A teoria da probabilidade é o campo da Matemática que estuda experimentos ou fenômenos aleatórios e através dela é possível analisar as chances de um determinado evento ocorrer. Show
Quando calculamos a probabilidade, estamos associando um grau de confiança na ocorrência dos resultados possíveis de experimentos, cujos resultados não podem ser determinados antecipadamente. Probabilidade é a medida da chance de algo acontecer. Desta forma, o cálculo da probabilidade associa a ocorrência de um resultado a um valor que varia de 0 a 1 e, quanto mais próximo de 1 estiver o resultado, maior é a certeza da sua ocorrência. Por exemplo, podemos calcular a probabilidade de uma pessoa comprar um bilhete da loteria premiado ou conhecer as chances de um casal ter 5 filhos, todos meninos. Experimento AleatórioUm experimento aleatório é aquele que não é possível conhecer qual resultado será encontrado antes de realizá-lo. Os acontecimentos deste tipo quando repetidos nas mesmas condições, podem dar resultados diferentes e essa inconstância é atribuída ao acaso. Um exemplo de experimento aleatório é jogar um dado não viciado (dado que apresenta uma distribuição homogênea de massa) para o alto. Ao cair, não é possível prever com total certeza qual das 6 faces estará voltada para cima. Fórmula da ProbabilidadeEm um fenômeno aleatório, as possibilidades de ocorrência de um evento são igualmente prováveis. Sendo assim, podemos encontrar a probabilidade de ocorrer um determinado resultado através da divisão entre o número de eventos favoráveis e o número total de resultados possíveis: Sendo: P(A): probabilidade da ocorrência de um evento A. O resultado calculado também é conhecido como probabilidade teórica. Para expressar a probabilidade na forma de porcentagem, basta multiplicar o resultado por 100. Exemplo 1 Resolução Para isso, devemos considerar que temos 6 casos possíveis (1, 2, 3, 4, 5, 6) e que o evento "sair um número menor que 3" tem 2 possibilidades, ou seja, sair o número 1 ou 2. Assim, temos: Para responder na forma de uma porcentagem, basta multiplicar por 100. Portanto, a probabilidade de sair um número menor que 3 é de 33%. Exemplo 2 Solução Neste caso, temos 13 cartas de paus que representam o número de casos favoráveis. Substituindo esses valores na fórmula da probabilidade, temos: Ou, multiplicando o resultado por 100: Ponto AmostralPonto amostral é cada resultado possível gerado por um experimento aleatório. Exemplo Espaço AmostralRepresentado pela letra Ω(ômega), o espaço amostral corresponde ao conjunto de todos os pontos amostrais, ou , resultados possíveis obtidos a partir de um experimento aleatório. Por exemplo, ao retirar ao acaso uma carta de um baralho, o espaço amostral corresponde às 52 cartas que compõem este baralho. Da mesma forma, o espaço amostral ao lançar uma vez um dado, são as seis faces que o compõem: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. A quantidade de elementos em um conjunto chama-se cardinalidade, expressa pela letra n seguida do símbolo do conjunto entre parênteses. Assim, a cardinalidade do espaço amostral do experimento lançar um dado é n(Ω)=6. Espaço Amostral EquiprovávelEquiprovável significa mesma probabilidade. Em um espaço amostral equiprovável, cada ponto amostral possui a mesma probabilidade de ocorrência. Exemplo Sendo experimento honesto, todas as cores possuem a mesma chance de serem sorteadas. Tipos de EventosEvento é qualquer subconjunto do espaço amostral de um experimento aleatório. Evento certoO conjunto do evento é igual ao espaço amostral. Exemplo Evento impossívelO conjunto do evento é vazio. Exemplo O evento "tirar uma bola vermelha" é um evento certo, pois todas as bolas da caixa são desta cor. Já o evento "tirar um número maior que 30", é impossível, visto que o maior número na caixa é 20. Evento complementarOs conjuntos de dois eventos formam todo o espaço amostral, sendo um evento complementar ao outro. Exemplo Seja o evento A sair cara, A={cara}, o evento B sair coroa é complementar ao evento A, pois, B={coroa}. Juntos formam o próprio espaço amostral. Evento mutuamente exclusivoOs conjuntos dos eventos não possuem elementos em comum. A intersecção entre os dois conjuntos é vazia. Exemplo A: ocorrer um número menor que 5, A={1, 2, 3, 4} Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional relaciona as probabilidades entre eventos de um