Como tirar raiz quadrada de forma rapida

Fala, pessoal!

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Resumo sobre raiz quadrada
Videoaula sobre raiz quadrada
O que é raiz quadrada?
Como calcular a raiz quadrada?
Exercícios resolvidos sobre raiz quadrada

Neste artigo, vou ensinar uma maneira muito prática para calcular uma excelente aproximação para a raiz n-ésima de um número p qualquer.

O método que mostrarei a seguir é um caso particular do Método de Newton-Raphson.

Vamos começar com a raiz quadrada para que você possa entender o método. Adaptando o método de Newton-Raphson, obtemos que a raiz quadrada de p pode ser aproximada por:

Na fórmula acima, x é uma aproximação qualquer para a raiz quadrada de p.

Exemplo 1: Calcular uma aproximação para √405,4.

Ora, sabemos que √400=20. Assim, podemos usar 20 como uma aproximação inicial para √405,4, ou seja, x = 20. Ficamos com:

Na calculadora, observamos que o valor exato é 20,13454742… . Obtivemos uma excelente aproximação!!!

Exemplo 2: Calcular uma aproximação para √193.

Ora, sabemos que 142 = 196. Logo, podemos usar x = 14 como aproximação inicial.

Mais uma excelente aproximação!!! Na calculadora, tem-se que √193 = 13,89244399… .

Vamos agora generalizar. Utilizando o método de Newton-Raphson, fiz uma adaptação para obtermos excelentes aproximações para raízes de qualquer índice. A fórmula é a seguinte:

Na fórmula acima, x é uma primeira aproximação para a raiz procurada.

Vamos fazer alguns exemplos para praticar.

Exemplo 3: Calcular uma aproximação para

Ora, sabemos que 63 = 216. Logo, podemos utilizar x = 6 para calcular a aproximação. Temos ainda que n = 3 e p = 237. Ficamos com:

Na calculadora, obtém-se o valor exato de 6,18846…, ou seja, o nosso erro foi de apenas 0,09%.

Exemplo 4: Calcular uma aproximação para

Sabemos que 27 = 128. Logo, podemos utilizar x = 2 para calcular a aproximação.

Na calculadora, obtém-se o valor exato de 2,0278…, ou seja, o nosso erro foi de apenas 0,05%.

Veja que o caso anterior da raiz quadrada é apenas um caso particular dessa fórmula geral em que n = 2.

Espero que tenham gostado!

Um forte abraço,

Guilherme Neves

A raiz quadrada é uma operação básica e importante da Matemática. Se trata da operação inversa da potenciação. Assim, calcular a raiz quadrada de um número n é descobrir qual número elevado ao quadrado resulta em n. Por exemplo, a raiz quadrada de 9 é igual a 3, pois, 3² é 9. Uma raiz quadrada pode ser exata, gerando um número chamado de quadrado perfeito, ou pode ser não exata.

Leia também: Expressões numéricas — o conjunto de operações fundamentais a serem calculadas

Resumo sobre raiz quadrada

A raiz quadrada é uma radiciação que possui o índice igual a 2.
Ela é a operação inversa de uma potência de expoente 2.
Seus elementos fundamentais são: índice, radical, radicando e raiz.
A raiz quadrada de um número a é representada por √a.
Pode ser exata ou não exata.

Videoaula sobre raiz quadrada

A radiciação é uma das operações básicas da Matemática, sendo a operação inversa da potência. Existem vários tipos de raiz, como a raiz cúbica e a raiz quarta, mas a mais utilizada é a raiz quadrada.

Quando calculamos, por exemplo, a raiz quadrada de um número a, o resultado dessa operação será o número que, ao elevarmos ao quadrado, resultará em a. Os outros casos de radiciação seguem o mesmo raciocínio. A raiz cúbica de um número x é o número cujo cubo é igual a x. Dizemos, por exemplo, que a raiz cúbica de 27 é 3, pois 3³ = 27. De forma semelhante, dizemos que a raiz quadrada de 81 é 9, pois 9² = 81.

O que é raiz quadrada?

A raiz quadrada é um caso particular da radiciação, sendo o mais comum deles. Conhecemos como raiz quadrada a radiciação com índice igual a 2. A raiz quadrada é a operação inversa da potência com o expoente 2, pois quando calculamos a raiz quadrada de um número a, estamos procurando qual número ao quadrado é igual a a. Quando o radical não apresenta número no índice, calcula-se a raiz quadrada do radicando.

