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Nota: Os exercícios desta aula são referentes ao seguinte vídeo Matemática Zero 2.0 - Aula 15 - Radiciação - (parte 1 de 2) Endereço: https://www.youtube.com/watch?v=x6fw1eeqs2w Gabaritos nas últimas páginas! Atenção: alguns exercícios podem exigir conhecimentos de Potenciação também. Não se esqueça que Potenciação e Radiciação são conceitos muito ligados! Nota 1: Para todos os exercícios, considere U=R Nota2: Pequenas variações na resposta são normais. Assim, para um exercício cuja resposta final seja, as respostas 0,5 ou 2 são corretas também. Diferente não significa necessariamente errado. Na dúvida, pergunte. Nota 3: Alguns exercícios são particularmente difíceis e podem exigir conhecimentos adicionais (fatoração, equações etc). Caso não saiba, tente entender a resolução e/ou pergunte. Tais questões servem para que você consiga aumentar o próprio nível desde já. E1: Simplifique: Página 1 de 17 E2: Simplifique (quando possível): E3: Simplifique: E4: Considere Verdadeiro ou Falso: E5: Qual o maior número? 27 ou 3? Justifique. E6(Unicamp): Dados dois números positivos, 3 maior. e 4, determine o Página 2 de 17 E7: Simplifique: (para 0 e 0). E8: Simplifique: 20 218 64 E9: Simplifique: 3 7 2 54 7 20 28 45 E10 (UEP): Efetuando! 2 2 "!20,25 " resultado: 2 # 6 31 6 3 $ temos por a) % & b) 71 2 c) & ' d) 1 e) 1 2 E11: Simplifique a expressão: ( ( ( ( E12 (Colégio Naval): Efetuando * * obtém-se: a) 4 b) 3 c) 2 d) e) 1 E13 (Colégio Naval): 322 2 3 2 2 2 é igual a: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 d) 5 Página 3 de 17 Complementos de aula Radical Duplo. A expressão +, ou +, é um radical duplo. Em muitos casos, tal expressão pode ser convertida para a forma -. ou -..Por exemplo: considere a expressão / 0. Ela é equivalente à expressão 1 2. Note como elas são (aparentemente) muito diferentes! Justamente por não ser uma transformação óbvia, a simplificação de radicais duplos é muito cobrada em vestibulares militares (ITA, EN...). Como simplificar radicais duplos (quando possível): Página 4 de 17 Exemplo: Simplifique 3 8 : Lembrete: 34 56 7*8 478 e 96 3 5 963 8 961 3 86 31 2 3 1 2 3 86 4 2 2 2 3 86 2 1 3 86 1 2 E14: Simplifique. Página 5 de 17 E15: Qual o valor da expressão: = < < >3?, A % 2 C239 448 < 7 ; E 3 F J I H H H G a) 0,3 b) 3 c) 1 d) 0 e) 1 E16 (EPCAr Modificado): Simplifique: 1,111 K2 L * E17 (Desafio): Determine os números racionais x e y tais que: 106 3 6 Página 6 de 17 Gabarito: E1: E2: Página 7 de 17 E3: Página 8 de 17 E4: O E5: Lembrando da propriedade: b N OQ 6 b NP e que 27 = 3³, temos: 27 6 3 6 3 6 3 3 6 3 ' 6 3 '. Observe que agora ambas as raízes possuem mesmo índice (55). Podemos então comparar os radicandos: Como 3 3 ', então 27 3 Página 9 de 17 O E6: Lembrando da propriedade: b N OQ 6 b NP temos: 3 6 3 6 3 6 81 4 6 4 6 4 6 64 Observe que agora ambas as raízes possuem mesmo índice (12). Podemos então comparar os radicandos: Como 8164, então 3 4 E7: R S R S 6 R S R S 62' x y 6 2 x y 6 22y E8: 20 218 646 2021 886 20 21 16620 214620 25 = 205 = 5 E9: Nota: você pode fatorar os números 20, 28 e 45 (de forma idêntica ao que fizemos no E3). Outra alternativa, mais rápida se você tiver prática é tentar quebrar os números em produtos, de forma que a simplificação seja mais imediata. Se for complexo demais para você, use a fatoração utilizada no E3. 