Sabendo que o segmento de e paralelo a base ac do triângulo, então podemos afirmar que x é igual a

O teorema da bissetriz interna é aplicado em triângulos. Por meio dele, é possível demonstrar que ao traçar qualquer uma das bissetrizes internas desse polígono, elas dividirão o lado oposto em segmentos de reta que são proporcionais a seus lados adjacentes.

A partir do teorema da bissetriz interna é possível encontrar valores desconhecidos em um triângulo. Existe também o teorema da bissetriz externa. Como o nome sugere, ele está relacionado ao ângulo externo do triângulo.

Leia também: Quais são os pontos notáveis de um triângulo?

Resumo sobre teorema da bissetriz interna

• O teorema da bissetriz interna é aplicado em triângulos.

• Ele mostra que a bissetriz de um ângulo interno do triângulo divide o lado em segmentos proporcionais aos lados adjacentes.

• Existe também o teorema da bissetriz externa, que mostra proporções parecidas relacionadas à bissetriz do ângulo externo do triângulo.

Videoaula sobre teorema da bissetriz interna

Para compreender o teorema, é importante compreender o que é a bissetriz, definida pela semirreta que divide um ângulo em duas partes congruentes.

Quando a bissetriz de um triângulo é delineada, a ideia é a mesma. A bissetriz de um ângulo interno do triângulo é um segmento de reta que divide aquele ao meio.

Note que, além de dividir o ângulo ao meio, a bissetriz divide a base do triângulo em dois segmentos, AD e DB. O teorema abordado a seguir mostra uma relação de proporcionalidade entre os segmentos e os lados AC e BC.

Leia também: Segmentos proporcionais — aqueles que apresentam relações de proporcionalidade entre si

Como é o teorema da bissetriz interna?

O teorema da bissetriz interna mostra que se traçarmos a bissetriz AD em um triângulo de lados ABC, encontraremos dois segmentos. A razão entre o lado AC e o segmento CD é igual à razão entre o lado AB e o segmento BD.

Demonstração do teorema da bissetriz interna

Dado o triângulo ABC, com bissetriz AD, delimitaremos o prolongamento do lado AB e um segmento CE paralelo à bissetriz do triângulo, como na imagem abaixo:

Pelo teorema de Tales, sabemos que a reta transversal forma segmentos proporcionais, então temos o seguinte:

Sendo x o ângulo conhecido, qual o valor dos ângulos internos do triângulo AEC?

A soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre igual a 180°. Dessa forma, no triângulo ACE, calcula-se:

x + 180º – 2x + y = 180º

– x + y = 180° – 180°

– x + y = 0

y = x

Se o ângulo x e o ângulo y possuem a mesma medida, o triângulo ACE é isósceles. Logo, os segmentos AE e AC são congruentes. Trocando AE por AC na razão, fica provado que:

Exemplo:

Dado o triângulo a seguir, encontre o valor de x.

Resolução:

Analisando a imagem, nota-se que basta aplicar o teorema da bissetriz interna nesse triângulo. Montando as proporções, temos que:

Multiplicando de forma cruzada, calcula-se:

16x = 32 · 18

16x = 576

x = 576 : 16

x = 36

Diferença entre o teorema da bissetriz interna e o teorema da bissetriz externa

O teorema da bissetriz interna não é o único teorema envolvendo a bissetriz de um triângulo. Além dele, existe o teorema da bissetriz externa. Como o nome sugere, o teorema da bissetriz externa está ligado à bissetriz de um ângulo externo, diferentemente do teorema da bissetriz interna, que utiliza apenas os ângulos internos do triângulo.

Ambos os teoremas nos auxiliam a encontrar valores desconhecidos por meio da proporção. Assim, utilizamos o teorema que for mais conveniente de acordo com as informações já conhecidas.

Leia também: Congruência de triângulos — os casos em que eles apresentam medidas iguais

Exercícios resolvidos sobre teorema da bissetriz interna

Questão 1

Analisando o triângulo a seguir, podemos afirmar que o comprimento do lado AB é igual a

A) 15,0

B) 14,8

C) 13,5

D) 7,5

E) 6

Resolução:

Alternativa C

Sabemos que os segmentos são proporcionais. Portanto, montaremos a proporção e multiplicaremos de forma cruzada:

Conhecendo o valor de x, sabemos que o lado AB é igual a 2x + 3x – 1,5. Dessa forma, obtém-se o seguinte:

AB = 2x + 3x – 1,5

AB = 5x – 1,5

Substituindo x = 3:

AB = 5 · 3 – 1,5

AB = 15 – 1,5

AB = 13,5

Questão 2

(CFTMG 2015) O perímetro do triângulo ABC vale 120 cm e a bissetriz do ângulo  divide o lado oposto em dois segmentos de 18 cm e 22 cm, conforme a figura.

