Como achar a raiz quadrada de umnumero

Uma das estratégias mais usadas para calcular raízes é a fatoração. Para tanto, utiliza-se o teorema fundamental da aritmética e algumas propriedades de raízes. Assim, o radicando é decomposto em fatores primos, que são reagrupados para facilitar os cálculos. Antes de falarmos sobre o cálculo de raízes em si, precisamos relembrar o teorema fundamental da aritmética e algumas propriedades.

→ Teorema fundamental da aritmética

Todo número inteiro pode ser decomposto em uma multiplicação em que todos os fatores são primos. Essa decomposição é única, exceto, é claro, pela permutação de seus fatores. Os números inteiros que aparentemente não podem ser decompostos em fatores primos são os próprios números primos. Contudo, é possível dizer que a decomposição em fatores primos de um número primo tem como resultado um único fator, que é o próprio número.

Exemplos:

a) 192 = 25·3

b) 75 = 3·52

c) 300 = 2·3·52

→ Propriedades dos radicais para o cálculo de raízes

Para o cálculo de raízes por meio de fatoração, são utilizadas as duas propriedades seguintes:

A primeira garante que a raiz do produto é igual ao produto das raízes, e a segunda afirma que, quando o índice do radical é igual ao expoente do radicando, o resultado da raiz é a base do radicando.

→ Cálculo de raízes não exatas por meio fatoração

Segue o passo a passo para calcular raízes não exatas (e exatas também) por fatoração:

Passo 1: Fatore o radicando

Se o radicando de uma raiz for um número inteiro, é possível reescrever esse número como produto de fatores primos, como garante o teorema fundamental da aritmética.

Passo 2: Reagrupe os fatores primos

Feito isso, reescreva os fatores primos em fatores cujo expoente seja igual ao índice do radicando.

Passo 3: Aplique a propriedade I

Cada fator precisa ficar dentro de um radical para que a segunda propriedade seja aplicada.

Passo 4: Aplique a propriedade II

Esse passo fará com que o radical seja simplificado à raiz de algum fator primo. Observe que é sempre mais fácil calcular a raiz de um fator primo do que de um número composto maior que ele.

Passo 5: Cálculo numérico

Se necessário, faça o cálculo numérico da raiz restante e multiplique todos os resultados.

Exemplo:

Sabendo que a raiz quarta de 2 é 1,19, calcule a raiz quarta de 2592.

Solução:

Pelo passo 1, devemos fazer a fatoração de 2592:

2592|2 1296|2   648|2   324|2   162|2    81|3    27|3      9|3      3|3

   1|

2592 = 25·34

Pelo passo 2, devemos reescrever os fatores primos com expoentes iguais a 4. Se sobrarem fatores insuficientes para isso, devemos escrevê-los com o maior expoente possível:

2592 = 25·34 = 24·2·34 = 34·24·2

Pelo passo 3, substituímos 2592 pela sua fatoração dentro do radical e fazemos o seguinte:

Já o quarto passo garante a simplificação dos dois primeiros fatores. Observe que já é possível substituir o último fator pelo seu valor numérico, que é 1,19.

Por fim, note que o quinto passo também já foi aplicado na imagem acima.

TEXTO ELABORADO POR: Professor Carlos Alberto

Entre as matérias que os alunos devem estudar a matemática pode ser considerada uma das que mais causam dificuldades. Pensando nisso, resolvemos trazer algumas dicas para te ajudar a resolver as questões dessa matéria com mais facilidade, seja nas suas atividades escolares ou nas questões do ENEM e vestibulares.

Confira o macete de hoje:

Calcular RAIZ QUADRADA é uma dor de cabeça, não acha? Que tal formar grupos depois de uma decomposição? 

Observe que o processo serve para qualquer raiz de qualquer índice!

1) Primeiro passo: faça uma decomposição em fatores primos, fatorando o número usando divisões com números primos. Do lado direito forme o grupo.

Faça da seguinte forma:

2) O grupo que iremos formar, após a decomposição, tem a quantidade de elementos igual ao índice da raiz, portanto, se a raiz for quadrada o grupo terá 2 elementos, se for cúbica terá 3 elementos e assim por diante.

3) Após isso, circule um dos elementos do grupo e cancele o outro.

4) Por último, multiplique os valores circulados, encontrando o resultado da raiz.

 Exemplo:

Vamos seguir o passo a passo acima:

­4) multiplicamos os números circulados que são 2.2.2 = 8

Mais um exemplo:

4) multiplicamos os números circulados que são 2.2 = 4

Agora que já temos alguns exemplos, vamos ver de uma forma mais contextualizada:

VAMOS APLICAR!

1. (ENEM 2010) Embora o índice de massa corporal (IMC) seja amplamente utilizado, existem ainda inúmeras restrições teóricas ao uso e às faixas de normalidade preconizadas. O recíproco do índice ponderal (rip), de acordo com o modelo alométrico, possui uma melhor fundamentação matemática, já que a massa é uma variável de dimensões cúbicas e a altura, uma variável de dimensões lineares. As fórmulas que determinam esses índices são:

Se uma menina, com 64 kg de massa, apresenta IMC igual a 25 kg/m2, então ela possui rip igual a

1.  0,4 cm/kg1/3
2.  2,5 cm/kg1/3
3.  8 cm/kg1/3
4.  20 cm/kg1/3
5.  40 cm/kg1/3

RESOLUÇÃO:

Descobrindo a altura:

Sabemos pela fórmula que:   

Descobrindo o rip:

Pois:

RESPOSTA: LETRA E

Esperamos que essa dica tenha te ajudado! Em breve, estaremos trazendo mais macetes para facilitar sua vida com a matemática, fique atento(a)! Sucesso nos estudos!

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