Probabilidade é o estudo das chances de obtenção de cada resultado de um experimento aleatório. A essas chances são atribuídos os números reais do intervalo entre 0 e 1. Resultados mais próximos de 1 têm mais chances de ocorrer. Além disso, a probabilidade também pode ser apresentada na forma percentual. Show Experimento aleatório e ponto amostral Um experimento aleatório pode ser repetido inúmeras vezes e nas mesmas condições e, mesmo assim, apresenta resultados diferentes. Cada um desses resultados possíveis é chamado de ponto amostral. São exemplos de experimentos aleatórios: a) Cara ou coroa Lançar uma moeda e observar se a face voltada para cima é cara ou coroa é um exemplo de experimento aleatório. Se a moeda não for viciada e for lançada sempre nas mesmas condições, poderemos ter como resultado tanto cara quanto coroa. b) Lançamento de um dado Lançar um dado e observar qual é o número da face superior também é um experimento aleatório. Esse número pode ser 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 e cada um desses resultados apresenta a mesma chance de ocorrer. Em cada lançamento, o resultado pode ser igual ao anterior ou diferente dele. Observe que, no lançamento da moeda, as chances de repetir o resultado anterior são muito maiores. c) Retirar uma carta aleatória de um baralho Cada carta tem a mesma chance de ocorrência cada vez que o experimento é realizado, por isso, esse é também um experimento aleatório. Espaço amostral O espaço amostral (Ω) é o conjunto formado por todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Em outras palavras, é o conjunto formado por todos os pontos amostrais de um experimento. Veja exemplos: a) O espaço amostral do experimento “cara ou coroa” é o conjunto S = {Cara, Coroa}. Os pontos amostrais desse experimento são os mesmos elementos desse conjunto. b) O espaço amostral do experimento “lançamento de um dado” é o conjunto S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Os pontos amostrais desse experimento são 1, 2, 3, 4, 5 e 6. O espaço amostral também é chamado de Universo e pode ser representado pelas outras notações usadas nos conjuntos. Além disso, todas as operações entre conjuntos valem também para espaços amostrais. O número de elementos do espaço amostral, número de pontos amostrais do espaço amostral ou número de casos possíveis em um espaço amostral é representado da seguinte maneira: n(Ω). Evento Um evento é qualquer subconjunto de um espaço amostral. Ele pode conter nenhum elemento (conjunto vazio) ou todos os elementos de um espaço amostral. O número de elementos do evento é representado da seguinte maneira: n(E), sendo E o evento em questão. São exemplos de eventos: a) Sair cara em um lançamento de uma moeda O evento é sair cara e possui um único elemento. A representação dos eventos também é feita com notações de conjuntos: E = {cara} O seu número de elementos é n(E) = 1. b) Sair um número par no lançamento de um dado. O evento é sair um número par: E = {2, 4, 6} O seu número de elementos é n(E) = 3. Os eventos que possuem apenas um elemento (ponto amostral) são chamados de simples. Quando o evento é igual ao espaço amostral, ele é chamado de evento certo e sua probabilidade de ocorrência é de 100%. Quando um evento é igual ao conjunto vazio, ele é chamado de evento impossível e possui 0% de chances de ocorrência. Cálculo da probabilidade Seja E um evento qualquer no espaço amostral Ω. A probabilidade do evento A ocorrer é a razão entre o número de resultados favoráveis e o número de resultados possíveis. Em outras palavras, é o número de elementos do evento dividido pelo número de elementos do espaço amostral a que ele pertence. P(E) = n(E) Observações:
P(A-1) = 1 – P(A) Exemplos: → Qual é a probabilidade de, no lançamento de uma moeda, o resultado ser cara? Solução: Observe que o espaço amostral só possui dois elementos e que o evento é sair cara e, por isso, possui apenas um elemento. P(E) = n(E) P(E) = 1 P(E) = 0,5 = 50% → Qual é a probabilidade de, no lançamento de duas moedas, obtermos resultados iguais? Solução: Representando cara por C e coroa por K, teremos os seguintes resultados possíveis: (C, K); (C, C); (K, C); (K, K) O evento obter resultados iguais possui os seguintes casos favoráveis: (C, C); (K, K) Há quatro casos possíveis (número de elementos do espaço amostral) e dois casos favoráveis (número de elementos do evento), logo: P(E) = n(E) P(E) = 2 P(E) = 0,5 = 50% → No lançamento de um dado, qual é a probabilidade de sair um resultado menor que 3? Solução: Observe que os números do dado menores do que 3 são 1 e 2, por isso, o evento possui apenas dois elementos. O espaço amostral possui seis elementos: 1, 2, 3, 4, 5 e 6. P(E) = n(E) P(E) = 2 P(E) = 0,33... = 33,3% → Qual é a chance de não sair o número 1 no lançamento de um dado? Solução: Temos duas maneiras de resolver esse problema. Note que não sair o número 1 é o mesmo que sair qualquer outro número. Faremos o mesmo cálculo de probabilidade considerando que o evento possui cinco elementos. A outra maneira é usar a fórmula para a probabilidade de um evento não ocorrer: P(A-1) = 1 – P(E) O evento que não pode ocorrer possui apenas um elemento, logo: P(A-1) = 1 – P(E) P(A-1) = 1 – n(E) P(A-1) = 1 – 1 P(A-1) = 1 – 0,166.. P(A-1) = 0,8333… = 83,3%
Teste seus conhecimentos sobre probabilidade com questões divididas por nível de dificuldade, que são úteis para o ensino fundamental e médio. Aproveite as resoluções comentadas dos exercícios para tirar suas dúvidas. Questões nível fácilQuestão 1Ao jogar um dado, qual a probabilidade de obtermos um número ímpar voltado para cima?