A medida do maior lado desse triângulo em centímetros é de:

A) 22

B) 36

C) 44

D) 52

Resolução:

Alternativa C

Sabemos que o perímetro do triângulo é de 120 cm, então:

c + b + 18 + 22 = 120

c + b = 120 – 40

c + b = 80

c = 80 – b

Pelo teorema da bissetriz interna, temos:

Analisando os lados, sabemos que b > c, pois:

c = 80 – b

c = 80 – 44

c = 36

Portanto, o maior lado desse triângulo mede 44 cm.

REVISÃO PARA A PROVA – 9 ANO 1) Sabendo-se que uma urna contém 10 bolas coloridas, de modo que 5 são azuis, 3 vermelhas e 2 verdes, qual a probabilidade de, ao retirar 2 bolas dessa caixa, sem reposição entre as retiradas, elas serem uma vermelha e uma azul? A 1/3 B 1/4 C 1/5 D 1/6 2) Uma família de 15 pessoas fez um amigo secreto para as festas de fim de ano. Para a realização do sorteio do amigo secreto, escreveram os nomes de todos os 15 membros da família em papeis, dobraram-nos e colocaram em um saco opaco para sorteio. Luis, membro da família, foi o primeiro a sortear. Qual a probabilidade de Luis sortear a si mesmo? A 1/15 B 1/14 C 15/15 D 14/15 3) Um curso preparatório tem 80 alunos matriculados. • 25% dos alunos são do sexo masculino; • Dentre as mulheres, apenas 30% querem prestar concursos militares; • Entre os homens, 65% pretendem ingressar na carreira militar. Considere que um aluno desse curso é escolhido ao acaso. A probabilidade de ser um aluno que não pretende prestar concursos militares é de: A 31/60. B 31/80. C 49/60. D 49/80. E 21/60. 4) Uma sala de aula tem 8 meninos e 12 meninas. Ao escolher um aluno ao acaso para ser o representante, qual é a probabilidade desse aluno ser um menino? A 2/3 B 3/2 C 2/5 D 3/5 5) Em uma caixa, foram depositadas 500 bolas idênticas e numeradas de 1 a 500. Qual a probabilidade de, ao ser sorteada aleatoriamente uma dessas bolas, o número que esteja impresso na bola seja diferente de um múltiplo de 7 e 9, simultaneamente? A Menos de 1%. B Entre 1% e 5%. C Entre 20% e 50%. D Entre 75% e 90% E Entre 90% e 99%. 6) Escolhendo, ao acaso, uma letra da palavra CONSTITUINTE, a probabilidade de essa letra não ser uma vogal é, aproximadamente, igual a: A 58% B 42% C 67% D 29% 7) Analise a imagem a seguir: Sabendo que a + b = 21, então o valor de a é respectivamente igual a: A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 14 8) Sobre o triângulo ABC foi traçado o segmento de reta DE, conforme a imagem a seguir. Sabendo que o segmento DE é paralelo à base AC do triângulo, então podemos afirmar que x é igual a: A) 9,5 B) 8,0 C) 9,0 D) 9,5 E) 10,0 9) Sabendo que as retas r, s e t são paralelas e analisando a imagem, podemos afirmar que x é igual a aproximadamente: A) 1,10 B) 1,18 C) 1,20 D) 1,25 E) 1,29 10) Um condomínio foi projetado de modo que do portão principal saem duas alamedas não paralelas entre si e transversais às demais ruas de circulação, que formam um feixe de paralelas. Abaixo apresentamos um desenho simplificado dessa situação: Qual o comprimento da lateral do lote 2 que fica voltada para a alameda 1? A) 25 metros B) 24 metros C) 20 metros D) 30 metros E) 26 metros 11) Três terrenos têm frente para a rua A e para a rua B, como na figura. As divisas laterais são perpendiculares à rua A. Qual a medida de x, y e z em metros sabendo que a frente total para essa rua tem 180 m? A) 90, 60 e 30 B) 40, 60 e 90 C) 80, 60 e 40 D) 20 30 e 40 12) João decidiu dividir um terreno, conforme a imagem abaixo. Com base nos dados apresentados, os valores de a, b e c são, respectivamente: a) 10 m, 15 m e 20 m b) 20 m, 35 m e 45 m c) 30 m, 45 m e 50 m d) 15 m, 25 m e 35 m Gabarito: 1. D 2. A 3. D 4. C 5. E 6. A 7. A 8. E 9. B 10. A 11. C 12. B “A persistência é o caminho do êxito.” Charles Chaplin