Todo cálculo de raiz quadrada possui um único objetivo: identificar o número que elevado ao quadrado resulta no valor pretendido. Por exemplo, se o número desejado é 25, dizemos que a raiz quadrada é de 25. Já o resultado desse cálculo é 5, pois 5² é igual a 25. Show
Embora o cálculo pareça difícil ou cansativo, é importante que você entenda a fórmula para chegar no resultado correto. Neste post falaremos sobre como você deve calcular a raiz quadrada e quais são as regras para utilizar a fatoração. Confira a seguir como fazer esse cálculo e tudo que você precisa saber sobre raiz quadrada: Para facilitar nossas vidas, decidimos criar a nossa calculadora de raiz quadrada, ela é muito simples de ser utilizada, basta você informar o número que deseja saber a raiz quadrada e nós daremos o resultado exato. CALCULADORA RAIZ QUADRADA FatoraçãoO processo de decompor um número em fatores primos é chamado de fatoração. Durante esse processo é possível identificar o que os matemáticos chamam de quadrado perfeito. De uma forma mais simples, fatorar um número é o mesmo que multiplicá-lo por diversos fatores primos. No caso de dois números iguais, a multiplicação é feita através da potenciação de expoente 2. Para ilustrarmos, vamos realizar a raiz quadrada do número 196. Confira a seguir como fatorar esse número através do nosso exemplo e como descobrir a raiz quadrada: ExemploFatoração (Decomposição em fatores primos): 196 |2 98 |2 49 |7 7 |7 1 | Raiz quadrada: Em nosso exemplo, a raiz quadrada do número 196 é representada pelo número 14. Para tirar a prova real e conferir se o resultado está correto você pode multiplicar o resultado por ele mesmo. Por exemplo: 14 x 14 = 196. Por fim, podemos concluir que o cálculo é feito da seguinte forma. Primeiro você deve fatorar o número para utilizar os resultados no cálculo da raiz quadrada. Por exemplo, se dividirmos o número 196 por 2, teremos o resultado 98. Se dividirmos novamente por 2, teremos o resultado 49. O número 49 não pode ser dividido por 2, por isso recorremos ao próximo número primo que é possível dividi-lo, que nesse caso é o número 7. O resultado é 7 que pode ser dividido novamente por 7. Como o último resultado é 1, isso significa que a conta chegou ao fim, pois não é possível dividir por nenhum outro número primo. Ao lado da fatoração vemos os números 2 – 2 – 7 – 7, que na raiz quadrada viram 2² e 7². Agora você só precisará seguir a fórmula que mostramos no exemplo para realizar o cálculo da raiz quadrada de qualquer número.
Determinar a raiz quadrada consiste em calcular o número que, elevado ao quadrado, gera o valor desejado. Por exemplo, a raiz quadrada do número 25 corresponde ao número 5, pois 5² é igual a 25. Em algumas situações, descobrir esse número por tentativa pode ser muito cansativo e bastante complicado. Como transformar uma raiz em um expoente?Fatorar o número em fatores primos. Escrever o número na forma de potência. Colocar a potência encontrada no radical e dividir por um mesmo número o índice do radical e o expoente da potência (propriedade da radiciação).
Como transformar uma equação em raiz?1º passo: isolar o radical em um lado da equação. 2º passo: elevar ambos os termos ao quadrado e resolver a equação. 3º passo: aplicar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes da equação. 4º passo: verificar qual solução é verdadeira. Como transformar 20 em raiz?O número 20 não é um número quadrado perfeito. Dessa maneira, esse número não possui um número inteiro como raiz. A raiz quadrada de 20 é, aproximadamente, 4,472. É possível converter um expoente Fracionario em raiz?1-Para resolver potências com expoente fracionário e decimal, basta convertê-las em raízes.
Como calcular a raiz de um número?
Como podemos simplificar a raiz?
Como reescrever a raiz quadrada?
Qual a função da raiz quadrada?