Resposta correta: 0,5 ou 50% de chances. Um dado possui seis lados, logo, a quantidade de números que podem ficar voltados para cima é 6. Há três possibilidades de termos um número ímpar: caso ocorra o número 1, 3 ou 5. Sendo assim, o número de casos favoráveis é igual a 3. Calculamos então a probabilidade utilizando a seguinte fórmula:
Substituindo os números na fórmula acima, encontramos o resultado.
As chances de ocorrer um número ímpar são 3 em 6, que corresponde a 0,5 ou 50%. Se lançarmos dois dados ao mesmo tempo, qual a probabilidade de dois números iguais ficarem voltados para cima?
Resposta correta: 0,1666 ou 16,66%. 1º passo: determinar o número de eventos possíveis. Como são dois dados jogados, cada face de um dos dados tem a possibilidade de ter um dos seis lados do outro dado como par, ou seja, cada dado tem 6 combinações possíveis para cada um de seus 6 lados. Sendo assim, o número de eventos possíveis é: U = 6 x 6 = 36 possibilidades 2º passo: determinar o número de eventos favoráveis. Se os dados possuem 6 lados com números de 1 a 6, logo, o número de possibilidades do evento é 6. Evento A = 3º passo: aplicar os valores na fórmula de probabilidade.
Para termos o resultado em porcentagem basta apenas multiplicar o resultado por 100. Logo, a probabilidade de se obter dois números iguais voltados para cima é de 16,66%. Questão 3Um saco contém 8 bolas idênticas, mas com cores diferentes: três bolas azuis, quatro vermelhas e uma amarela. Retira-se ao acaso uma bola. Qual a probabilidade da bola retirada ser azul?
Resposta correta: 0,375 ou 37,5%. A probabilidade é dada pela razão entre o número de possibilidades e de eventos favoráveis. Se existem 8 bolas idênticas, esse é o número de possibilidades que vamos ter. Mas apenas 3 delas são azuis e, por isso, a chance de retirar uma bola azul é dada por. Multiplicando o resultado por 100, temos que a probabilidade de retirar uma bola azul é de 37,5%. Questão 4Qual a probabilidade de tirar um ás ao retirar ao acaso uma carta de um baralho com 52 cartas, que possui quatro naipes (copas, paus, ouros e espadas) sendo 1 ás em cada naipe?
Resposta correta: 7,7% O evento de interesse é tirar um ás do baralho. Se há quatro naipes e cada naipe possui um ás, logo, o número de possibilidades de retirar um ás é igual a 4. O número de casos possíveis corresponde ao número total de cartas, que é 52. Substituindo na fórmula de probabilidade, temos:
Multiplicando o resultado por 100, temos que a probabilidade de retirar uma bola azul é de 7,7%. Questão 5Sorteando-se um número de 1 a 20, qual a probabilidade de que esse número seja múltiplo de 2?
Resposta correta: 0,5 ou 50%. A quantidade de número total que podem ser sorteados é 20. A quantidade de números múltiplos de dois são: A = Substituindo os valores na fórmula de probabilidade, temos: Multiplicando o resultado por 100, temos que a probabilidade de sortear um número múltiplo de 2 é de 50%. Para mais questões, veja também: Exercícios de Probabilidade (fáceis) Questões nível médioQuestão 6Se uma moeda é lançada 5 vezes, qual a probabilidade de sair "cara" 3 vezes?
