Quantas arestas e quantos vértices possui um poliedro convexo de 10 faces triangulares e 4 faces pentagonais?

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• Quantos vértices tem um poliedro convexo com 4 faces triangulares?
• Quantas vértices tem um poliedro convexo tem?
• Qual o número de vértices de um poliedro convexo constituído por 4 faces?
• Quantas arestas e quantos vértices tem um poliedro convexo de 20 faces triangulares?

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LISTA DE POLIEDROS – GABARITO
1. Um poliedro convexo possui duas faces triangulares, duas quadrangulares e quatro pentagonais. Calcule a soma dos ângulos internos de todas as faces. 
Solução. Cada face possui a soma dos ângulos internos calculada pela fórmula: Sn = 180º(n – 2). Logo, cada face triangular possui soma S3 = 180º(3 – 2) = 180º; cada quadrangular possui soma S4 = 180º(4 – 2) = 360º e cada pentagonal, soma S5 = 180º(5 – 2) = 540º. O total então do poliedro será: 2 x 180º + 2 x 360º + 4 x 540º = 360º + 720º + 2160º = 3240º.
2. Calcule o número de vértices de um poliedro convexo de 10 faces quadrangulares.
Solução. O número de arestas de cada face é 4. Como há 10 faces e cada aresta pertence a duas faces, elas são contadas duas vezes. Logo 
. Aplicando a relação de Euler, encontramos o número de vértices: A + 2 = V + F. Logo, 20 + 2 = V + 10. Encontramos V = 12.
3. Um poliedro convexo tem 3 faces pentagonais e algumas faces triangulares. Qual o número de faces desse poliedro, sabendo-se que o número de arestas é o quádruplo do número de faces triangulares?
Solução. Seja “t” o número de faces triangulares. Pelas informações do problema e aplicando e calculando o número de arestas em função do número de faces, temos:
. O enunciado indica que o número de arestas é o quádruplo do número de faces triangulares. Resolvendo a equação, temos: 
 Logo, o total de faces será: 3 pentagonais + 3 triangulares = 6 faces.
4. Um poliedro convexo tem 13 faces. De um dos seus vértices partem 6 arestas; de 6 outros vértices partem, de cada um, 4 arestas, e finalmente, de cada um dos vértices restantes partem 3 arestas. Encontre o número de arestas desse poliedro.
Solução. Temos que A + 2 = V + 13. Se o total de vértices é “V”, e cada aresta é determinada por dois vértices, temos: 
. Aplicando a relação de Euler, temos:
 Logo, de A + 2 = V + F, temos que A = 24.
 
5. Qual o número de vértices de um poliedro de 8 faces triangulares e de 4 faces quadrangulares?
Solução. Calculando o número de arestas, temos: 
. O total de faces é a soma 8 + 4 = 12. Logo A + 2 = V + F conduz a 20 + 2 = V + 12. Encontra-se V = 22 – 12 = 10.
6. Se a soma dos ângulos das faces de um poliedro regular é 1440º calcule o número de arestas desse poliedro.
Solução. A fórmula que calcula a soma dos ângulos das faces em função do número de vértices, é: Si = (V – 2).360º. Substituindo na fórmula, vem: 1440º = 360ºV – 720º. O valor de V é calculado pela expressão: 
 O poliedro regular com 6 vértices é o octaedro regular, que possui 8 faces. Logo, A + 2 = 6 + 8. O poliedro possui, então, 12 arestas.
7. Qual o número de vértices de um poliedro convexo constituído por doze faces triangulares?
Solução. O poliedro citado possui o número de arestas calculado como: 
. Logo o número de vértices será: V = 18 + 2 – 12 = 8.
8. Um poliedro convexo é formado por 4 faces triangulares, 2 faces quadrangulares e 1 face hexagonal. Calcule o número de vértices desse poliedro.
Solução. O número de arestas será: 
 O total de faces é dado pela soma 4 + 2 + 1 = 7 faces. O valor de V = 13 + 2 – 7 = 8.
9. Considere o poliedro regular de faces triangulares que não possui diagonais. Qual a soma dos ângulos das faces desse poliedro?
Solução. O poliedro regular que não possui diagonais é o tetraedro regular. Ele possui 4 faces triangulares. Cada face tem como soma dos ângulos internos 180º. Logo a soma dos ângulos das faces do poliedro será 4 x 180º = 720º.
10. Quantas arestas têm um poliedro convexo de faces triangulares em que o número de vértices é 
 do número de faces?
Solução. O número de faces é F e o de vértices será: 
. O número de arestas será 
. Aplicando a relação de Euler, temos: 
. Logo, 
11. Quantas faces possui um poliedro convexo de 11 vértices, 1 face pentagonal e o número de faces triangulares é igual ao número de faces quadrangulares?
Solução. Seja “t” o número de faces triangulares e “q” o número de faces quadrangulares. Temos que “t” = “q”. O número de arestas será: 
. Aplicando a relação de Euler, temos: A + 2 = V + F. Substituindo os valores, lembrando que 1 face é pentagonal e “t” = “q”, vem: 
 O resultado indica que há 5 faces triangulares e 5 quadrangulares, logo há ao todo 11 faces.
12. Se um poliedro convexo possui 16 faces triangulares, quantos vértices possui?
Solução. Calculando o número de arestas, vem: 
 Logo, V = 24 + 2 – 16 = 10.
13. Um poliedro convexo de 33 arestas possui faces triangulares e hexagonais. Sendo 6840º a soma dos ângulos internos das faces, calcule o número de faces triangulares e hexagonais.
Solução. Cada face triangular possui soma dos ângulos internos igual a 180º e a face hexagonal possui S6 = 180º(6 – 2) = 720º. Logo, se “x” for o número de faces triangulares e “y’ o número de faces hexagonais, temos: 180ºx + 720ºy = 6840º. O número de arestas é dado por: 
 Com as duas equações montamos um sistema:
Substituindo na 1ª equação, calculamos “x”: 
Resposta: Há 6 faces triangulares e 8 hexagonais.
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COLÉGIO PEDRO II – UNIDADE ESCOLAR SÃO CRISTÓVÃO III
 3a SÉRIE - MATEMÁTICA II 
COORDENADORA: MARIA HELENA M. M. BACCAR
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Quantos vértices tem um poliedro convexo com 4 faces triangulares?

Quantas vértices tem um poliedro convexo tem?

Qual o número de vértices de um poliedro convexo constituído por 4 faces?

Quantas arestas e quantos vértices tem um poliedro convexo de 20 faces triangulares?