A radiciação é a operação matemática inversa da potenciação, assim como a divisão é a operação inversa da multiplicação. Essa operação é representada pelo símbolo √, conhecido como radical, e a raiz de um número é representada por \(\sqrt[n]{a}\ =\ b\). Assim, podemos calcular a raiz enésima de um número utilizando o seguinte raciocínio: a raiz enésima de a é o número que elevado a n é igual a a. Além disso, a radiciação possui propriedades importantes que auxiliam na resolução de problemas envolvendo-a. Leia também: Potenciação e radiciação de frações Videoaula sobre radiciaçãoComo representar a radiciação?Para representar uma operação de radiciação, utilizamos o símbolo √, conhecido como radical. Então, a raiz de um número é representada por: \(\sqrt[n]{a}\ =\ b\) Essa sentença é lida como “raiz enésima de a é igual a b”. Cada um dos elementos recebe nome específico. São eles:
Observação: Quando o índice é igual a 2, não é necessário que o algarismo 2 conste. Ou seja: \(\sqrt[2]{a}=\sqrt a\) A radiciação e a potenciação são conhecidas como operações inversas. Assim, para calcular a radiciação, é fundamental saber resolver potenciações. Quando representamos a raiz enésima de a, encontramos como resposta o número b. Para que b seja raiz n de a, temos que: \(\sqrt[n]{a}=b\rightarrow b^n=a\) Logo, estamos procurando qual é o número b que elevado ao índice n é igual ao radicando a. Exemplo 1: \(\sqrt[2]{25}=5\rightarrow5^2=25\) Exemplo 2: \(\sqrt[3]{8}=2\rightarrow2^3=8\) Exemplo 3: \(\sqrt[5]{1024}=4\rightarrow4^5=1024\) Propriedades da radiciaçãoAs propriedades das operações matemáticas são ferramentas que auxiliam na resolução e na simplificação de problemas envolvendo uma operação, e com a radiciação não é diferente. É útil, portanto, dominar algumas propriedades da radiciação. → A raiz enésima de a elevado a n é igual ao próprio aSe queremos calcular a raiz enésima de um número a elevado a n, ou seja, quando o expoente do número é igual ao índice da raiz, a raiz é o próprio número a. \(\sqrt[n]{a^n}=a\) → A raiz do produto é igual ao produto das raízesQuando o radicando é a multiplicação entre dois números, a raiz do produto é igual ao produto das raízes. \(\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}\) → A raiz do quociente é igual ao quociente das raízesEssa propriedade é equivalente à anterior, porém para o caso de divisão. Quando há uma divisão entre dois números no radicando, a raiz do quociente é igual ao quociente das raízes. \(\sqrt[n]{a∶b}=\sqrt[n]{a}∶\sqrt[n]{b}\) Além disso, essa propriedade é válida para frações, já que a fração é uma divisão. \(\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\) → Multiplicação e divisão do índice com o expoentePodemos multiplicar ou dividir o radical e o expoente do radicando por um mesmo número. \(\sqrt[n]{a^m}=\sqrt[n\cdot b]{a^{m\cdot b}}\) \(\sqrt[n]{a^m}=\sqrt[n:b]{a^{m:b}}\) → Raiz de uma raizPara resolver a raiz de uma raiz, podemos multiplicar os índices dessas raízes. \(\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n\cdot m]{a}\) → Potência de uma raizQuando há uma potenciação com a raiz, temos que: \(\left(\sqrt[n]{a}\right)^b=\sqrt[n]{a^b}\) → Transformação