Quantas saladas de frutas diferentes podemos formar com 5 frutas se possuo?

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PUCPR – VERÃO 2013 - MATEMÁTICA

Uma pessoa dispõe de 6 morangos, 6 bananas, 6 kiwis e 6 maçãs para fazer uma salada de frutas usando exatamente 6 frutas das 24 que possui. Sabendo que não é obrigatório utilizar os quatro tipos de fruta (morango, banana, kiwi e maçã), que é necessário usar pelo menos dois dos quatro tipos de fruta e que não é permitido utilizar quantidades não inteiras de cada fruta, calcule quantas saladas de frutas distintas essa pessoa poderá fazer.
A) 80
B) 84
C) 120
D) 1296
E) 116

SOLUÇÃO:
Inicialmente, devemos perceber que são duas escolhas a serem feitas: primeiro escolhemos quantos tipos de frutas vamos usar (podem ser 2, 3 ou 4 tipos). Depois escolhemos quais frutas vamos usar, uma vez que temos 4 possibilidades. Assim, vamos analisar separadamente, as saladas feitas com 2 tipos de frutas, depois com 3 tipos e, finalmente, as saladas feitas com 4 tipos de frutas.

SALADAS COM 2 TIPOS DE FRUTAS
Existem 3 maneiras diferentes de fazer uma salada usando dois tipos de frutas, totalizando 30 saladas diferentes, com a escolha das frutas que iremos usar. Vejamos: 1 fruta “tipo A” e 3 frutas “tipo B” → A4,2 = 12 2 frutas “tipo A” e 4 frutas “tipo B” → A4,2 = 12 3 frutas “tipo A” e 3 frutas “tipo B” → C4,2 = 6 TOTAL = 30 saladas de frutas diferentes (1)

SALADAS COM 3 TIPOS DE FRUTAS
Existem também 3 maneiras diferentes de fazer uma salada usando três tipos de frutas, totalizando 40 saladas diferentes, com a escolha das frutas que iremos usar. Vejamos: 1 fruta “tipo A” e 1 fruta “tipo B” e 4 frutas “tipo C” → 4.C3,2 = 12 1 fruta “tipo A” e 2 frutas “tipo B” e 3 frutas “tipo C” → A4,3 = 24 2 frutas “tipo A” e 2 frutas “tipo B” e 2 frutas “tipo C” → C4,3 = 4 TOTAL = 40 saladas de frutas diferentes (2)

SALADAS COM 4 TIPOS DE FRUTAS
Para esse caso, existem 2 maneiras diferentes de fazer uma salada, totalizando 10 saladas diferentes, com a escolha das frutas que iremos usar. Vejamos: 1 fruta “tipo A” e

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MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS CARLOS ANDRÉ ISOLADO DE MATEMÁTICA 2 Módulo 3 ANÁLISE COMBINATÓRIA PROF. CARLOS ANDRÉ EXERCÍCIOS SOBRE FATORIAL TEORIA & EXPLANAÇÃO 1. FATORIAL 01. Calcule: a) 5! b) 6! + 4! c) (3!) – (3 )! A partir dessa definição, o fatorial de 5 é representado por 5! e lê-se 5 fatorial. d) 10! 7! 5! é igual a 5 . 4 · 3 · 2 · 1 que é igual a 120, assim como 4! é igual a 4 · 3 · 2 · 1 que é igual a 24, como 3! é igual a 3 · 2 · 1….

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Uma vez superado o primeiro momento, e considerando que já sabemos que a questão será resolvida por Arranjo ou Combinação, seguiremos os passos seguintes, a fim de nos definirmos por uma ou por outra técnica de resolução. Vejamos:

1º Passo) Criaremos um resultado possível para o subgrupo;

2º Passo) Inverteremos a ordem do resultado que acabamos de criar (no 1º passo);

3º Passo) Compararemos os dois resultados que estão diante de nós (1º e 2º passos):

Se forem resultados diferentes: resolveremos a questão por Arranjo!

Se forem resultados iguais: resolveremos a questão por Combinação!

Exemplo: Quantos números de três algarismos distintos podem ser formados, dispondo dos algarismos 1, 2, 3, 4 e 5?

E agora, Arranjo ou Combinação?

1º Passo) Criando um resultado possível, podemos ter: (1 2 3). O número cento e vinte e três. Pode ser? Claro!

2º Passo) Invertendo a ordem do resultado criado: (3 2 1). Chegamos ao número trezentos e vinte e um.

3º Passo) A comparação! São iguais ou diferentes os dois resultados acima? Ora, tratando-se de números, é claro que são distintos!

Conclusão: resolveremos a questão por Arranjo!

Exemplo:

Dispondo das seguintes espécies de frutas {maçã, mamão, melão, banana, pêra, uva, laranja e melancia}, quantos tipos de saladas podem ser formados, contendo três tipos de frutas?

Será Arranjo ou será Combinação?

1º Passo) Criando um resultado possível: (mamão, melão e maçã) Gostaram da minha salada? Se não gostaram, vai ela mesma!

2º Passo) Invertamos a ordem! Teremos: (maçã, melão e mamão)

3º Passo) Comparemos: A salada do primeiro passo é igual ou é diferente da salada do segundo passo? O sabor é o mesmo? Claro que sim! Os resultados são iguais!

Conclusão: a questão sai por Combinação!

