Os estudos trigonométricos possuem uma relação muito importante com o Teorema de Pitágoras, pois através de sua aplicação determinamos valores de medidas desconhecidas. O teorema de Pitágoras é uma expressão que pode ser aplicada em qualquer triângulo retângulo (triângulo que tem um ângulo de 90°). Show
a = hipotenusa b = cateto c = cateto O teorema de Pitágoras diz que o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. a2 = b2 + c2 Podemos utilizar esse teorema para facilitar o cálculo da diagonal de um quadrado e altura de um triângulo equilátero (triângulo com os lados iguais).Diagonal do quadrado. O quadrado ABCD é uma figura que possui lados iguais e ângulos com medidas iguais a 90º graus. O cálculo da sua diagonal (reta que parte do ponto B ao C ou do A ao D) será feito da seguinte forma:  Como não conhecemos o valor dos lados iremos chamá-los de l. A diagonal forma no quadrado um triângulo retângulo ACD e é a partir daí que iremos calcular o valor da diagonal. Aplicando o teorema de Pitágoras (d é a hipotenusa e l são os catetos), teremos: Portanto, a diagonal do quadrado pode ser calculada por: d = l √2 Altura do triângulo equilátero Dado um triângulo equilátero ABC, com lados e ângulos iguais. Traçando uma reta que parte de A e é perpendicular ao segmento BC teremos a altura desse triângulo (h). Os lados serão chamados de l. Como todos os lados são iguais, a reta AH irá dividir a base BC em duas partes iguais. Traçando a altura no triângulo equilátero formaremos um triângulo retângulo AHC. A partir daí encontraremos o valor da altura do triângulo equilátero que coincide com o cateto do triângulo retângulo. Portanto, a altura do triângulo equilátero será calculada por:
Qual é o quadrado da hipotenusa?Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Como calcular o valor da hipotenusa?
Como calcular A² B² C²?O que Pitágoras observou foi que em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos, em outras palavras, o quadrado da medida do lado maior é igual à soma dos quadrados das medidas dos lados menores. Assim, na figura abaixo, podemos escrever a²=b²+c². Como calcular os catetos a partir da hipotenusa?Segundo o Teorema de Pitágoras, a soma dos quadrado dos catetos de um triângulo retângulo é igual ao quadrado de sua hipotenusa:
Como fazer a fórmula de Pitágoras?Teorema de Pitágoras
Qual a medida da hipotenusa de um triângulo retângulo?3 Lados de um triângulo retângulo
Qual a fórmula de Pitágoras?a2 = b2 + c2 Podemos utilizar esse teorema para facilitar o cálculo da diagonal de um quadrado e altura de um triângulo equilátero (triângulo com os lados iguais). Diagonal do quadrado. O quadrado ABCD é uma figura que possui lados iguais e ângulos com medidas iguais a 90º graus. Como calcular C²?Você pode calcular usando a fórmula a²+b²=c² ou outras fórmulas. Como calcular o valor de um cateto?Seu cálculo segue através da seguinte fórmula a² = b² + c². “A” é a hipotenusa, “b” e c’” são os catetos oposto e adjacente. Para chegar ao resultado suas potências são elevadas ao quadrado. A teoria é a mesma que dizer que a² = b.b + c.c. Para encontrar essa medida, basta pegar um retângulo e parti-lo em sua diagonal. Como descobrir o valor de um dos catetos?0:523:32Clipe sugerido · 55 segundosTrigonometria achar o cateto oposto e cateto adjacente, triângulo retângulo.YouTube Qual é a fórmula de Pitágoras?a2 = b2 + c2 Podemos utilizar esse teorema para facilitar o cálculo da diagonal de um quadrado e altura de um triângulo equilátero (triângulo com os lados iguais). Diagonal do quadrado. O quadrado ABCD é uma figura que possui lados iguais e ângulos com medidas iguais a 90º graus. Qual é a medida da hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos medem 3cm e 4cm *?