Quantos são os anagramas da palavra martelo que apresentam as letras M a R juntas e nessa ordem a 120 B 144 C 240 D 720 e 5040?

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Exemplo 6: Com os algarismos 3, 5, 7 e 9 foram formados todos os números naturais
possíveis de 3 algarismos e distintos, colocados em ordem crescente. Qual a posição do
número 793?
Resolução:
Sendo os números formados em ordem crescente, determinaremos todos os números
iniciados com o algarismo 3; portanto, sobram 2 posições restantes para os demais
algarismos.
Números iniciados pelo algarismo 5, portanto, sobrando, também, 2 posições para os
demais algarismos.
Observe que, até agora, formamos 12 números iniciados pelos algarismos 3 ou por 5.
Os números iniciados pelo algarismo 7, serão:
7 3 5: ocupa a posição.
7 3 9: ocupa a posição.
7 5 3: ocupa a posição.
7 5 9: ocupa a posição.
7 9 3: ocupa a posição.
7 9 5: ocupa a posição.
Logo, serão formados 18 números distintos com 3 algarismos, formados pelos
algarismos 3, 5, 7 e 9; e o número 793 ocupará a posição.
2.2.4. Permutações simples
Denominamos permutações simples de n elementos dados a toda sucessão de n termos,
formada com os n elementos dados.
As permutações simples são casos particulares de arranjos simples quando n = k, daí o
número de permutações simples de n elementos ser dado por:
Então: 
Exemplo 1: De quantas maneiras distintas podemos posicionar 5 pessoas em uma fila
contendo 5 cadeiras?
Resolução:
Para a 1ª cadeira, teremos 5 opções; para a 2ª cadeira, teremos 4 opções, pois, pelo
menos uma das 5 pessoas deverá estar sentada na 1ª cadeira; para a 3ª cadeira, teremos
3 opções, pois as 2 primeiras cadeiras já estão ocupadas; para a 4ª cadeira, teremos 2
opções, pois sobrarão apenas 2 pessoas a serem acomodadas; e, para a última cadeira,
sobrará apenas uma vaga.
Assim, pelo Princípio Multiplicativo da Contagem (princípio que permite permutar as
posições), teremos:
Portanto, teremos 120 maneiras distintas dessas 5 pessoas sentarem-se em 5 cadeiras.
Exemplo 2: Com a palavra EXATO:
a) Quantos anagramas existem?
b) Quantos anagramas iniciam com a letra A?
c) Quantos anagramas iniciam com vogal?
d) Quantos anagramas iniciam com consoante?
e) Quantos anagramas iniciam com consoante e terminam em vogal?
Observação: Anagrama é a palavra ou frase que se obtém quando se troca apenas a
ordem das letras de uma palavra ou frase já dada.
Resolução dos itens:
a) Quantos anagramas?
O total de anagramas é igual a P5, isto é, ao número de permutações simples com as letras
E, X, A, T, O. Portanto, temos:
b) Quantos anagramas iniciam com a letra A?
Fixando a letra A na primeira posição, ficamos com 4 posições disponíveis e 4 letras a
serem permutadas:
Assim, o total de anagramas que se iniciam com a letra A é igual a P4:
c) Quantos anagramas iniciam com vogal?
De maneira análoga ao item anterior, verificamos que, para cada vogal, temos P4
anagramas. Como são 3 as vogais da palavra EXATO, ou seja, E, A e O, temos, então, 3P4
anagramas:
P4 = 72 anagramas iniciados por vogais
d) Quantos anagramas iniciam com consoante?
Fixando as consoantes na primeira posição, temos P4 anagramas para cada consoante.
Como a palavra EXATO possui 2 consoantes, ou seja, X e T, então, teremos o total de
2P4 anagramas que iniciam-se por consoantes:
P4 = 48 anagramas iniciados por consoantes
e) Quantos anagramas iniciam com consoante e terminam em vogal?
Ou seja, para cada consoante na primeira posição e para cada vogal na última posição,
temos, nas 3 posições intermediárias, as permutações simples de 3 letras que restarem,
formando P3 anagramas, totalizando 2 × P3 × 3 anagramas que se iniciam por
consoantes e terminam com vogal.
Exemplo 3: Com a palavra MARTELO:
a) Quantos anagramas podemos formar?
b) Quantos anagramas começam por A ?
c) Quantos anagramas começam por A e terminam por L?
d) Quantos anagramas começam por vogal?
e) Quantos anagramas terminam por consoante?
f) Quantos anagramas começam por vogal e terminam por consoante?
g) Quantos anagramas começam por vogal ou terminam por consoante?
h) Quantos anagramas apresentam as letras M, A e R juntas e nessa ordem?
i) Quantos anagramas apresentam as letras M, A e R juntas?
Resolução dos itens:
