Quantos números múltiplos de 5 de 4 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1 2 3 4 5 é 6?

Os conceitos de múltiplos e divisores de um número natural estendem-se para o conjunto dos números inteiros. Quando tratamos do assunto múltiplos e divisores, referimo-nos a conjuntos numéricos que satisfazem algumas condições. Os múltiplos são encontrados após a multiplicação por números inteiros, e os divisores são números divisíveis por um certo número.

Devido a isso, encontraremos subconjuntos dos números inteiros, pois os elementos dos conjuntos dos múltiplos e divisores são elementos do conjunto dos números inteiros. Para entender o que são números primos, é necessário compreender o conceito de divisores.

Tópicos deste artigo

• 1 - Múltiplos de um número
• 2 - Divisores de um número
• 3 - Propriedade dos múltiplos e divisores
• 4 - Números primos
• 5 - Exercícios resolvidos

Múltiplos de um número

Sejam a e b dois números inteiros conhecidos, o número a é múltiplo de b se, e somente se, existir um número inteiro k tal que a = b · k. Desse modo, o conjunto dos múltiplos de aé obtido multiplicandoapor todos números inteiros, os resultados dessas multiplicações são os múltiplos de a.

Por exemplo, listemos os 12 primeiros múltiplos de 2. Para isso temos que multiplicar o número 2 pelos 12 primeiros números inteiros, assim:

2 · 1 = 2

2 · 2 = 4

2 · 3 = 6

2 · 4 = 8

2 · 5 = 10

2 · 6 = 12

2 · 7 = 14

2 · 8 = 16

2 · 9 = 18

2 · 10 = 20

2 · 11 = 22

2 · 12 = 24

Portanto, os múltiplos de 2 são:

M(2) = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24}

Observe que listamos somente os 12 primeiros números, mas poderíamos ter listado quantos fossem necessários, pois a lista de múltiplos é dada pela multiplicação de um número por todos os inteiros. Assim, o conjunto dos múltiplos é infinito.

Para verificar se um número é ou não múltiplo de outro, devemos encontrar um número inteiro de forma que a multiplicação entre eles resulte no primeiro número. Veja os exemplos:

→ O número 49 é múltiplo de 7, pois existe número inteiro que, multiplicado por 7, resulta em 49.

49 = 7 · 7

→ O número 324 é múltiplo de 3, pois existe número inteiro que, multiplicado por 3, resulta em 324.

324 = 3 · 108

→ O número 523 não é múltiplo de 2, pois não existe número inteiro que, multiplicado por 2, resulte em 523.

523 = 2 · ?

Leia também: Propriedades da multiplicação que facilitam o cálculo mental

Múltiplos de 4

Como vimos, para determinar o múltiplos do número 4, devemos multiplicar o número 4 por números inteiros. Assim:

4 · 1 = 4

4 · 2 = 8

4 · 3 = 12

4 · 4 = 16

4 · 5 = 20

4 · 6 = 24

4 · 7 = 28

4 · 8 = 32

4 · 9 = 36

4 · 10 = 40

4 · 11 = 44

4 · 12 = 48

...

Portanto, os múltiplos de 4 são:

M(4) = {4, 8, 12, 16, 20. 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, … }

Múltiplos de 5

De maneira análoga, temos os múltiplos de 5.

5 · 1 = 5

5 · 2 = 5

5 · 3 = 15

5 · 4 = 20

5 · 5 = 25

5 · 6 = 30

5 · 7 = 35

...

Logo, os múltiplos de 5 são: M(5) = {5, 10, 15, 20, 25, 30 , 35, 40, 45, … }

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Divisores de um número

Sejam a e b dois números inteiros conhecidos, vamos dizer que b é divisor de a se o número b for múltiplo de a, ou seja, a divisão entre b e a é exata (deve deixar resto 0).

Veja alguns exemplos:

→ 22 é múltiplo de 2, então, 2 é divisor de 22.

→ 63 é múltiplo de 3, logo, 3 é divisor de 63.

→ 121 não é múltiplo de 10, assim, 10 não é divisor de 121.

Para listar os divisores de um número, devemos buscar os números que o dividem. Veja:

– Liste os divisores de 2, 3 e 20.

D(2) = {1, 2}

D(3) = {1, 3}

D(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Observe que os números da lista dos divisores sempre são divisíveis pelo número em questão e que o maior valor que aparece nessa lista é o próprio número, pois nenhum número maior que ele será divisível por ele.

