Como é chamada sequência numérica em que cada termo obedece uma ordem chamada de razão?

Progressão geométrica

De Wikipedia, a enciclopédia livre

Uma progressão geométrica (abreviada como P.G.) é uma sequência numérica na qual cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior por uma constante, chamada de razão da progressão geométrica.[1] A razão é indicada geralmente pela letra

(inicial da palavra "quociente").

Índice Show

Progressão geométrica
De Wikipedia, a enciclopédia livre
Classificação de uma P.A.
Propriedades da P.A.
1ª propriedade:
2ª propriedade:
3ª propriedade:
Fórmula do Termo Geral
Explicação da fórmula
Fórmula do termo geral a partir de um termo k qualquer
Soma dos Termos de uma P.A.
Exercício Resolvido
Exercício 1
Exercício 2
Exercício 3
Como é chamado a sequência de números?
O que é razão da sequência?
O que é o termo geral de uma sequência numérica?
Como saber a razão de uma sequência?

Diagrama mostrando uma série geométrica 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ⋯ que converge para 2.

Alguns exemplos de progressão geométrica:

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Matemática

Sucessões ou Seqüências

DEFINIÇÃO

Conjuntos de objetos de qualquer natureza, organizados ou escritos numa ordem bem determinada.

Para representar uma seqüência, escrevemos seus elementos, ou termos, entre parênteses.

É importante destacar que, ao contrário do que ocorre num conjunto, qualquer alteração na ordem dos elementos de uma seqüência altera a própria seqüência.

Exemplos:

a) O conjunto (janeiro, fevereiro, março, abril... dezembro) é chamado seqüência ou sucessão dos meses do ano.

b) O conjunto ordenado (0, 1, 2, 3, 4, 5...) é chamado seqüência ou sucessão dos números naturais.

SEQÜÊNCIAS NUMÉRICAS

São conjuntos de números reais dispostos numa certa ordem. Uma seqüência numérica pode ser finita ou infinita.

Exemplos:

a) (3, 6, 9, 12) é uma seqüência finita.
b) (5, 10, 15...) é uma seqüência infinita.
REPRESENTAÇÃO DE UMA SEQÜÊNCIA

A representação matemática de uma sucessão é dada da seguinte forma:

(a1, a2, a3, ...an-1, an), em que:

· a1 é o primeiro termo;

· a2 é o segundo termo;

· an é o enésimo termo.

Aplicação

Dada a seqüência (2, 4, 6, 8, 10), calcular:

a) a3 b) a2+ 3a1

Solução:

a) a3 é o terceiro termo; logo, a3 = 6.

b) a2+ 3a1 = 4 + 3.2 = 4 + 6 = 10.

PROGRESSÃO ARITMÉTICA (P. A.)

É toda seqüência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma de seu antecessor com um número constante r (razão).

Exemplos:

a) (3, 5, 7, 9...)

5 = 3 + 2

7 = 5 + 2 →2 é a razão da progressão aritmética.

9 = 7 + 2
b) (5, 10, 15, 20)

10 = 5 + 5

15 = 10 + 5 →5 é a razão da progressão aritmética.

20 = 15 + 5

http://ensinodematemtica.blogspot.com
Extraido do colegioweb.com.br

- Progressão Aritmética
Seqüências ou sucessões Uma seqüência ou sucessão é um conjunto finito ou infinito de elementos de qualquer natureza organizados ou escritos numa ordem bem determinada. Uma seqüência genérica pode ser representada por (a1; a 2; a 3; a 4; ...;...

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Progressão aritmética é um tipo de seqüência numérica que a partir do segundo elemento cada termo (elemento) é a soma do seu antecessor por uma constante. (5,7,9,11,13,15,17) essa seqüência é uma Progressão aritmética, pois os seus elementos...

- Progressão Aritmética - Exercícios Resolvidos
Progressão Aritmética - Exercícios resolvidos 01. (FATES) Considere as seguintes seqüências de números: I. 3, 7, 11, ... II. 2, 6, 18, ... III. 2, 5, 10, 17, ... O número que continua cada uma das seqüências na ordem dada deve ser respectivamente:...

- Progressão Aritmetica
O diário do professor é composto pelos nomes de seus alunos, esses nomes obedecem a uma ordem (são escritos em ordem alfabética), essa lista de nomes (diário) é considerada uma seqüência. Os dias do mês são dispostos no calendário obedecendo...

- Progressão Geometrica
O diário do professor é composto pelos nomes de seus alunos, esses nomes obedecem a uma ordem (são escritos em ordem alfabética), essa lista de nomes (diário) é considerada uma seqüência. Os dias do mês são dispostos no calendário obedecendo...

Matemática

A Progressão Aritmética (P.A.) é uma sequência de números onde a diferença entre dois termos consecutivos é sempre a mesma. Essa diferença constante é chamada de razão da P.A..

