Como achar o centro de uma circunferência na equação

Atualizado em 19/12/2012, às 9h16

1. Equação reduzida da circunferência

Circunferência é lugar geométrico dos pontos de um plano que distam igualmente, ou seja, de uma mesma medida – chamada raio, de um ponto fixo denominado centro.

Obs.: A circunferência é uma linha, enquanto o círculo é a figura plana delimitada pela circunferência.

A dedução da equação da circunferência segue a definição, o lugar geométrico dos pontos (x,y) equidistantes do centro C(xc, yc da medida R.Então:

(x - xc)2 + (y – yc)2 = R2 → esta é a chamada equação reduzida da circunferência.

(x – 5)2 + (y + 7)2 = 82

A equação geral de uma circunferência é definida quando se desenvolve a equação reduzida. Assim:

(x – xc)2 + (y –yc)2 = R2

(x2 – 2xcx + x2c) + (y2 – 2ycy + y2c ) = R2

Reagrupando: x2 + y2 – 2xcx – 2yc y + x2c + y2c – R2 = 0

x2 + y2 + mx + ny + p = 0 → está é a equação geral da circunferência.

Por exemplo, para uma circunferência de raio 8 e centro (5,-7):

x2 + y2 – 2 . 5. x – 2 . (–7)y + 52 + (–7)2 – 82 = 0

Para se determinar o centro e o raio de uma circunferência a partir da equação geral

x2y2 + mx + nx + p = 0

utilizam-se as equações (I), deduzindo-se que:

Por exemplo, para a circunferência exemplificada,

Logo:

C(5,-7) e o raio R=8.

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Veja errata.

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Circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano equidistantes de um ponto fixo desse mesmo plano, denominado centro da circunferência:

Equação reduzida

Sendo C(a, b) o centro e P(x, y) um ponto qualquer da circunferência, a distância de C a P(dCP) é o raio dessa circunferência. Então:

Portanto, (x - a)2 + (y - b)2 =r2 é a equação reduzida da circunferência e permite determinar os elementos essenciais para a construção da circunferência: as coordenadas do centro e o raio.

Observação: Quando o centro da circunferência estiver na origem (C(0,0)), a equação da circunferência será x2 + y2 = r2.

Equação geral

Desenvolvendo a equação reduzida, obtemos a equação geral da circunferência:

Como exemplo, vamos determinar a equação geral da circunferência de centro C(2, -3) e raio r = 4.

A equação reduzida da circunferência é:

(x - 2)2  + (y + 3)2 = 16

Desenvolvendo os quadrados dos binômios, temos:

 A equação geral da circunferência é objeto de estudo da geometria analítica, área da matemática que analisa o comportamento de elementos da geometria no plano cartesiano. Representar a circunferência por uma equação permite estudar essa figura de forma algébrica e também identificar o valor do seu centro e do seu raio.

Para encontrar a equação geral da circunferência com base em um gráfico, primeiro encontramos a equação reduzida e, resolvendo os produtos notáveis, chegamos à equação geral.

Veja também: O que é plano cartesiano?

Qual é a equação geral da circunferência?

A partir da equação reduzida da circunferência, encontramos a equação geral, já que ela é desenvolvida a partir do cálculo dos produtos notáveis na equação reduzida.

A equação reduzida é dada por:

(x – a)² + (y – b)² = r²

Vamos desenvolver os produtos notáveis (x – a)² e ( y – b)² e encontraremos a seguinte equação:

x² – 2ax + a² + y² – 2by + b² = r²

Colocando em ordem de acordo com o grau de cada termo e igualando a equação a zero, a equação geral da circunferência é:

Como encontrar a equação geral da circunferência?

Analisando a circunferência no plano cartesiano, para encontrar a equação geral, precisamos encontrar a equação reduzida e desenvolver os produtos notáveis, conforme o exemplo a seguir.

→ 1º passo: encontrar o centro e o raio.

Analisando a circunferência, o centro é o ponto C(-1,1). Já analisando a distância do centro até a extremidade, o raio é igual a 2.

→ 2º passo: escrever a equação reduzida da reta.

A equação reduzida é dada por:

(x – a) ² + ( y – b) ² = r²

Sendo (a,b) o centro da circunferência e r o raio, a equação reduzida será:

(x – (–1) ) ² + (y – 1)² = 2²

(x + 1)² + (y – 1)² = 4

→ 3º passo: desenvolver os produtos notáveis para encontrar a equação geral.

(x+1)² = x² + 2x + 1² → x² + 2x + 1

(y – 1)² = y² –2y + 1² → y² – 2y + 1

Podemos reescrever a equação da circunferência da seguinte maneira:

x² + 2x + 1 + y² – 2y + 1 = 4

Igualando a equação e ordenando por grau, teremos a seguinte equação:

x² + y² + 2x – 2y + 1 + 1 – 4 = 0

A equação geral da circunferência é:

x² + y² + 2x – 2y – 2 = 0

Para encontrar o centro e o raio de uma circunferência por meio de sua equação geral, podemos usar o método da comparação e o método de completar quadrados.