Resposta correta: 0,3125 ou 31,25%. 1º passo: determinar o número de possibilidades. Há duas possibilidades existentes ao lançar uma moeda: cara ou coroa. Se há duas possibilidades de resultado e a moeda é lançada 5 vezes, o espaço amostral é:
2º passo: determinar o número de possibilidades de ocorrer o evento de interesse. O evento coroa será chamado de O e o evento cara de C para facilitar a compreensão. O evento de interesse é apenas cara (C) e em 5 lançamentos, as possibilidades de combinações para que o evento ocorra são:
Sendo assim, existem 10 possibilidades de resultados com 3 caras. 3º passo: determinar a probabilidade de ocorrência. Substituindo os valores na fórmula, temos que:
Multiplicando o resultado por 100, temos que a probabilidade de "sair" cara 3 vezes é de 31,25%. Veja também: Probabilidade Condicional Questão 7Em uma experiência aleatória foi lançado duas vezes um dado. Considerando que o dado é equilibrado, qual a probabilidade de: a) A probabilidade de conseguir no primeiro lançamento o número 5 e no segundo o número 4. b) A probabilidade de obter em pelo menos um dos lançamentos o número 5. c) A probabilidade de obter a soma dos lançamentos igual a 5. d) A probabilidade de obter a soma dos lançamentos igual ou menor que 3.
Respostas corretas: a) 1/36, b) 11/36, c) 1/9 e d) 1/12. Para resolver o exercício devemos considerar que a probabilidade da ocorrência de um determinado evento, é dada por:
Na tabela 1 indicamos os pares resultantes dos lançamentos consecutivos do dado. Note que temos 36 casos possíveis. Tabela 1:
a) Na tabela 1 observamos que existe apenas 1 resultado que cumpre a condição indicada (5,4). Assim, temos que em um total de 36 casos possíveis, apenas 1 é um caso favorável.
b) Os pares que atendem a condição de pelo menos um número 5 são: (1,5);(2,5);(3,5);(4,5);(5,1);(5,2);(5,3);(5,4);(5,5);(5,6);(6,5). Assim, temos 11 casos favoráveis.
c) Na tabela 2 representamos a soma dos valores encontrados. Tabela 2:
Observando os valores da soma na tabela 2 vemos que temos 4 casos favoráveis da soma ser igual a 5. Assim a probabilidade será dada por:
d) Usando ainda a tabela 2 observamos que temos 3 casos em que a soma é igual ou menor que 3. A probabilidade neste caso será dada por:
Veja também: Probabilidade Questão 8Qual a probabilidade de lançar um dado sete vezes e sair 3 vezes o número 5?
Resposta correta: 7,8%. Para encontrar o resultado podemos usar o método binomial, visto que cada lançamento do dado é um evento independente. onde: n: número de vezes que ocorrerá a experiência k: número de vezes de acontecer um evento p: probabilidade do evento acontecer q: probabilidade do evento não acontecer Vamos agora substituir os valores para a situação indicada. n = 7 k = 3 (em cada jogada temos 1 caso favorável entre 6 possíveis) Substituindo os dados na fórmula:
Logo, a probabilidade de jogar o dado 7 vezes e sair 3 vezes o número 5 é de 7,8%. Questão 9Um casal planeja ter cinco filhos e deseja saber a probabilidade de serem 3 meninos e 2 meninas. Calcule esta probabilidade.
Resposta: 31,25% A probabilidade do evento A nascer menina é: P(A) = 1/2 A ocorrência destes eventos é independente e uma das possibilidades seria: A . A . B . B . B Desta forma, em probabilidades Ainda, é preciso verificar que os eventos podem ocorrer em diversas ordens. Para resolver calculamos uma permutação de 5 elementos, com 2 repetições de A e 3 repetições de B.
Repare que este é o mesmo resultado de realizarmos uma combinação:
A probabilidade final será calculada como:
Questão 10Uma pesquisa realizada com 800 pessoas sobre a preferência pelos telejornais de uma cidade, evidenciou que 200 entrevistados assistem o apenas o telejornal A, 250 apenas o telejornal B e 50 assistem A e B. Das pessoas entrevistadas, qual a probabilidade de sortear ao acaso uma pessoa que assiste o telejornal A ou o telejornal B?