Por exemplo, nos divisores de 30, o maior valor dessa lista é o próprio 30, pois nenhum número maior que 30 será divisível por ele. Assim:

D(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}

Saiba mais: Curiosidades sobre a divisão de números naturais

Propriedade dos múltiplos e divisores

Essas propriedades estão relacionadas à divisão entre dois inteiros. Observe que quando um inteiro é múltiplo de outro, é também divisível por esse outro número.

Considere o algoritmo da divisão para que possamos melhor compreender as propriedades.

N = d · q + r, em que q e r são números inteiros.

Lembre-se de que N é chamado de dividendo;d, de divisor;q, de quociente; e r, de resto.

→ Propriedade 1: A diferença entre o dividendo e o resto (N – r) é múltipla do divisor, ou o número d é divisor de (N – r).

→ Propriedade 2: (N – r + d) é um múltiplo de d, ou seja, o número d é um divisor de (N – r + d).

Veja o exemplo:

– Ao realizar a divisão de 525 por 8, obtemos quociente q = 65 e resto r = 5. Assim, temos o dividendo N = 525 e o divisor d = 8. Veja que as propriedades são satisfeitas, pois (525 – 5 + 8) = 528 é divisível por 8 e:

528 = 8 · 66

Números primos

Os números primos são aqueles que possuem como divisor em sua listagem somente o número 1 e o próprio número. Para verificar se um número é primo ou não, um dos métodos mais triviais é fazer a listagem dos divisores desse número. Caso apareça números a mais que 1 e o número em questão, este não é primo.

→ Verifique quais são os números primos entre 2 e 20. Para isso, vamos fazer a lista dos divisores de todos esses números entre 2 e 20.

D(2) = {1, 2}

D(3) = {1, 3}

D(4) = {1, 2, 4}

D(5) = {1, 5}

D(6) = {1, 2, 3, 6}

D(7) = {1, 7}

D(8) = {1, 2, 4, 8}

D(9) = {1, 3, 9}

D(10) = {1, 2, 5, 10}

D(11) = {1, 11}

D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

D(13) = {1, 13}

D(14) = {1, 2, 7, 14}

D(15) = {1, 3, 5, 15}

D(16) = {1, 2, 4, 16}

D(17) = {1, 17}

D(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}

D(19) = {1, 19}

D(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Assim, os números primos entre 2 e 20 são:

{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 e 19}

Observe que o conjunto é de alguns dos primeiros primos, essa lista continua. Veja que quanto maior é o número, mais difícil torna-se dizer se ele é primo ou não.

Leia mais: Números irracionais: aqueles que não podem ser representados em frações

Exercícios resolvidos

Questão 1 – (UMC-SP) O número de elementos do conjunto dos divisores primos de 60 é:

a) 3

b) 4

c) 5

d) 10

Solução

Alternativa A

Inicialmente, listaremos os divisores de 60 e, em seguida, analisaremos quais são primos.

D(60) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}

Desses números, temos que são primos os:

{2, 3, 5}

Portanto, a quantidade de números divisores primos de 60 é 3.

Questão 2 – Escreva todos os números naturais menores que 100 e múltiplos de 15.

Solução

Sabemos que os múltiplos de 15 são os resultados da multiplicação do número 15 por todos os inteiros. Como o exercício pede para escrever os números naturais menores que 100 e que são múltiplos de 15, devemos multiplicar o 15 por todos os números maiores que zero, até encontrarmos o maior múltiplo antes de 100, assim:

15 · 1 = 15

15 · 2 = 30

15 · 3 = 45

15 · 4 = 60

15 · 5 = 75

15 · 6 = 90

15 · 7 = 105

Portanto, os números naturais menores que 100 e múltiplos de 15 são:

{15, 30, 45, 60, 75, 90}

Questão 3 – Qual o maior múltiplo de 5 entre 100 e 1001?

Solução

Para determinar o maior múltiplo de 5 entre 100 e 1001, basta identificar qual o primeiro múltiplo de 5 de trás para frente.

1001 não é múltiplo de 5, pois não existe inteiro que, multiplicado por 5, resulte em 1001.

1000 é múltiplo de 5, pois 1000 = 5 · 200.

Portanto, o maior múltiplo de 5, entre 100 e 1001, é o 1000.

Por Robson Luiz
Professor de Matemática

Quantos números múltiplos de 5 de 4 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1 2 3 4 5 6?

Quantos números de quatro algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1 2 3 4 5 6 7 8 é 9?

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Quantos números de dois algarismos distintos podemos escrever com os algarismos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 *?