→ Método da comparação

O método da comparação é o mais rápido quando o interesse é somente descobrir qual é o valor do raio e do centro da circunferência. Como o nosso objetivo é encontrar o valor do centro (a,b) e do raio r, dada a equação geral da circunferência, vamos comparar a sua equação geral com a equação geral de uma circunferência qualquer.

Exemplo: x² + y² – 2x – 4y – 4 =0.

Sabemos que a equação geral da circunferência é dada por:

x² + y² – 2ax – 2bx + (b² + a² – r²) = 0

Faremos uma comparação entre as duas equações:

x² + y² – 2ax – 2by + (b² + a² – r²) = x² + y² – 2x – 4y – 4

Comparando termo a termo, podemos encontrar o valor de a sabendo que:

- 2ax = - 2x ( -1 )

2ax = 2x

2a =2

a =2: 2

a = 1

Para encontrar o valor de b, sabemos que:

- 2by = - 4y (-1)

2by = 4y

2b = 4

b = 4 : 2

b = 2

Agora, sabemos que a = 1 e b = 2, para encontrar o valor de r, vamos analisar o termo independente.

b² + a² – r² = – 4

2² + 1² – r² = – 4

4 + 1 – r² = – 4

5 – r² = – 4

– r² = – 4 – 5

– r² = – 9 ( - 1)

r² = 9

r = √9

r = 3

Sendo assim, o centro da circunferência é o ponto C (1,2) e o seu raio é 3.

Leia também: Elementos do círculo e da circunferência

→ Método de completar quadrado

Esse segundo método consiste em encontrar a equação reduzida da circunferência para que seja possível encontrar o seu centro e o seu raio. Para isso, vamos completar quadrados. Completar quadrado nada mais é do que transformar a equação x² + y² – 2ax – 2by + (b² + a² – r²) = 0 em uma equação reduzida do tipo (x – a) ² + (y – b)² = r².

Exemplo: x² + y² – 6x – 4y – 15 = 0.

Para transformar a equação geral na equação reduzida, vamos reordenar a equação geral, deixando termos de mesma variável próximos:

x² – 6x + y² – 4y – 12 = 0

Sabemos que (x – a) ² = x² – 2ax + a² e que 2ax = 6x. Agora, como 6 = 2 · 3 → a= 3, sendo a = 3, temos que:

(x – 3) ² = x² – 6x + 9

Note que o termo + 9 não aparece na equação, então vamos somar e subtrair 9 na equação geral da seguinte maneira:

x² – 6x + 9 – 9 y² – 4y – 12 = 0

(x – 3) ² – 9 + y² – 4y – 12 = 0

Analisando agora a variável y, temos que:

(y – b)² = y² – 2by +b²

Então, 2by = 4y. Sabendo que 4 = 2 · 2 → b = 2, temos que:

(y – 2)² = y² – 4y + 4

Completando o quadrado, reescreveremos a equação da seguinte maneira:

(x – 3) ² – 9 + y² – 4y + 4 – 4 – 12 = 0

(x – 3) ² – 9 + ( y – 2)² - 4 - 12 = 0

Passando os termos independentes para depois da igualdade, encontraremos a equação:

(x – 3) ² + ( y – 2)² = 9 + 4 + 12

(x – 3) ² + ( y – 2)² = 25

Sendo assim, o centro é o ponto C (3,2) e o raio r² = 25 → r= √25 = 5.

Leia também: Posição relativa entre uma reta e uma circunferência

Exercícios resolvidos

1) A equação geral da circunferência que possui raio 1 e centro C( -2,0) é?

a) x² + y² + 3 =

b)(x + 2)² + y² = 1

c) (x – 2)² + y² = 1

d)x² – 2x + y² + 3 = 0

e)x² + 2x + y² + 3 = 0

Resolução:

Para encontrar a equação geral, primeiro encontraremos a equação reduzida, com a = 2 b = 0 e r = 1.

(x – a)² + (y – b) ² = r²

(x – 2)² + (y – 0)² = 1²

(x – 2)² + y² = 1

Agora, resolvendo o produto notável (x-2)²:

x² – 2x + 4 + y² = 1

Igualando a equação a zero, encontraremos:

x² – 2x + y² + 4 – 1 = 0

x² – 2x + y² + 3 = 0

Alternativa D

2) Dada a equação x² + y² + 6x – 2y + 1= 0, podemos afirmar que seu raio é igual a:

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

Resolução:

Usando o método da comparação, queremos encontrar o valor do raio. Para isso, precisamos primeiro encontrar o valor de a e b.

x² + y² – 2ax – 2by + (b² + a² – r²) = x² + y² + 6x – 2y + 1

Para descobrir o valor de a, igualaremos os termos:

– 2ax = 6x

– 2a = 6

a = 6 : (–2)

a = – 3

Agora, para o valor de b, temos que:

– 2by = – 2y ( -1)

2by = 2y

2b = 2

b= 2 : 2

b= 1

Sendo a = -3 e b = 1, então é possível encontrar o raio, pois:

b² + a² – r² = 1

1² + (-3)² – r² = 1

1 + 9 – r² = 1

10 – r² = 1

- r² = 1 – 10

- r² = – 9 ( -1 )

r² = 9

r = √9

r = 3

Alternativa C