Sabendo que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180

Os triângulos são polígonos formados por três lados. Dentro do conjunto de todos os polígonos, os triângulos são os mais simples, por apresentarem menos lados, mas possuem propriedades e características complexas. Uma delas se refere à soma de seus ângulos internos, que é sempre igual a 180º, independentemente do formato do triângulo, de seu tamanho ou de qualquer outra característica.

Sendo assim, um triângulo ABC, com ângulos internos a, b e c, possui a seguinte propriedade:

a + b + c = 180

Essa propriedade não é usada para descobrir que a soma dos ângulos internos é igual a 180°, mas é usada para descobrir a medida de um dos ângulos do triângulo quando se conhece as medidas dos outros dois.

Exemplos

1º exemplo – Qual é a medida do ângulo α na figura a seguir?

Solução:

Sabendo que os ângulos internos de um triângulo totalizam 180°, podemos escrever:

α + 50 + 50 = 180

α = 180 – 50 – 50

α = 80°

2º exemplo – Calcule o valor de x no triângulo a seguir.

Solução:

Como já sabemos, a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°. Portanto, podemos escrever:

2x + 3x + 4x = 180

9x = 180

x = 180
     9

x = 20

Demonstração

O procedimento usado para mostrar que a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre igual a 180° será feito a seguir em etapas e baseia-se em outro conhecimento: dos ângulos formados em um feixe de retas paralelas cortadas por uma transversal. Para compreender bem a demonstração, lembre-se: ângulos alternos internos são congruentes. Além disso, lembre-se também de que as semirretas que definem um ânguloraso (de 180°) formam uma reta. Isso significa que qualquer ângulo observado sobre uma reta terá essa medida.

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Etapa 1: Desenhar um triângulo ABC cuja base é BC. Observe apenas que esse triângulo é aleatório, pode ser qualquer triângulo, e que a base também pode ser AC ou BA que o resultado obtido será o mesmo.

Etapa 2: Sobre o vértice A, trace a reta paralela ao lado BC, como mostra o exemplo a seguir:

Etapa 3: Colocar sobre esse desenho os ângulos internos α, β e γ do triângulo e os ângulos θ e λ que foram formados no processo:

Etapa 4: Observe que os ângulos θ e β são alternos internos. Isso significa que são congruentes. O mesmo acontece com γ e λ, que também são alternos internos. Logo, podemos trocar θ por β e λ por γ na imagem. Assim, obteremos o esquema ilustrado pela imagem a seguir.

Etapa 5: Observar que a soma dos ângulos realmente é 180°. Para isso, note que os ângulos na figura a seguir, que foram circulados, ao mesmo tempo, têm a mesma medida dos ângulos internos do triângulo e os três juntos formam um ângulo raso, portanto:

α + β + γ = 180°

Um triângulo é uma figura geométrica que possui três lados, três ângulos e três vértices. Os triângulos possuem diversas propriedades, uma delas diz respeito aos seus ângulos internos: independentemente das dimensões do triângulo, do seu formato, do comprimento de seus lados ou da medida de seus ângulos internos, a soma desses ângulos internos sempre será igual a 180°.

Em outras palavras, se ABC é um triângulo, e a, b e c são seus ângulos internos, como podemos exemplificar com a imagem a seguir:

Então, podemos escrever corretamente a soma:

a + b + c = 180°

Geralmente, essa igualdade não é usada para descobrir que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°, mas sim para determinar a medida de um dos ângulos internos de um triângulo, quando as medidas dos outros dois são conhecidas.

Exemplo: Qual a medida do terceiro ângulo interno de um triângulo que possui dois ângulos internos iguais a 30° e a 90°?

Solução:

30° + 90° + x = 180°
x = 180° – 30° – 90°
x = 60°

O terceiro ângulo mede 60°.

Demonstração

Considere o triângulo ABC, com ângulos a, b e c, como o da figura a seguir:

Construa sobre o ponto C uma reta paralela ao lado AB desse triângulo.

Reta paralela ao lado AB no triângulo ABC

Observe que os lados AC e BC podem ser encarados como retas transversais, que cortam as duas retas paralelas. Os ângulos x e y formados nessa construção são, respectivamente, alternos internos com os ângulos a e b. Assim, x = a e y = b.

Agora, note que a soma x + c + y = 180°, pois os três ângulos são adjacentes e seus limites são a reta paralela ao lado AB. Assim, substituindo os valores de x e y, teremos:

a + b + c = 180°

Exemplos:

1º Exemplo – Determine a medida de cada um dos três ângulos internos do triângulo a seguir.

Solução:

Sabendo que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°, basta fazer:

x + 2x + 3x = 180°
6x = 180°
x = 180°
     6
x = 30°

Como os ângulos internos são múltiplos de x, cada um deles mede:

x = 30°,
2x = 60° e
3x = 90°

2º Exemplo – Um triângulo tem um de seus ângulos internos com a medida exatamente igual ao triplo das medidas dos outros dois, que são congruentes. Quanto mede cada um dos ângulos internos desse triângulo?

Solução:

Para resolver esse problema, considere que os dois ângulos congruentes medem x e o outro ângulo mede 3x. Como a soma dos ângulos internos é igual a 180°, teremos:

x + x + 3x = 180°
5x = 180°
x = 180°
      5
x = 36°.

Como x é a medida dos dois ângulos congruentes, já sabemos que eles medem 36°. O terceiro ângulo é o triplo disso, portanto, mede:

3x = 3·36 = 108°

Videoaula relacionada:

Como provar que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180 graus?

Qual o nome dos ângulos internos do triângulo?

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Qual o valor do ângulo superior?