a) Quantos anagramas podemos formar?
Um anagrama da palavra MARTELO é a própria palavra ou qualquer outra que se obtém
trocando a ordem de suas letras. Assim, o número de anagramas da palavra MARTELO é
igual ao número de permutações simples de 7 letras distintas, isto é:
 anagramas distintos.
b) Quantos anagramas começam por A?
Fixando-se a letra A na primeira posição, sobram 6 letras para serem distribuídas nas 6
posições posteriores:
 anagramas distintos que começam com a letra A.
c) Quantos anagramas começam por A e terminam por L?
Fixando-se as letras A e L na primeira e na sétima posições, respectivamente, sobram 5
letras para serem distribuídas nas cinco posições intermediárias:
P5 = 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 anagramas começam por A e terminam por L.
d) Quantos anagramas começam por vogal?
Há 3 possibilidades para o preenchimento da primeira posição: A, E ou O. Para cada
vogal fixada na primeira posição, sobram 6 letras para serem distribuídas nas posições
posteriores:
P6 = 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720
3P6 = 3 × 6! = 3 × 720 = 2.160 possibilidades.
Assim, há 2.160 anagramas que começam por vogal.
e) Quantos anagramas terminam por consoante?
Há 4 possibilidades para o preenchimento da última (sétima) posição: M, R, T ou L.
Para cada consoante fixada na sétima posição, sobram 6 letras para serem distribuídas
nas 6 posições anteriores:
P6 = 6! = 6 ×5 × 4 ×3 ×2 × 1 = 720
4P6 = 4 × 6! = 4 × 720 = 2.880 possibilidades.
Assim, há 2.880 anagramas que terminam por consoante.
f) Quantos anagramas começam por vogal e terminam por consoante?
Há 3 possibilidades para o preenchimento da primeira posição e 4 possibilidades para o
preenchimento da última (sétima posição). Fixadas uma vogal e uma consoante na
primeira e na sétima posições, respectivamente, sobram 5 letras para serem distribuídas
nas posições intermediárias:
3 × P5 × 4 = 3 × 5! × 4 = 3 × 120 × 4 = 1.440.
Há, então, 1.440 anagramas que começam por vogal e terminam por consoante.
g) Quantos anagramas começam por vogal ou terminam por consoante?
Sejam A e B conjuntos de anagramas da palavra MARTELO, tais que:
• A = {anagramas que começam por vogal};
• B = {anagramas que terminam por consoante};
• A B = {anagramas que começam por vogal e terminam por consoante};
• A B = {anagramas que começam por vogal ou terminam por consoante}.
Lembremos que n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B).
Nos itens (d), (e) e (f) já calculamos n(A), n(B) e n(A ∩ B) e obtivemos:
n(A) = 2.160;
n(B) = 2.880;
n(A ∩ B) = 1.440.
Logo, n(A ∪ B) = 2.160 + 2.880 – 1.440 = 3.600.
Temos então que 3.600 anagramas começam por vogal ou terminam por consoante.
h) Quantos anagramas apresentam as letras M, A e R juntas e nessa ordem?
Primeiro modo:
As letras M, A e R podem ocupar, respectivamente, as seguintes posições: primeira,
segunda, terceira; segunda, terceira, quarta; terceira, quarta, quinta; quarta, quinta,
sexta; quinta, sexta, sétima. Analisemos cada caso:
1º caso: Primeira, segunda e terceira posições:
2º caso: Segunda, terceira e quarta posições:
3º caso: Terceira, quarta e quinta posições:
4º caso: Quarta, quinta e sexta posições:
5º caso: Quinta, sexta e sétima posições:
Observe que, nos 5 casos estudados anteriormente, sobram, sempre, 4 letras para serem
permutadas entre si. Portanto, ˆp [teremos, 5 possibilidades de Permutação Simples de
4 letras cada uma, ou, resumindo os cálculos em:
Ou seja, 120 anagramas apresentam as letras M, A e R juntas e nessa ordem.
Segundo modo:
Observando o primeiro modo, percebemos que o bloco de letras MAR atuou como um
único elemento nas demais permutações simples (as letras M, A e R estão colocadas
nessa “ordem”).
Assim, podemos resolver esse problema calculando o número de permutações simples dos
5 elementos a seguir: “MAR”, T, E, L e O, isto é, considerando o bloco de letras “MAR”
como sendo um único elemento a ser permutado com as

Quantos são os anagramas da palavra martelo?

Quantos são os anagramas da palavra martelo que apresentam as letras e L O juntas a 120 B 144 C 240 D 720 e 5040?

Quantos são os anagramas da palavra martelo que apresentam as letras M a R juntas e nessa ordem?

Qual o número de anagrama da palavra matriz?