Exemplos:

√4 = 2, pois 2² = 4

√9 = 3, pois 3² = 9

√16 = 4, pois 4² = 16

√25 = 5, pois 5² = 25

Como calcular a raiz quadrada?

Para calcular a raiz quadrada de um número, geralmente recorremos à tabuada. Entretanto, quando o número é maior que 100, é possível utilizar o processo de fatoração para calcular a raiz quadrada exata.

Ao realizar uma fatoração, agrupamos os fatores de dois em dois, já que é a raiz quadrada exata que estamos buscando. Já quando estamos calculando uma raiz quadrada não exata, utilizamos aproximações.

Saiba também: Propriedades dos radicais — simplificam e resolvem raízes de qualquer índice

A raiz quadrada exata ocorre quando o resultado da operação é um número racional. Os exemplos supracitados são casos de raiz quadrada exata. Por exemplo, a √16 é exata porque o seu resultado é 4, que é um número racional. Quando há no radicando um número com raiz quadrada desconhecida, utilizamos fatoração para calcular uma raiz exata.

Exemplo:

Calcule o valor da √324.

Resolução:

Para encontrar a √324, inicialmente fatoraremos esse número:

Dessa forma, calcula-se:

√0 = 0

√1 = 1

√4 = 2

√9 = 3

√16 = 4

√25 = 5

√36 = 6

√49 = 7

√64 = 8

√81 = 9

√100 = 10

Os números que possuem raiz quadrada exata são conhecidos como quadrados perfeitos.

Em muitos casos, o número pode não possuir uma raiz quadrada exata, ou seja, a solução da raiz quadrada é um número irracional. Para calcular uma raiz quadrada não exata, utilizamos aproximações, ou seja, números que quando elevamos ao quadrado chegam bem próximo do resultado desejado.

Exemplo:

Calcule o valor da √60.

Resolução:

Sabemos que essa raiz não é exata, então, primeiramente, identificaremos qual é o número anterior a 60 que possui raiz exata, que é 49, e também o número posterior a 60 que possui raiz exata, que é 64.

√49 < √60 < √64

Calculando as raízes de 49 e 64:

7 < √60 < 8

Note que 60 está próximo de 64, então a √60 estará próxima de 8. Calcularemos, assim, o quadrado dos números próximos a 8.

7,9² = 62,41

7,8² = 60,84

7,7² = 59,29

Descobrimos que a √60 está entre 7,7 e 7,8.

Portanto, dizemos que a √60 = 7,7 por falta ou que a √60 = 7,8 por excesso.

Exercícios resolvidos sobre raiz quadrada

Questão 1

(Ethos concursos) A raiz quadrada de um número é uma importante operação matemática, assim como a adição, a subtração, a multiplicação e a divisão. Somente alguns números possuem raiz quadrada, aqueles considerados quadrados perfeitos. Sendo assim, calcule a raiz quadrada de 625 e assinale a alternativa CORRETA.

A) 35

B) 24

C) 25

D) 17

E) 49

Resolução:

Alternativa C

Inicialmente, realizaremos a fatoração do número:

Dessa forma, temos:

√625 = √54

√625 = 5²

√625 = 25

Questão 2

Sobre a raiz quadrada, julgue as afirmativas a seguir:

I → É possível calcular a raiz quadrada de número negativo.

II → Os números 0, 1, 4, 9 e 16 são todos quadrados perfeitos menores que 20.

III → A raiz quadrada de 6 é igual a 3.

As afirmativas são, respectivamente:

A) V, V e V.

B) F, F e F.

C) F, F e V.

D) F, V e F.

E) V, F e V.

Resolução:

Alternativa D

I → Falsa

A potência de dois possui resultado somente positivo, logo, não é possível calcular a raiz quadrada de um número negativo.

II → Verdadeira

Os números listados são os únicos que possuem raiz exata menores que 30.

III → Falsa

3² = 9, logo, a raiz quadrada de 9 é 3, e não a de 6.

