Exercicios de numeros inteiros operações e propriedades

Concurso Para Todos

Neste material será feita uma revisão dos aspectos mais importantes sobre as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão com números inteiros.

Adição

Os termos da adição são chamadas parcelas e o resultado da operação de adição é denominado soma ou total.

1º parcela + 2º parcela = soma ou total

A ordem das parcelas nunca altera o resultado de uma adição: a + b = b + a
O zero é elemento neutro da adição: 0 + a = a + 0

Subtração

O primeiro termo de uma subtração é chamado minuendo, o segundo, subtraendo e o resultado da operação de subtração é denominado resto ou diferença.

minuendo – subtraendo = resto ou diferença

A ordem dos termos pode alterar o resultado de uma subtração: a – b ≠ b – a (sempre que a ≠ b)

Se adicionarmos uma constante k ao minuendo, o resto será adicionado de k. Se adicionarmos uma constante k ao subtraendo, o resto será subtraído de k.

A subtração é a operação inversa da adição:

M – S = R ↔ R + S = M

A soma do minuendo com o subtraendo e o resto é sempre igual ao dobro do minuendo.

M + S + R = 2 × M

Valor absoluto

O Valor absoluto de um número inteiro indica a distância deste número até o zero quando consideramos a representação dele na reta numérica.

Atenção: O valor absoluto de um número nunca é negativo, pois representa uma distância.
A representação do valor absoluto de um número n é | n |. (Lê-se “valor absoluto de n” ou “módulo de n”.)

Números simétricos

Dois números a e b são ditos simétricos ou opostos quando: a + b = 0

Exemplos: -3 e 3 são simétricos (ou opostos) pois (-3) + (3) = 0.

4 e -4 são simétricos (ou opostos) pois (4) + (-4) = 0.

O oposto de 5 é -5. O simétrico de 6 é -6.

O oposto de zero é o próprio zero.

Dois números simétricos sempres têm o mesmo módulo.

Exemplo: |-3| = 3 e |3| = 3

Operações com números inteiros (Z)

Qualquer adição, subtração ou multiplicação de dois números inteiros sempre resulta também um número inteiro. Dizemos então que estas três operações estão bem definidas em Z ou, equivalentemente, que o conjunto Z é fechado para qualquer uma destas três operações.
As divisõs, as potenciações e as radiciações entre dois números inteiros nem sempre têm resultado inteiro. Assim, dizemos que estas três operações não estão bem definidas no conjunto Z ou, equivalentemente, que Z não é fechado para qualquer uma destas três operações.

Adições e subtrações com números inteiros

Existe um processo que simplifica o cálculo de adições e subtrações com números inteiros. Observe os exemplos seguintes:

Exemplo1: Calcular o valor da seguinte expressão:

10 – 7 – 9 + 15 – 3 + 4

Solução:
Faremos duas somas separadas

• uma só com os números positivos: 10 + 15 + 4 = +29
• outra só com os números negativos: (-7) + (-9) + (-3) = -19

Agora calcularemos a diferença entre os dois totais encontrados: +29 – 19 =  +10

Atenção: É preciso dar sermpre ao resultado o sinal do número que tiver o maior valor absoluto!

Exemplo2: Calcular o valor da seguinte expressão: -10 + 4 – 7 – 8 + 3 – 2 1º passo: Achar os totais (+) e (-): (+): +4 + 3 = +7 (-): -10 – 7 – 8 – 2 = -27 2º passo: Calcular a diferença dando a ela o sinal do total que tiver o maior módulo:

-27 + 7 = – 20

Multiplicação

Os termos de uma multiplicação são chamados fatores e o resultado da operação de multiplicação é donominado produto.
1º fator x 2º fator = produto

•  O primeiro fator também pode ser chamado multiplicando enquanto o segundo fator pode ser chamado multiplicador.
• A ordem dos fatores nunca altera o resultado de uma multiplicação: a x b = b x a
• O número 1 é o elemento neutro da multiplicação: 1 x a = a x 1 = a
• Se adicionarmos uma constante k a um dos fatores, o produto será adicionado de k vezes o outro fator: a x b = c ↔  (a  + k) x b = c + (k x b)
• Se multiplicarmos um dos fatores por uma constante k, o produto será multiplicado por k: a × b = c ↔  (a × k)  × b = k × c
• Podemos distribuir um fator pelos termos de uma adição ou subtração qualquer: a × (b ± c) = (a × b) ± (a × c)

Divisão inteira

Na divisão inteira de N por D ≠ 0, existirá um único par de inteiros, Q e R, tais que:

Q × D + R = N e 0 ≤ R < R < |D| (onde |D| é o valor absoluto de D)

A segunda condição significa que R (o resto) nunca pode ser negativo. Os quatro números envolvidos na divisão inteira são assim denominados: N é o dividendo; D é o divisor (sempre diferente de zero);

Q é o quociente; R é o resto (nunca negativo).