de uma radiciação em uma potenciaçãoPodemos reescrever a radiciação de um número como uma potenciação. \(\sqrt[n]{a^m}=a^\frac{m}{n}\) Confira nossa videoaula: Propriedades de potência Simplificação de radicaisQuando a raiz não é um número exato, é possível simplificar o radical, ou seja, escrever o radical da forma mais simples possível. Para fazer a simplificação, é necessário fatorar esse número e utilizar as propriedades da radiciação apresentadas anteriormente para representar a radiciação da forma mais simples possível. Exemplo: Simplifique \(\sqrt{392}\): Resolução: Primeiramente, é necessário realizar a fatoração de 392: Como queremos calcular a raiz quadrada, agruparemos, quando possível, os números como potência de 2: 392 = \(2^2\cdot2\cdot7^2\) Assim, temos que: \(\sqrt{392}=\sqrt{2^2\cdot2\cdot7^2}\) Utilizando as propriedades da radiciação, sabemos que a raiz do produto é igual ao produto das raízes: \(\sqrt{392}=\sqrt{2^2}\cdot\sqrt2\cdot\sqrt{7^2}\) Vale ressaltar que quando o índice não aparece, o seu valor é 2. E quando o índice e o expoente do radicando são os mesmos, a raiz é igual ao radicando. Ou seja: \(\sqrt{392}=2\cdot\sqrt2\cdot7\) Então, temos que: \(\sqrt{392}=14\sqrt2\) Logo, \(14\sqrt2\) é a forma simplificada da \(\sqrt{392}\). Operações com radicais→ Adição e subtraçãoQuando o radical é o mesmo, para somar ou subtrair a raiz, conservamos o radical e somamos os coeficientes. Exemplo: \(4\sqrt2+3\sqrt2=7\sqrt2\) Quando o radical é diferente, não é possível realizar a operação. Dessa forma, é necessário obter um valor aproximado ou exato para a raiz antes de fazer o cálculo. Exemplo: \(5\sqrt3-2\sqrt2\) \(5\cdot1,7-2\cdot1,4\) \(8,5-2,8\) \(5,7\) → Multiplicação e divisãoQuando o índice é o mesmo, podemos realizar a multiplicação ou a divisão e conservar o radical. Exemplo: \(\sqrt[3]{5}\cdot\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{2\cdot5}=\sqrt[3]{10}\) Quando o índice é diferente, de início igualamos os índices e depois realizamos a multiplicação/divisão e conservamos o radical. Exemplo: \(\sqrt[3]{16}∶\sqrt[2]{2}\) Para igualar os índices, temos que: \(\sqrt[3\cdot2]{{16}^2\ }:\sqrt[2\cdot3]{2^3}\) \(\sqrt[6]{{16}^2∶2^3}\) \(\sqrt[6]{256∶8}\) \(\sqrt[6]{32}\) Exercícios resolvidos sobre radiciaçãoQuestão 1 (Fauel) O número \(\sqrt[3]{2160}\) pode ser escrito na forma simplificada. Assinale a alternativa que apresenta o número simplificado. A) 50 B) \( 6\sqrt[3]{10}\) C) \( 10\sqrt[3]{6}\) D) 720 Resolução: Alternativa B Fazendo a fatoração: Como queremos a raiz cúbica, agruparemos de 3 em 3: 2160 = \(2^3\cdot2\cdot3^3\cdot5\) Logo: \(\sqrt[3]{2160}=\sqrt[3]{2^3\cdot2\cdot3^3\cdot5}\) \(\sqrt[3]{2160}=2\cdot3\sqrt[3]{2\cdot5}\) \(\sqrt[3]{2160}=6\sqrt[3]{10}\) Questão 2 Qual é a raiz cúbica de 4.096? A) 26 B) 24 C) 16 D) 14 Resolução: Alternativa C Para encontrar a raiz cúbica de 4.096, devemos fatorar esse número: Como nós queremos a raiz cúbica, agruparemos de 3 em 3. Assim, obtemos 4096 = \(2^3\cdot2^3\cdot2^3\cdot2^3\). Portanto: \(\sqrt[3]{4096}=\sqrt[3]{2^3\cdot2^3\cdot2^3\cdot2^3}\) \(\sqrt[3]{4096}=2\cdot2\cdot2\cdot2\) \(\sqrt[3]{4096}=16\) |