3 7 2 54 7 20 28 456 3 7 2 54 7 5 4 7 4 9 5 = 3 7 2 54 72 5 2 73 5 = (Reordenando) 3 74 7 2 7 2 52 53 5 5 73 5 Página 10 de 17 E10: ALTERNATIVA A! 2 2 "!20,25 " Lista de Exercícios - Radiciação 2 # 6 31 6 3 $ =! 2 2 " 2 0,5 31 # 61 6 3 $ = K L?,' K KL K VL * = & & VL * = & & K & VL * = Note que 1 7 6 1, então podemos transformar 1 em 1 3 1 :! V & V" * =! V & V" * = * #K & L $ Lembrando que >35A >3 5A 63 5, temos: K & L = K & L = & = W & = % & Página 11 de 17 E11: Lembrando que >3 5A >3 5A 63 5, temos: ( ( ( (6E( (F >( (A6K( 2 ( 2 L6 2( (6 2X6 Y (6 2 ( E12: Alternativa A Página 12 de 17 E13: Alternativa Lista de Exercícios - Radiciação Página 13 de 17 E14: Lembrete: 34 56 7*8 478 e 96 3 5 Página 14 de 17 E14 (continuação): Lista de Exercícios - Radiciação Página 15 de 17 E15: ALTERNATIVA C Z>3?, A % 2 239 W % E 3F [ J = \K3 L % 2 239 64 E 3F % J ] = ^3 2239 2 & `3 J 2 2392 3 J _ = 3 J a J = ` 2 243 a J = ` 2 3 ' a J = b 23c J = b1c J 6 1 E16: 1,111 K2 L * = 10,111 K2 2 1 L 21 6 1 1 9 2 E 2 1F > 21A 6 10 9 10 9 2 E F 6 10 9 26 8 9 2 6 Página 16 de 17 E17: 106 3 Lista de Exercícios - Radiciação 6 Elevando-se ao cubo dos dois lados, temos: 106 36EF Lembrando que >35A 63 33 5335 5, temos: 106 36 3 3 106 36 3 3 Note que 6 6 106 36 3 3 Agrupando (no segundo membro) os termos semelhantes, temos: 106 36> 3A>3 A Colocando em evidência: 106 36> 3A>3 A Por comparação entre os dois membros, podemos concluir que: 3610 >fa e 3 66 >ffa 63 >fffa Substituindo o valor de y (y = 3) na equação II, temos: 3 366 (Por haskara, as raízes são 1 e -1). No entanto, ao substituirmos y =3 (único valor de y) e 6 1 na primeira equação, vemos que ela não é satisfeita. Logo, x = 1 e y = 3. Portanto, 10 6 3 6 1 3 Página 17 de 17
A radiciação é a operação que usamos para encontrar um número que multiplicado por ele mesmo um determinado número de vezes, é igual a um valor conhecido. Aproveite os exercícios resolvidos e comentados para tirar suas dúvidas sobre essa operação matemática. Questão 1Fatore o radicando de
Resposta correta: 12. 1º passo: fatorar o número 144
2º passo: escrever 144 na forma de potência
Observe que 24 pode ser escrito como 22.22, pois 22+2= 24 Portanto, 3º passo: substituir o radicando 144 pela potência encontrada Neste caso temos uma raiz quadrada, ou seja, raiz de índice 2. Logo, como uma das propriedades da radiciação é podemos eliminar a raiz e resolver a operação.
Qual o valor de x na igualdade ? a) 4 b) 6 c) 8 d) 12
Resposta correta: c) 8. Observando o expoente dos radicandos, 8 e 4, podemos perceber que 4 é a metade de 8. Portanto, o número 2 é o divisor comum entre eles e isso é útil para descobrir o valor de x, pois segundo uma das propriedades da radiciação . Dividindo o índice do radical (16) e o expoente do radicando (8), descobrimos o valor de x da seguinte forma:
Logo, x = 16 : 2 = 8. Questão 3Simplifique o radical .
Resposta correta: . Para simplificar a expressão, podemos retirar da raiz os fatores que possuem expoente igual ao índice do radical. Para isso, devemos reescrever o radicando de maneira que o número 2 apareça na expressão, já que temos uma raiz quadrada.