espaço amostral equiprovável. Nestas circunstâncias, a ocorrência do evento A, depende ou, está condicionada a ocorrência do evento B. A probabilidade do evento A dado o evento B é definida por: Onde o evento B não pode ser vazio. Exemplo de caso de probabilidade condicional Como evento de probabilidade condicional, podemos associar a probabilidade de sortear uma mulher (evento A) dado que seja francesa (evento B). Neste caso, queremos saber a probabilidade de ocorrer A (ser mulher), apenas se for francesa (evento B). Saiba mais sobre probabilidade condicional. Análise CombinatóriaEm muitas situações, é possível descobrir de forma direta o número de eventos possíveis e favoráveis de um experimento aleatório. Entretanto, em alguns problemas, será necessário calcular esses valores. Neste caso, podemos utilizar as fórmulas de permutação, arranjo e combinação conforme a situação proposta na questão. Para saber mais sobre o tema, acesse:
Exemplo Solução Como, neste caso, a ordem dos algarismos formam números diferentes, iremos usar a fórmula de permutação. Sendo assim, temos: Eventos possíveis: Portanto, com 5 algarismos podemos encontrar 120 números diferentes. Para calcular a probabilidade, temos ainda que encontrar o número de eventos favoráveis que, neste caso, é encontrar um número divisível por 2, o que irá acontecer quando o último algarismo do número for 2 ou 4. Considerando que para a última posição temos apenas essas duas possibilidades, então teremos que permutar as outras 4 posições que formam o número, assim: Eventos favoráveis: A probabilidade será encontrada fazendo: Leia também:
Vídeo sobre ProbabilidadeExercícios ResolvidosExercício 1(PUC/RJ - 2013) Se a = 2n + 1 com n ∈ {1, 2, 3, 4}, então a probabilidade de o número a ser par é a) 1 Ver Resposta Ao substituirmos cada valor possível de n na expressão do número a, notamos que o resultado será sempre um número ímpar. Portanto, "ser um número par" é um evento impossível. Neste caso, a probabilidade é igual a zero. Alternativa: e) 0 Exercício 2(UPE - 2013) Em uma turma de um curso de espanhol, três pessoas pretendem fazer intercâmbio no Chile, e sete na Espanha. Dentre essas dez pessoas, foram escolhidas duas para a entrevista que sorteará bolsas de estudo no exterior. A probabilidade de essas duas pessoas escolhidas pertencerem ao grupo das que pretendem fazer intercâmbio no Chile é Ver Resposta Primeiro, vamos encontrar o número de situações possíveis. Como a escolha das 2 pessoas não depende da ordem, iremos usar a fórmula de combinação para determinar o número de casos possíveis, ou seja: Assim, existem 45 maneiras de escolher as 2 pessoas em um grupo de 10 pessoas. Agora, precisamos calcular o número de eventos favoráveis, ou seja, as duas pessoas sorteadas quererem fazer o intercâmbio no Chile. Novamente iremos usar a fórmula de combinação: Portanto, existem 3 modos de escolher 2 pessoas entre as três que pretendem estudar no Chile. Com os valores encontrados, podemos calcular a probabilidade pedida substituindo na fórmula: Alternativa: b) Mais exercícios sobre probabilidade:
Professor de Matemática licenciado e pós-graduado em Ensino da Matemática e Física (Fundamental II e Médio), com formação em Magistério (Fundamental I). Engenheiro Mecânico pela UERJ, produtor e revisor de conteúdos educacionais. Como calcular a probabilidade de dois dados?Dados dois eventos, A e B, em um mesmo espaço amostral, para calcular a probabilidade da união de dois eventos, utilizamos a fórmula: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
Qual a probabilidade de 2 dados caírem iguais?Questão 2. Se lançarmos dois dados ao mesmo tempo, qual a probabilidade de dois números iguais ficarem voltados para cima? Resposta correta: 0,1666 ou 16,66%.
Como se faz um cálculo de probabilidade?Dado um experimento aleatório, calculamos a chance de um determinado evento ocorrer, essa probabilidade é dada pela razão entre o número de elementos do meu conjunto evento, ou seja, o número de casos favoráveis sobre o número de elementos no meu espaço amostral, ou seja, o número de casos possíveis.
Quantas possibilidades existem em dois dados?O resultado possível no lançamento simultâneo de dois dados resulta em 36. Com base nesse espaço amostral, podemos determinar qualquer evento pertencente ao conjunto dos possíveis resultados.
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