Resposta: 62,5% Seja o evento A, sortear uma pessoa que assiste o telejornal A,
O evento B, sortear uma pessoa que assiste B,
A interseção são as pessoas que assistem os dois telejornais, 50 pessoas. Desta forma, temos que
A probabilidade de sortear alguém que assista A ou O é de 62,5%. Veja também: Análise CombinatóriaQuestões de probabilidade no EnemQuestão 11(Enem/2012) O diretor de uma escola convidou os 280 alunos de terceiro ano a participarem de uma brincadeira. Suponha que existem 5 objetos e 6 personagens numa casa de 9 cômodos; um dos personagens esconde um dos objetos em um dos cômodos da casa. O objetivo da brincadeira é adivinhar qual objeto foi escondido por qual personagem e em qual cômodo da casa o objeto foi escondido. Todos os alunos decidiram participar. A cada vez um aluno é sorteado e dá a sua resposta. As respostas devem ser sempre distintas das anteriores, e um mesmo aluno não pode ser sorteado mais de uma vez. Se a resposta do aluno estiver correta, ele é declarado vencedor e a brincadeira é encerrada. O diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque há: a) 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas b) 20 alunos a mais do que possíveis respostas distintas c) 119 alunos a mais do que possíveis respostas distintas d) 260 alunos a mais do que possíveis respostas distintas e) 270 alunos a mais do que possíveis respostas distintas
Alternativa correta: a) 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. 1º passo: determinar o número total de possibilidades utilizando o princípio multiplicativo. 2º passo: interpretar o resultado. Se cada aluno deve ter uma resposta e foram selecionados 280 alunos, entende-se que o diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque há 10 alunos a mais do que a quantidade de respostas possíveis. (Enem/2012) Em um jogo há duas urnas com dez bolas de mesmo tamanho em cada urna. A tabela a seguir indica as quantidades de bolas de cada cor em cada urna.
Uma jogada consiste em:
Qual cor deve ser escolhida pelo jogador para que ele tenha a maior probabilidade de ganhar? a) Azul b) Amarela c) Branca d) Verde e) Vermelha
Alternativa correta: e) Vermelha. Analisando os dados da questão, temos:
Pela análise de cada uma das cores, vimos que a maior probabilidade é de pegar uma bola vermelha, já que é a cor que está em maior quantidade. Questão 13(Enem/2013) Numa escola com 1.200 alunos foi realizada uma pesquisa sobre o conhecimento desses em duas línguas estrangeiras: inglês e espanhol. Nessa pesquisa constatou-se que 600 alunos falam inglês, 500 falam espanhol e 300 não falam qualquer um desses idiomas. Escolhendo-se um aluno dessa escola ao acaso e sabendo-se que ele não fala inglês, qual a probabilidade de que esse aluno fale espanhol? a) 1/2 b) 5/8 c) 1/4 d) 5/6 e) 5/14
Alternativa correta: a) 1/2. 1º passo: determinar o número de alunos que falam pelo menos uma língua.
2º passo: determinar o número de alunos que falam inglês e espanhol.
3º passo: calcular a probabilidade do aluno falar espanhol e não falar inglês.
Questão 14(Enem/2013) Considere o seguinte jogo de apostas: Numa cartela com 60 números disponíveis, um apostador escolhe de 6 a 10 números. Dentre os números disponíveis, serão sorteados apenas 6. O apostador será premiado caso os 6 números sorteados estejam entre os números escolhidos por ele numa mesma cartela. O quadro apresenta o preço de cada cartela, de acordo com a quantidade de números escolhidos.
Cinco apostadores, cada um com R$ 500,00 para apostar, fizeram as seguintes opções:
Os dois apostadores com maiores probabilidades de serem premiados são: a) Caio e Eduardo b) Arthur e Eduardo c) Bruno e Caio d) Arthur e Bruno e) Douglas e Eduardo
Alternativa correta: a) Caio e Eduardo. Nessa questão de análise combinatória, devemos utilizar a fórmula de combinação para interpretar os dados.
Como são sorteados apenas 6 números, então o valor de p é 6. O que vai variar para cada apostador é o número de elementos tomados (n). Multiplicando o número de apostas pela quantidade de combinações, temos: Arthur: 250 x C(6,6)
Bruno: 41 x C(7,6) + 4 x C(6,6) Caio: 12 x C(8,6) + 10 x C(6,6) Douglas: 4 x C(9,6)
Eduardo: 2 x C(10,6) De acordo com as possibilidades de combinações, Caio e Eduardo são os apostadores com mais chances de serem premiados. Vídeo sobre ProbabilidadeLeia também: |