É somente isso! Se vocês se lembrarem destes três exemplos simples acima, serão capazes de identificar o caminho de resolução de qualquer questão de Análise Combinatória!

Resolvendo questões por Arranjo:

Uma vez sabendo identificar quais as questões que se resolvem por Arranjo, resta saber como se dá tal resolução!

A fórmula do Arranjo é a seguinte:

Onde:

n é o número de elementos do conjunto universo; e
p é o número de elementos do subgrupo.

Para quem anda mais esquecido, esse sinal de EXCLAMAÇÃO (!) significa a operação fatorial. Trata-se, tão somente, de um produto que se inicia com o próprio valor (que antecede o sinal "!") e vai se reduzindo até chegar a um.

Exemplo:

8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1

5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1

E assim por diante!

Observem que, sempre que formos fazer uma divisão entre fatoriais, repetiremos o menor deles, e desenvolveremos o maior até que se iguale ao menor.

Exemplo:

Viram? E agora? Ora, agora resta cortarmos o 5! do numerador com o do denominador. E teremos apenas que:

Fácil, não? Mais fácil que roubar doce de criança! Pois bem, voltemos ao exemplo dois da página anterior:

Exemplo: Quantos números de três algarismos distintos podem ser formados, dispondo dos algarismos 1, 2, 3, 4 e 5?

Primeira análise: os elementos do subgrupo podem ser iguais ou têm que ser distintos? Distintos, pois assim estabelece o enunciado. Daí, resolveremos por Arranjo ou Combinação!

Segunda análise: sairá por Arranjo ou Combinação?

1º Passo) Criando um resultado possível, podemos ter: (1 2 3)

2º Passo) Invertendo a ordem do resultado criado: (3 2 1)

3º Passo) A comparação: os resultados são distintos! Arranjo!

Arranjo de quantos em quantos? De 5 em subgrupos de 3. Teremos:

Ou seja, podemos formar 60 números com 3 algarismos distintos, dispondo dos algarismos 1, 2, 3, 4 e 5.

Uma pergunta deveras oportuna seria: não dava para resolver essa questão pelo Princípio da Contagem?

Vejamos: nosso evento é formar um número de três algarismos distintos. Podemos dividi-lo em três etapas: definição do primeiro algarismo, definição do segundo e definição do terceiro.

Teremos:

1ª etapa) definição do primeiro algarismo: 5 resultados possíveis;

2ª etapa) definição do segundo algarismo: 4 resultados possíveis;

3ª etapa) definição do terceiro algarismo: 3 resultados possíveis.

Multiplicando-se os resultados parciais, teremos:

5 x 4 x 3= 60 - Resposta!

Mesma resposta que chegamos pelo Arranjo!

Olhemos de novo, e com mais calma, o diagrama dos caminhos de resolução:

Repare bem na seta que aponta para cima! Reparou?

O que ela quer indicar? O seguinte: se você descobrir que a questão deve ser resolvida por Arranjo, então poderá também resolvê-la pelo Princípio da Contagem!

Observe que se trata de uma seta com sentido único! De Arranjo para Princípio da Contagem! Apenas isso! O caminho de volta - Princípio da Contagem para Arranjo - nem sempre será possível!

E de Combinação para Princípio da Contagem? Dá certo? De jeito nenhum! Basta olhar para o desenho acima, e não tem erro! Ok?

Próxima pergunta recorrente: ora, se questão de Arranjo sai pelo Princípio da Contagem, então eu preciso mesmo saber esse tal de Arranjo? A resposta é SIM, você precisa!

Resolvendo questões por Combinação:

A fórmula da Combinação é a seguinte:

Onde:

n é o número de elementos do conjunto universo; e

p é o número de elementos do subgrupo.

Retornemos ao exemplo 03, apresentado anteriormente:

Exemplo:

Dispondo das seguintes espécies de frutas {maçã, mamão, melão, banana, pera, uva, laranja e melancia}, quantos tipos de saladas podem ser formados, contendo três tipos de frutas?

Primeira análise: os elementos do subgrupo podem ser iguais ou têm que ser distintos?

Distintos, pois, embora não dito isso expressamente pelo enunciado, fica claro que não podemos formar saladas com frutas iguais! Uma salada já é, por si, uma mistura de frutas de tipos diferentes! Daí, usaremos Arranjo ou Combinação!

Segunda análise: sairá por Arranjo ou Combinação?

1º Passo) Criando um resultado possível, podemos ter: (maçã, pera e uva)

2º Passo) Invertendo a ordem do resultado criado: (uva, pera e maçã)

3º Passo) A comparação: os resultados são iguais! - Combinação!

Combinação de quantos em quantos? De 8 (tipos de frutas do conjunto universo) em subgrupos de 3 (tipos de frutas da salada que formaremos!).

Teremos:

Portanto, na combinação, diferentemente do Arranjo, os agrupamentos devem ser distintos, não importando a ordem.

Vejamos o exemplo abaixo:

A={1,2,3} forma os pares (1,2), (1,3) e (2,3).

Como você pode verificar, não houve par repetido. Basicamente é essa a diferença entre Combinação e Arranjo. É possível reduzir calcular rapidamente a quantidade de combinações usando a fórmula:

C n,p = n!
p!(n-p)!

Por exemplo, se tivermos um conjunto com 7 termos e quisermos formar combinações de 3 a 3:

C 7,3 = 7! = 7 x 6 x 5 x 4! = 35
3!(7-3)! 3! 4!