Sendo assim, a partir do segundo elemento da sequência, os números que surgem são resultantes da soma da constante com o valor do elemento anterior.

Isso é o que a diferencia da progressão geométrica (P.G.), pois nesta, os números são multiplicados pela razão, enquanto na progressão aritmética, eles são somados.

As progressões aritméticas podem apresentar um número determinado de termos (P.A. finita) ou um número infinito de termos (P.A. infinita).

Para indicar que uma sequência continua indefinidamente utilizamos reticências, por exemplo:

a sequência (4, 7, 10, 13, 16, ...) é uma P.A. infinita.
a sequência (70, 60, 50, 40, 30, 20, 10) é uma P.A. finita.

Cada termo de uma P.A. é identificado pela posição que ocupa na sequência e para representar cada termo utilizamos uma letra (normalmente a letra a) seguida de um número que indica sua posição na sequência.

Por exemplo, o termo a4 na P.A (2, 4, 6, 8, 10) é o número 8, pois é o número que ocupa a 4ª posição na sequência.

Classificação de uma P.A.

De acordo com o valor da razão, as progressões aritméticas são classificadas em:

Constante: quando a razão for igual a zero. Por exemplo: (4, 4, 4, 4, 4...), sendo r = 0.
Crescente: quando a razão for maior que zero. Por exemplo: (2, 4, 6, 8,10...), sendo r = 2.
Decrescente: quando a razão for menor que zero (15, 10, 5, 0, - 5,...), sendo r = - 5

Propriedades da P.A.

1ª propriedade:

Em uma P.A. finita, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos.

Exemplo

2ª propriedade:

Considerando três termos consecutivos de uma P.A., o termo do meio será igual a média aritmética dos outros dois termos.

Exemplo

3ª propriedade:

Em uma P.A. finita com número de termos ímpar, o termo central será igual a média aritmética entre termos equidistantes deste. Esta propriedade deriva da primeira.

Fórmula do Termo Geral

Onde,

an: termo que queremos calcular
a1: primeiro termo da P.A.
n: posição do termo que queremos descobrir
r: razão

Explicação da fórmula

Como a razão de uma P.A. é constante, podemos calcular seu valor a partir de quaisquer termos consecutivos, ou seja:

Sendo assim, podemos encontrar o valor do segundo termo da P.A. fazendo:

Para encontrar o terceiro termo utilizaremos o mesmo cálculo:

Substituindo o valor de a2, que encontramos anteriormente, temos:

Se seguirmos o mesmo raciocínio, podemos encontrar:

Observando os resultados encontrados, notamos que cada termo será igual a soma do primeiro termo com a razão multiplicada pela posição anterior.

Esse cálculo é expresso através da fórmula do termo geral da P.A., que nos permite conhecer qualquer elemento de uma progressão aritmética.

Exemplo

Calcule o 10° termo da P.A.: (26, 31, 36, 41, ...)

Solução

Primeiro, devemos identificar que:

a1 = 26
r = 31 - 26 = 5
n = 10 (10º termo).

Substituindo esses valores na fórmula do termo geral, temos:

an = a1 + (n - 1) . r
a10 = 26 + (10-1) . 5
a10 = 26 + 9 .5
a10 = 71

Portanto, o décimo termo da progressão aritmética indicada é igual a 71.

Fórmula do termo geral a partir de um termo k qualquer

Muitas vezes, para definir um termo genérico qualquer, que chamamos de an, não temos o primeiro termo a1, mas conhecemos outro qualquer, que chamamos de ak.

Podemos usar a fórmula do termo geral a partir de um termo k qualquer:

Repare que a única diferença, foi a mudança do índice 1 na primeira fórmula, pelo k, na segunda.

Sendo,

an: o n-ésimo termo da P.A. (um termo numa posição n qualquer)
ak: o k-ésimo termo de uma P.A. (um termo numa posição k qualquer)
r: a razão

Soma dos Termos de uma P.A.

Para encontrar a soma dos termos de uma P.A. finita, basta utilizar a fórmula:

Onde,

Sn: soma dos n primeiros termos da P.A.
a1: primeiro termo da P.A.
an: ocupa a enésima posição na sequência (uma termo na posição n)
n: posição do termo

Exercício Resolvido

Exercício 1

PUC/RJ - 2018

Sabendo que os números da sequência (y, 7, z, 15) estão em progressão aritmética, quanto vale a soma y + z?

a) 20
b) 14
c) 7
d) 3,5
e) 2

Ver Resposta

Para encontrar o valor de z, podemos usar a propriedade que diz que quando temos três termos consecutivos o termo do meio será igual a média aritmética dos outros dois. Assim, temos:

Sendo z igual a 11, então a razão será igual a:

r = 11 - 7 = 4

Desta forma, y será igual a:

y = 7 - 4 = 3

Portanto:

y+z = 3 + 11 = 14

Alternativa: b) 14

Exercício 2

IFRS - 2017

Na figura abaixo, temos uma sequência de retângulos, todos de altura a. A base do primeiro retângulo é b e dos retângulos subsequentes é o valor da base do anterior mais uma unidade de medida. Sendo assim, a base do segundo retângulo é b+1 e do terceiro b+2 e assim sucessivamente.

