem:
[(-5)x(-6)] = 8 � 70 + 42 + 50 = 8 + 42 + 50 � 70 = 100 � 70 =  30

Observa-se ent�o que realmente 

[(- 5)x(- 6)] = 30 = + 30

4 � Potencia��o: � um caso particular da multiplica��o, onde os fatores s�o iguais. Assim � que multiplicando-se um n�mero inteiro a por ele mesmo n vezes, obteremos a x a x a x a x ... x a que ser� indicado pelo s�mbolo a n , onde a ser� denominado base  e n expoente. Assim � que, por exemplo, 53 = 5.5.5 = 125, 71 = 7, 43 = 4.4.4 = 64, etc.

Com base nas regras de multiplica��o de n�meros inteiros, � f�cil concluir que:

a) Toda potencia de base negativa e expoente par n�o nulo, tem como resultado um n�mero positivo.

Exemplos:

(-2)4 = +16 = 16
(-3)2 = +9 = 9
(-5)4 = +625 = 625
(-1)4 = + 1 = 1

b) Toda potencia de base negativa e expoente �mpar, tem como resultado um n�mero negativo.

Exemplos:

(-2)3 = - 8
(-5)3 = - 125
(-1)13 = - 1

5 � Divis�o:  O conjunto Z dos n�meros inteiros n�o � fechado em rela��o � divis�o, pois o quociente de dois n�meros inteiros nem sempre � um inteiro.

A divis�o de n�meros inteiros, no que concerne � regra de sinais, obedece �s mesmas regras vistas para a multiplica��o, ou seja:

(+) : (+) = +

(+) : (-) =  -

(-) : (+) =  -

(-) : (-) =  +

Exemplos:

(�10) : (� 2) = + 5 = 5
(� 30) : (+ 5) = � 6

Para finalizar, vamos mostrar duas regras de elimina��o de par�ntesis ( ), que poder�o ser bastante �teis:

R1) Todo par�ntese precedido do sinal + pode ser eliminado, mantendo-se os sinais das parcelas interiores.

Exemplo:

+ (3 + 5 � 7) = 3 + 5 � 7 = 1

R2) Todo par�ntese precedido do sinal �  pode ser eliminado, desde que sejam trocados os sinais das parcelas interiores.

Exemplos:

� (3 + 4 � 7) = � 3 � 4 + 7 = 0
� (�10 � 8 + 5 � 6 ) = 10 + 8 � 5 + 6 = 19
� (�8 � 3 � 5 ) = 8 + 3 + 5 = 16

Exerc�cios resolvidos

1 � A temperatura de um corpo variou de  � 20� C para 20� C. Qual a varia��o total da temperatura do corpo?

Solu��o: Sendo DT a varia��o total da temperatura, vem:
DT = Tfinal � Tinicial = 20 � (� 20) = 20 + 20 = 40 � C.

2 � Um ve�culo movendo-se a uma velocidade de 20 m/s, parou ap�s 50 m. Qual a varia��o da velocidade at� o ve�culo parar?

Solu��o: Sendo   Dv a varia��o total da velocidade, vem:
DV = vfinal � vinicial =   0 � 20 = � 20 m/s.

Qual é o produto quando o fator é zero?

O que acontece com o produto quando um dos fatores é igual a zero?

Qual é o fator é o produto na multiplicação?

Que produto obtemos ao multiplicar um número inteiro por um menos um?