Exemplos:
1) Na divisão inteira de 60 por 7 o dividendo é 60, o divisor é 7, o quociente é 8 e o resto é 4.

8 × 7 + 4 = 60 e 0 ≤ 4 < |7|

2) Na divisão inteira de -60 por 7 o dividendo é -60, o divisor é 7, o quociente é -9 e o resto é 3.

-9 × 7 + 3 = -60 e 0 ≤ 3 < |7|

• Quando ocorrer R = 0 na divisão de N por D, teremos Q × D = N e diremos que a divisão é exata indicando-a como N ÷ D = Q.
• Quando a divisão de N por D for exata diremos que N é divisível por D e D é divisor de N ou, equivalentemente, que N é múltiplo de D e D é fator de N.
• O zero é divisível por qualquer número não nulo: D ≠ 0 → 0 ÷ D = 0.
• Todo número inteiro é divisível por 1: N ÷ 1 = N.
• Se multiplicarmos o dividendo (N) e o divisor (D) de uma divisão por uma constante k ≠ 0, o quociente (Q) não será alterado mas o resto (R) ficará multiplicado por k, se R × k < D, ou será igual ao resto da divisão de R × k por D, se R × k  ≥ D.

Multiplicação e divisões com números inteiros

Nas multiplicações e divisões de dois números inteiros é preciso observar os sinais dos dois termos da operação:

Exemplos:

Não deixe de ver também:

Números inteiros – Exercícios Resolvidos

Números inteiros – Exercícios com gabarito

1. Numa adição com três parcelas, o total era 58. Somando-se 13 à primeira parcela, 21 à segunda e subtraindo-se 10 da terceira, qual será o novo total?

2. Numa subtração a soma do minuendo com o subtraendo e o resto resulto 412. Qual o valor do minuendo?

3. O produto de dois números é 620. Se adicionasse-mos 5 unidades a um de seus fatores, o produto ficaria aumentado de 155 unidades. Quais são os dois fatores?

4. Numa divisão inteira, o divisor é 12, o quociente é uma unidade maior que o divisor e o resto, uma unidade menor que o divisor. Qual é o valor do dividendo?

5. Certo prêmio será distribuído entre três vendedores de modo que o primeiro receberá R$ 325, 00; o segundo receberá R$ 60,00 menos que o primeiro; o terceiro receberá R$ 250,00 menos que o primeiro e o segundo juntos. Qual o valor total do prêmio repartindo entre os três vendedores?

6. Um dicionário tem 950 páginas; cada página é dividida em 2 colunas; cada coluna tem 64 linhas; cada linha tem, em média 35 letras. Quantas letras há nesse dicionário?

7. Uma pessoa ganha R$ 40,00 por dia de trabalho e gasta R$ 800,00 por mês. Quanto ela economizará em uma ano se ela trabalhar, em média, 23 dias por mês?

8. Um negociante comprou 8 barricas de vinho, todas com a mesma capacidade. Tendo pago R$ 7,00 o litro e vendido a R$ 9,00, ele ganhou, ao todo, R$ 1.760,00. Qual era a capacidade de cada barrica?

9.  Em um saco havia 432 balinhas. Dividindo-as em três montes iguais, um deles foi repartido entre 4 meninos e os dois montes restantes foram repartidos entre 6 meninas. Quantas balinhas recebeu cada menino e cada menina?

10. Marta, Marisa e Yara têm, juntas, R$ 275, 00. Marisa tem R$ 15,00 mais o que Yara e Marta possui R$ 20,00 mais que Marisa. Quanto tem cada uma das três meninas?

11. Do salário de R$ 3.302,00, Seu José transferiu uma parte para uma conta de poupança. Já a caminho de casa, Seu José considerou que se tivesse transferido o dobro daquele valor, ainda lhe restariam R$ 2.058,00 do seu salário em conta corrente. De quanto foi o depósito feito?

12. Renato e Flávia ganharam, ao todo, 23 bombons. Se Renato comesse 3 bombons e desse 2 para Flávia, eles ficariam com o mesmo número de bombons. Quantos bombons ganhou cada um deles?