Considere as afirmativas abaixo.

I - A sequência das áreas dos retângulos é uma progressão aritmética de razão 1.
II - A sequência das áreas dos retângulos é uma progressão aritmética de razão a.
III - A sequência das áreas dos retângulos é uma progressão geométrica de razão a.
IV - A área do enésimo retângulo (An) pode ser obtida pela fórmula An = a . (b + n - 1).

Assinale a alternativa que contém a(as) afirmativa(s) correta(s).

a) I.
b) II.
c) III.
d) II e IV.
e) III e IV.

Ver Resposta

Calculando a área dos retângulos, temos:

A = a . b
A1 = a . (b + 1) = a . b + a
A2 = a . (b + 2) = a . b. + 2a
A3 = a . (b + 3) = a . b + 3a

Pelas expressões encontradas, notamos que a sequência forma uma P.A. de razão igual a a. Continuando a sequência, encontraremos a área do enésimo retângulo, que é dada por:

An= a . b + (n - 1) .a
An = a . b + a . n - a

Colocando o a em evidência, temos:

An = a (b + n - 1)

Alternativa: d) II e IV.

Exercício 3

UERJ

Admita a realização de um campeonato de futebol no qual as advertências recebidas pelos atletas são representadas apenas por cartões amarelos. Esses cartões são convertidos em multas, de acordo com os seguintes critérios:

Os dois primeiros cartões recebidos não geram multas;
O terceiro cartão gera multa de R$500,00.
Os cartões seguintes geram multas cujos valores são sempre acrescidos de R$500,00 em relação ao valor da multa anterior.

No quadro, indicam-se as multas relacionadas aos cinco primeiros cartões aplicados a um atleta.

Considere um atleta que tenha recebido 13 cartões amarelos durante o campeonato. O valor total, em reais, das multas geradas por todos esses cartões equivale a:

a)30 000
b)33 000
c)36 000
d)39 000

Ver Resposta

Resposta correta: b)33 000

A partir do terceiro cartão amarelo, o valor da multa cresce em uma P.A. com razão de R$500,00. Considerando o primeiro termo, a1, com o valor do terceiro cartão, de R$500,00.

Para determinar o valor total das multas, devemos utilizar a fórmula da soma dos termos da P.A.

Como o atleta possui 13 cartões amarelos mas, os dois primeiros não geram multas, faremos uma P.A. de 13- 2 termos, ou seja, 11 termos.

Dessa forma, temos os seguintes valores:

a1 = 500
n = 11
r = 500

Para descobrir o valor do n-ésimo termo, a11, usamos a fórmula do termo geral.

an = a1 + (n-1).r
a21 = 500 +(11-1) x 500
a21 = 500 + 10 x 500
a21 = 5500

Aplicando a fórmula da soma dos termos de uma P.A.

Resolva mais exercícios em:

Progressão Aritmética - Exercícios

Saiba mais, lendo também:

Sequência Numérica
Progressão Geométrica
Progressão Geométrica - Exercícios
Exercícios sobre PA e PG
Fórmulas de Matemática

Professor de Matemática licenciado e pós-graduado em Ensino da Matemática e Física (Fundamental II e Médio), com formação em Magistério (Fundamental I). Engenheiro Mecânico pela UERJ, produtor e revisor de conteúdos educacionais.

Como é chamado a sequência de números?

Sequência numérica é uma sucessão de números que geralmente possui uma lei de formação, com especificidades, como a sequência de números pares, ou de números primos etc. Os dominós formam a sequência 6,5,4,3,2,1,0.

O que é razão da sequência?

é uma sequência de números onde a diferença entre dois termos consecutivos é sempre a mesma. Essa diferença constante é chamada de razão da P.A..

O que é o termo geral de uma sequência numérica?

O termo geral da PA é uma fórmula usada para encontrar um dos termos da progressão aritmética quando o primeiro termo, o último termo, a razão e a quantidade de termos são conhecidos.

Como saber a razão de uma sequência?

Para encontrar a razão, basta calcular a diferença entre dois termos consecutivos: 5 – 1 = 4; então, nesse caso, r = 4 . 2º passo: encontrar o termo geral. Como sabemos que a₁= 1 e r = 4, vamos substituir na fórmula. 3º passo: conhecendo o termo geral, vamos calcular o 5º, 10º e 23º termo.