( ) Em um triângulo retângulo cujos catetos medem 3 cm e 4 cm, a medida da hipotenusa é igual a 6 cm. O que diz a teoria de Pitágoras?Com isso, podemos enunciar o Teorema de Pitágoras: O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Como calcular a Lei do cosseno?O teorema da Lei dos Cossenos diz que: “Em todo triângulo, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros lados, menos o dobro do produto dessas medidas pelo cosseno do ângulo que eles formam.” Assim, pela lei dos cossenos temos as seguintes fórmulas: a² = b² + c² – 2 . O teorema de Pitágoras relaciona as medidas dos lados de um triângulo retângulo da seguinte maneira: Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. O teorema de Pitágoras é muito importante para a Matemática, tendo influenciado outros grandes resultados matemáticos. Veja também uma das demonstrações do teorema e parte da biografia de seu criador. Saiba também: 4 erros mais cometidos na trigonometria básica Fórmula do teorema de PitágorasPara aplicação do teorema de Pitágoras, é necessário compreender as nomenclaturas dos lados de um triângulo retângulo. O maior lado do triângulo fica sempre oposto ao maior ângulo, que é o ângulo de 90°. Esse lado recebe o nome de hipotenusa e será representado aqui pela letra a. Os demais lados do triângulo são chamados de catetos e serão aqui representados pelas letras b e c. O teorema de Pitágoras afirma que é válida a relação a seguir: Assim, podemos dizer que o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos. Demonstração do teorema de PitágorasVamos ver a seguir uma das maneiras de mostrar a veracidade do teorema de Pitágoras. Para isso, considere um quadrado ABCD com lado medindo (b + c), como mostra a figura: O primeiro passo consiste em determinar a área do quadrado ABCD. AABCD = (b + c)2 = b2 + 2bc + c2 O segundo passo consiste em determinar a área do quadrado EFGH. AEFGH = a2 Podemos perceber que existem quatro triângulos congruentes: O terceiro passo é calcular a área desses triângulos: ATriângulo = b·c O quarto passo e último requer o cálculo da área do quadrado EFGH utilizando a área do quadrado ABCD. Veja que, se considerarmos a área do quadrado ABCD e retirarmos a área dos triângulos, que são as mesmas, sobra somente o quadrado EFGH, então: AEFGH = AABCD – 4 · ATriângulo Substituindo os valores encontrados no primeiro, segundo e terceiro passo, vamos obter: a2 = b2 + 2bc + c2 – 4 · bc a2 = b2 + 2bc + c2 – 2bc a2 = b2 + c2 Mapa Mental: Teorema de Pitágoras*Para baixar o mapa mental em PDF, clique aqui! Triângulo pitagóricoUm triângulo retângulo qualquer é chamado de triângulo pitagórico caso a medida de seus lados satisfaça o teorema de Pitágoras. Exemplos: O triângulo acima é pitagórico, pois: 52 = 32 + 42 Já o triângulo a seguir não é pitagórico. Veja 262 ≠ 242 +72 Leia também: Aplicações das leis trigonométricas de um triângulo: seno e cosseno Teorema de Pitágoras e os números irracionaisO teorema de Pitágoras trouxe consigo uma nova descoberta. Ao construir um triângulo retângulo em que os catetos são iguais a 1, os matemáticos, na época, depararam-se com um grande desafio, pois, ao encontrar o valor da hipotenusa, um número desconhecido apareceu. Veja: Aplicando o teorema de Pitágoras, temos que: O número encontrado pelos matemáticos da época hoje é chamado de irracional. Leia também: Relação entre os lados e os ângulos de um triângulo Exercícios resolvidosQuestão 1. Determine o valor de x no triângulo a seguir. Resolução: Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos o seguinte: 132 = 122 + x2 Resolvendo as potências e isolando a incógnita x, temos: x2 = 25 x =5 Questão 2. Determine a medida c dos catetos de um triângulo retângulo isósceles em que a hipotenusa mede 30 cm. Resolução: Sabemos que o triângulo isósceles possui dois lados iguais. Então: Aplicando o Teorema de Pitágoras, vamos ter que: 202 = c2 + c2 2c2 = 400 c2 = 200 Assim, as medidas dos catetos do triângulo medem, respectivamente: *Mapa Mental por Luiz Paulo Silva Por Robson Luiz |
Como calcular a hipotenusa de um quadrado
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