1
Primeiramente, separe as casas do número em pares. Esse método faz uso de um processo semelhante à divisão longa para calcular a raiz quadrada exata, uma casa de cada vez. Embora não seja crucial, você talvez descubra que o processo fica mais fácil quando é organizado visualmente e o número está dividido em partes. O primeiro a se fazer é desenhar uma linha vertical separando a área de trabalho em duas regiões, fazendo a seguir uma linha horizontal menor perto do topo direito a fim de ter uma seção pequena em cima e uma grande em baixo. Agora, separe as casas do número em pares começando com a vírgula: seguindo essa regra, por exemplo,
se torna
. Escreva o valor no topo do espaço esquerdo.
- Em um exemplo, tente calcular a raiz quadrada de . Faça duas linhas para dividir a área de trabalho como no caso anterior e escreva na porção superior do espaço esquerdo, e não se preocupe se houver apenas um número solitário à esquerda em vez de um par. Você deverá escrever a resposta () na região direita superior.
2
Descubra qual é o maior
inteiro cujo quadrado é menor ou igual que o número (ou o par de números) à esquerda. Comece com a porção mais à esquerda de seu número, quer se trate de um par ou de um valor isolado. Determine qual é o maior quadrado perfeito que seja menor ou igual a esse número e tire sua raiz quadrada: esse valor é representado por . Anote-o no espaço direito superior e escreva seu quadrado no quadrante direito inferior.
- No exemplo, a porção mais à esquerda é o número . Como se sabe que , é possível afirmar que , uma vez que se trata do maior valor inteiro cujo quadrado é menor ou igual a . Escreva no quadrante superior — essa será a primeira casa do resultado. A seguir, escreva (quadrado de ) no quadrante direito inferior — esse valor será importante para o próximo passo.
3
Subtraia o número recém-calculado do par à esquerda. Assim como acontece na divisão longa, a próxima etapa é subtrair o quadrado encontrado da porção que acaba de ser estudada. Escreva esse valor sob a primeira porção e execute a subtração apropriada, escrevendo a resposta logo abaixo.
- No exemplo, um será colocado abaixo do a fim de realizar a subtração. A resposta, aqui, será igual a .
4
Desça o próximo par. Mova a próxima porção do número em estudo para baixo e ao lado do valor subtraído que você acaba de encontrar. Multiplique a seguir o valor no topo direito por e escreva a resposta no quadrante direita inferior. Basta agora separar um espaço para o problema de multiplicação no próximo passo:
.
- No exemplo, o próximo par à disposição é . basta observá-lo próximo ao do quadrante esquerdo inferior. A seguir, multiplique o valor por e obtenha , de modo que . Escreva no canto direito inferior, seguido por .
5
Preencha os espaços em branco no quadrante direito. Em cada um deles agora estará o mesmo número inteiro. Ele deve ser o maior que permita ao resultado da multiplicação à direita ser menor ou igual ao número agora presente no lado esquerdo.
- No exemplo, preencher os espaços em branco com dá como resultado: . Esse é um valor maior que . Dessa forma, é grande demais, mas provavelmente servirá. Escreva nos espaços em branco e prossiga: . Confirma-se que ele atende à necessidade porque , então escreva o número no quadrante direito superior. Essa é a segunda casa na raiz quadrada de .
6
Subtraia o valor calculado do número agora à esquerda. Continue subtraindo no mesmo estilo da divisão longa. Tome o resultado do problema de multiplicação no quadrante direito e subtraia-o do valor que está agora no lado esquerdo, colocando a sua resposta logo abaixo.
- No exemplo, será subtraído de , resultando em .
7
Repita o Passo 4. Desça a próxima porção do número cuja raiz quadrada está sendo calculada. Ao chegar na vírgula, escreva uma casa decimal na resposta presente no quadrante direito superior. A seguir, multiplique o valor no topo direito por e escreva a operação em branco (
) como previamente.
- No exemplo, como a vírgula de está sendo alcançada agora, escreva-a logo depois da resposta atual no topo direito. A seguir, desça o par seguinte () no quadrante esquerdo. Ao se multiplicar por o valor no topo direito (), obtém-se — escreva no quadrante direito inferior.
8
Repita os Passos 5 e 6. Encontre o maior valor decimal capaz de preencher os espaços em branco à direita que traga um resultado menor ou igual ao número atualmente à esquerda. A seguir, basta avançar no problema.
- No exemplo, , que é menor ou igual ao número à esquerda (). Observando-se que , que é alto demais, você chega à conclusão de que é a resposta que está buscando. Escreva-o como a próxima casa decimal no quadrante direito superior e subtraia o resultado da multiplicação do número à esquerda: .
9
Continue a calcular as casas decimais. Desça um par de zeros à esquerda e repita os Passos 4, 5 e 6. Para ainda maior precisão, continue a repetir o processo até encontrar os centésimos, milésimos e assim por diante em sua resposta. Basta continuar nesse ciclo até chegar ao resultado na casa decimal desejada.