Substituindo os valores anteriores no radicando, temos:
Como , simplificamos a expressão. Questão 4Sabendo que todas as expressões são definidas no conjunto dos números reais, determine o resultado para: a) b) c) d)
Resposta correta: a) pode ser escrito como Sabendo que 8 = 2.2.2 = 23 substituímos o valor de 8 no radicando pela potência 23.
b)
c)
d)
Questão 5Reescreva os radicais ; e de forma que os três apresentem o mesmo índice.
Resposta correta: . Para reescrever os radicais com o mesmo índice, precisamos encontrar o mínimo múltiplo comum entre eles.
MMC = 2.2.3 = 12 Portanto, o índice dos radicais deve ser 12. Entretanto, para modificar os radicais precisamos seguir a propriedade . Para mudar o índice do radical devemos utilizar p = 6, pois 6 . 2 = 12
Para mudar o índice do radical devemos utilizar p = 4, pois 4 . 3 = 12
Para mudar o índice do radical devemos utilizar p = 3, pois 3 . 4 = 12
Questão 6Qual o resultado da expressão ? a) b) c) d)
Resposta correta: d) . Pela propriedade dos radicais , podemos resolver a expressão da seguinte forma:
Racionalize o denominador da expressão .
Resposta correta: . Para retirar o radical do denominador do quociente devemos multiplicar os dois termos da fração por um fator racionalizante, que é calculado subtraindo o índice do radical pelo expoente do radicando: Sendo assim, para racionalizar o denominador o primeiro passo é calcular o fator.
Agora, multiplicamos os termos do quociente pelo fator e resolvemos a expressão. Portanto, racionalizando a expressão temos como resultado . Questão 8Determine o diâmetro de uma esfera com volume igual a cm³.
Resposta: o diâmetro será de 6 cm. O volume de uma esfera é calculado segundo a seguinte equação:
Em que R é o raio da esfera e, portanto, o diâmetro é igual a 2R. R deve estar isolado em um membro da equação, de forma que:
Substituindo o valor de V, temos:
Para determinar o valor de R, aplicamos uma raiz cúbica nos dois membros da equação.
Portanto, o diâmetro da esfera será de 2R = 2.3 = 6 cm. Questão 9Sendo e determine o valor de .
Resposta: Substituindo os valores de a e b na equação, temos: Embora os índices das raízes sejam iguais, os radicando são diferentes. Devemos fatorar o 3 125. Como o índice da raiz é 4, é conveniente escrever 3 125 na forma fatorada como ao invés de . Isto irá ajudar a simplificação. Substituindo o 3 125 por sua forma fatorada no radicando, a expressão ficará: Como dentro da raiz há um produto, podemos desmembrá-lo,
Cancelando o índice e o expoente igual e multiplicando 2 por 5,
Questão 10Simplifique a expressão utilizando propriedades das raízes.
Resposta: No numerador, as raízes possuem índices diferentes. Podemos multiplicar pelo mesmo fator tanto o índice quanto o expoente do radicando, afim de igualar os índices.
Ao multiplicar índice e expoente do radicando pelo mesmo fator, não alteramos a raiz. Aplicando na expressão da questão:
Agora os índices são iguais e podemos multiplicar as raízes,
Devemos racionalizar a fração para não deixar um número irracional no denominador. Para isto, basta multiplicar tanto o denominador quanto o numerador pela raiz quadrada de três.
Repetindo o processo, podemos utilizar a mesma propriedade na raiz de três para igualar os índices das raízes.
Com os índices iguais, é possível multiplicar as raízes no numerador,
(IFSC - 2018) Analise as afirmações seguintes: I. II. III. Efetuando-se , obtém-se um número múltiplo de 2. Assinale a alternativa CORRETA. a) Todas são verdadeiras. b) Apenas I e III são verdadeiras. c) Todas são falsas. d) Apenas uma das afirmações é verdadeira. e) Apenas II e III são verdadeiras.