Gabarito

1. 82 2. 206 3. 20 e 31 4. 167 5. R$ 930,00 6. 4.256.000 7. R$ 1.440 8. 110 litros 9. Cada menino recebeu 36 e cada menina, 48 10. Marta: R$ 110,00, Marisa: R$ 90,00 e Yara: R$ 75,00 11. R$ 622,00

12. Renato: 15 e Flávia: 8

Rafael Asth

Professor de Matemática e Física

Pratique exercícios de números inteiros com gabarito e tire suas dúvidas com nossas resoluções comentadas.

Exercício 1

Sendo a = -3, b = -2 e c = 6, resolva as seguintes sentenças:

a) a + b + c = b) c - b + a = c) c/a - b = d) c . b + a =

e) c + a . b =

Utilize os sinais para indicar a relação de maior ou menor entre os números:

a) - 8 ____ 2 b) -25 _____ -45 c) 84 _____ - 256

d) -7 ____ -8

Exercício 3

Resolva as expressões numéricas:

a) 4 - 7 - 15 + 8 = b) (-5)² - 13 + 20 - 9 = c) - 22 - 8 + 4³ + 14 =

d) -66 + 45/5 - 81 =

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Exercício 4

Determine:

a) O simétrico de 17. b) O oposto de -8.

c) O módulo de -15.

Exercício 5

Utilize números inteiros para representar as seguintes situações:

a) João verificou sua conta bancária e constatou dever R$ 64,00 ao banco. b) A temperatura na cidade de Urupema, Santa Catarina, chegou a três graus negativos no último inverno. c) O lucro na quitanda do Sr. Quinino hoje foi de R$ 350,00.

d) O submarino se encontra a quarenta e cinco metros abaixo do nível da superfície.

Uma expedição de mergulho acaba de atracar em uma região litorânea. Um mergulhador já desceu 12 m a partir da superfície. Na cabine do navio, que se situa a 5 m da superfície, o piloto observa as atividades e a vista do oceano. Em relação ao mergulhador, qual a distância do piloto do navio?

Exercício 7

Patrícia é proprietária de uma loja de rações para cães e gatos. Este mês ela adquiriu 400 kg de ração para cachorros a um custo de R$ 12,00 o quilograma e, 100 kg de ração para gatos ao custo de R$ 7,50 o quilograma. Considerando que o preço de venda da ração para cachorro é de R$22,00 e para gatos R$19,50 e que até o momento ela vendeu 143 kg de ração de cachorro e 86 kg de ração para gatos, em relação ao investimento inicial, ela já obteve lucro ou ainda não cobriu o custo?

Represente a situação com operações e represente utilizando números inteiros.

Carlos realizou o controle financeiro mensal de sua loja de esfihas pelo período de seis meses e o registrou em um gráfico.

a) Segundo o gráfico, qual o resultado do primeiro trimestre?

b) Qual a diferença entre o melhor e o pior resultado do semestre?

c) Qual foi o saldo semestral?

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É a soma dos totais de cada mês.

O resultado semestral foi de R$ 5 740,00.

Exercício 9

(PUC-SP) O valor da expressão é:

a) 1 b) 2 c) 21

d) 22

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Resposta correta: a) 1.

Exercício 10

(CBM - RN 2017 com alteração) A quarta parte de um número inteiro positivo ímpar menos 2 é menor que três quartos. Quantos números inteiros tornam essa sentença verdadeira?

a) 4. b) 5. c) 6.

d) 7.

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Resposta correta: b) 5.

O inteiros positivos ímpares menores que 11 são: 1, 3, 5, 7 e 9. Assim, a resposta é 5 (cinco números inteiros tornam essa sentença verdadeira).

(UFPR - 2016) A respeito de números inteiros, considere as seguintes afirmativas:

1. Todo número natural é um número inteiro. 2. O resto na divisão de 3622 por 3 é 1. 3. O número 121212 + 212121 é par.

4. O produto de dois números inteiros é sempre positivo.

Assinale a alternativa correta.

a) Somente a afirmativa 1 é verdadeira. b) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras. c) Somente as afirmativas 2, 3 e 4 são verdadeiras. d) Somente a afirmativa 2 é verdadeira.

e) Somente as afirmativas 3 e 4 são verdadeiras.

Aprenda mais sobre números inteiros.

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Professor Licenciado em Matemática e pós-graduado em Ensino da Matemática e Física (Fundamental II e Médio), com formação em Magistério (Fundamental I). Engenheiro Mecânico pela UERJ, produtor e revisor de conteúdos educacionais.