1
Defina o número cuja raiz quadrada será calculada como a área
de um quadrado. Como essa área tem por fórmula , onde representa o comprimento de um de seus lados, ao tentar encontrar a raiz quadrada de seu valor você estará tentando calcular o comprimento do quadrado em questão.
2
Especifique as variáveis relativas a cada casa decimal de sua resposta. Defina a variável
como sendo a primeira casa decimal de (raiz quadrada que está sendo calculada), como sendo a segunda, como sendo a terceira e assim por diante.
3
Atribua variáveis alfabéticas a cada porção do número inicial. Associe a variável
ao primeiro par de casas decimais em (valor inicial), ao segundo par de casas decimais e assim por diante.
4
Entenda a conexão do presente método com a divisão longa. Essa forma de calcular a raiz quadrada é basicamente um problema de divisão longa que divide o número inicial por sua raiz quadrada, dando sua raiz quadrada como resposta. Assim como nos problemas de divisão longa, nos quais o interesse está direcionado a uma casa decimal por vez, aqui se deve concentrar em duas por vez (que correspondem à próxima casa decimal da raiz quadrada).
5
Encontre o maior número cujo quadrado seja menor ou igual a . A primeira casa decimal na resposta representa o maior número inteiro cujo quadrado não excede (de modo que
). No exemplo,
e
, de modo que
.
- Em um exemplo, se você quisesse dividir por através do método de divisão longa, o primeiro passo seria parecido: você deveria procurar pelo primeiro dígito () e encontrar o maior número inteiro que, ao ser multiplicado por , resultaria em algo menor ou igual a . Basicamente, trata-se de encontrar de modo que . Nesse caso, seria igual a .
6
Visualize o quadrado cuja área você pretende calcular. A resposta, que é a raiz quadrada do número inicial, será representada por , que descreve o comprimento de um quadrado de área (número inicial). Os valores para , e representam as casas decimais presentes em . Outra forma de colocar essa definição é afirmar que, no caso de uma resposta com duas casas decimais
, no caso de uma resposta com três casas decimais
e assim por diante.
- No exemplo, . Lembre-se de que representa a resposta com na casa das unidades e na casa das dezenas. Tomando-se e como exemplo, resultará no número . Se representa a área do quadrado, representa a área do maior quadrado interno, representa a área do menor quadrado interno e representa a área de cada um dos retângulos que sobraram. Ao executar esse processo longo e complicado, você terá em mãos a área do quadrado inteiro, bastando somar as áreas calculadas a partir dos quadrados e retângulos em seu interior.
7
Subtraia
de . Desça um par () de casas decimais de . A expressão representa quase a totalidade da área do quadrado, da qual se subtraiu o maior quadrado interno. O resto, por sua vez, pode ser representado pelo obtido no Passo 4 ( no exemplo supracitado). Aqui, (área de ambos os retângulos mais a área do quadrado menor).
8
Procure por , também escrito como
. No exemplo, você já conhece () e (), sendo agora necessário calcular o valor de . Ele provavelmente não será um valor inteiro e, por isso, é preciso realmente calcular a maior possibilidade inteira que satisfaça à condição . Por fim, você restará com .
9
Resolva a operação. Para prosseguir, multiplique por , mude a posição das dezenas (o equivalente a multiplicar o valor por
), coloque na posição das unidades e multiplique o resultado por . Em outras palavras, basta realizar a operação . Ela é a mesma que se realiza ao se escrever (sendo ) no quadrante direito inferior presente no Passo 4. Já no Passo 5, por sua vez, você encontrará o maior valor inteiro de que caberá no espaço em branco satisfazendo a condição .
10
Subtraia a área da área total. Isso dá como resultado a área
até então desconsiderada (e que será usada para calcular as próximas casas de modo similar).
11
Para calcular a próxima casa decimal , simplesmente repita o processo. Desça o próximo par (
) de a fim de obter à esquerda e procure pelo maior valor de que satisfaça à condição (equivalente a escrever duas vezes o valor com duas casas decimais acompanhado por . Procure pelo maior valor de casa decimal cabível nos espaços em branco que traga um resultado menor ou igual a , assim como antes.