Alternativa correta: b) Apenas I e III são verdadeiras. Vamos resolver cada uma das expressões para verificar quais são verdadeiras. I. Temos uma expressão numérica envolvendo várias operações. Neste tipo de expressão, é importante lembrar que existe uma prioridade para efetuar os cálculos. Assim, devemos começar com a radiciação e potenciação, depois a multiplicação e divisão e, por último, a soma e subtração. Outra observação importante é com relação ao - 52. Se houvesse parênteses, o resultado seria +25, mas sem os parênteses o sinal de menos é da expressão e não do número. Portanto, a afirmação é verdadeira. II. Para resolver essa expressão, iremos considerar as mesmas observações feitas no item anterior, adicionando que resolvemos primeiro as operações dentro dos parênteses. Neste caso, a afirmação é falsa. III. Podemos resolver a expressão utilizando a propriedade distributiva da multiplicação ou o produto notável da soma pela diferença de dois termos. Assim, temos:
Como o número 4 é um múltiplo de 2, essa afirmação também é verdadeira. Questão 12(CEFET/MG - 2018) Se , então o valor da expressão x2 + 2xy +y2 – z2 é a) d) 0
Alternativa correta: c) 3. Vamos começar a questão simplificando a raiz da primeira equação. Para isso, passaremos o 9 para a forma de potência e dividiremos o índice e o radicando da raiz por 2:
Considerando as equações, temos:
Como as duas expressões, antes do sinal de igual, são iguais, concluímos que:
Resolvendo essa equação, encontraremos o valor do z:
Substituindo esse valor na primeira equação:
Antes de substituir esses valores na expressão proposta, vamos simplificá-la. Note que: x2 + 2xy + y2 = (x + y)2 Assim, temos:
Questão 13(Aprendiz de Marinheiro - 2018) Se , então o valor de A2 é: a) 1 b) 2 c) 6 d) 36
Alternativa correta: b) 2 Como a operação entre as duas raízes é a multiplicação, podemos escrever a expressão em um único radical, ou seja:
Agora, vamos elevar o A ao quadrado:
Como o índice da raiz é 2 (raiz quadrada) e está elevado ao quadrado, podemos retirar a raiz. Assim:
Para multiplicar, usaremos a propriedade distributiva da multiplicação: Questão 14(Aprendiz de Marinheiro - 2017) Sabendo que a fração é proporcional à fração , é correto afirmar que y é igual a: a) 1 - 2
Alternativa correta: e) Sendo as frações proporcionais, temos a seguinte igualdade:
Passando o 4 para o outro lado multiplicando, encontramos:
Simplificando todos os termos por 2, temos:
Agora, vamos racionalizar o denominador, multiplicando em cima e embaixo pelo conjugado de :
Questão 15(CEFET/RJ - 2015) Seja m a média aritmética dos números 1, 2, 3, 4 e 5. Qual é a opção que mais se aproxima do resultado da expressão abaixo?
a) 1,1 b) 1,2 c) 1,3 d) 1,4
Alternativa correta: d) 1,4 Para começar, iremos calcular a média aritmética entre os números indicados:
Substituindo esse valor e resolvendo as operações, encontramos:
Questão 16(IFCE - 2017) Aproximando os valores de até a segunda casa decimal, obtemos 2,23 e 1,73, respectivamente. Aproximando o valor de até a segunda casa decimal, obtemos a) 1,98. b) 0,96. c) 3,96. d) 0,48. e) 0,25.
Alternativa correta: e) 0,25 Para encontrar o valor da expressão, iremos racionalizar o denominador, multiplicando pelo conjugado. Assim: Resolvendo a multiplicação:
Substituindo os valores da raízes pelos valores informados no enunciado do problema, temos:
Questão 17(CEFET/RJ - 2014) Por qual número devemos multiplicar o número 0,75 de modo que a raiz quadrada do produto obtido seja igual a 45? a) 2700 b) 2800 c) 2900 d) 3000
Alternativa correta: a) 2700 Primeiro, vamos escrever 0,75 na forma de fração irredutível:
Iremos chamar de x o número procurado e escrever a seguinte equação:
Elevando ao quadrado ambos os membros da equação, temos: Questão 18(EPCAR - 2015) O valor da soma é um número a) natural menor que 10 b) natural maior que 10 c) racional não inteiro d) irracional.
Alternativa correta: b) natural maior que 10. Vamos começar racionalizando cada parcela da soma. Para isso, iremos multiplicar o numerador e o denominador das frações pelo conjugado do denominador, conforme indicado abaixo: Para efetuar a multiplicação dos denominadores, podemos aplicar o produto notável da soma pela diferença de dois termos.
S = 2 - 1 + 14 = 15 Você também pode se interessar por: |
Exercícios - radiciação 9o ano doc
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