Em um poligono regular de n lados a traçar as diagonais

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• Qual é o número de diagonais de um polígono regular de n lados?
• Qual a fórmula para calcular as diagonais de um polígono?
• Quantas diagonais possui um polígono regular?
• Quantos lados tem esse polígono como se chama?

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Matemática 8ª ANO 
Prof. Jackson Rangel 
É a figura que é formado por segmentos de reta 
unidos por seus extremos dois a dois. 
Medida do 
ângulo central 
 
A 
B 
C 
D E 
 
 
 
 
 
 
  
 
 Diagonal 
Vértice 
Medida do 
ângulo externo 
Lado 
Medida dol 
ângulo interno 
Centro 
01- Polígono convexo - Las 
medidas de seus ângulos 
interiores são agudos. 
02- Polígono cóncavo -La medida 
de uno o mas de sus ángulos 
interiores es cóncavo. 
03- Polígono equilátero - Seus 
lados são congruentes. 
04- Polígono equiângulo - As medidas 
de seus ângulos interiores são 
congruentes. 
Triângulo : 3 lados 
Quadrilátero: 4 lados 
Pentágono: 5 lados 
Hexágono: 6 lados 
Heptágono: 7 lados 
Octógono: 8 lados 
Eneágono : 9 lados 
Decágono: 10 lados 
Unodecágono: 11 lados 
Dodecágono: 12 lados 
Pentadecágono:15 lados 
Icoságono: 20 lados 
05- Polígono regular - É equilátero e 
por sua vez equiângulo. 
06- Polígono irregular - Seus lados 
têm comprimentos diferentes. 
PRIMEIRA PROPRIEDADE 
Numericamente: Lados, vértices, ângulos interiores, 
ângulos exteriores e ângulos centrais são iguais. 
• Lados 
• Vértices 
• Ângulos interiores 
• Ângulos exteriores 
• Ângulos centrais 
SEGUNDA PROPRIEDADE 
A partir de um vértice de um polígono, se podem 
traçar (n-3 ) diagonais. 
Exemplo: 
ND = (n-3) = (5-3) = 2 diagonais 
3 . 180º = 540º 
TERCEIRA PROPRIEDADE 
O número total de diagonais que se pode traçar em um polígono: 
2
)3n(n
ND


Exemplo: 
diagonais 5
2
)35(5


DN
QUARTA PROPRIEDADE 
Ao traçar diagonais desde um mesmo vértice obtemos (n-2) 
triângulos 
Exemplo: 
3 
2 
1 
Ns. = ( n – 2 ) = 5 - 2 = 3 triângulos 
QUINTA PROPRIEDADE 
Soma das medidas dos ângulos interiores de un polígono: 
Si =180°(n-2) 
Exemplo: 
180º 
180º 
180º 
Si = 180º x número de triângulos = 180º(5 - 2) = 540º 
Donde (n - 2) é o número de triángulos 
Soma das medidas dos 
ângulos interiores do triângulo 
SEXTA PROPRIEDADE 
Soma das medidas dos ângulos exteriores de um polígono é 360º 
Se = 360° a 
b 
c 
d 
e 
a + b + c + d + e = 360º 
Exemplo: 
SÉTIMA PROPRIEDADE 
Ao unir um ponto de um lado com os vértices opostos obtemos 
(n - 1) triângulos 
Exemplo: 
3 
2 
1 
4 
Ns. = ( n – 1 ) = 5 - 1 = 4 triângulos 
Ponto qualquier de 
um lado 
OITAVA PROPRIEDADE 
Ao unir um ponto interior qualquier com os vértices obtemos 
“n” triângulos 
3 
2 
1 
4 5 
Ns. = n = 5 = 5triângulos 
Exemplo: 
NONA PROPRIEDADE 
Número de diagonais traçadas desde “V” vértices consecutivos, obtemos 
com a siguinte fómula. 
2
)2V)(1V(
nVND


Exemplo: 
2 
1 
e assim 
sucessivamente 
1ª Propriedade 2ª Propriedade 
3ª Propriedade 4ª Propriedade 
Soma das medidas dos ângulos 
centrais. 
Sc = 360° 
Medida de um ângulo interior de um 
polígono regular ou polígono 
equiângulo. 
n
n
S
i
)2(180 

Medida de um ângulo exterior de um 
polígono regular ou polígono 
equiângulo. 
n
ae


360
Medida de um ângulo central de um 
polígono regular. 
n
360
cm


Ângulo Externo: 
 Questão 08. 
a) Pág. 104 
 
85º + 65º + x + 70º + 72º = 360º 
 
 
292º + x = 360º 
 
X = 360º - 292º 
 
X = 68º 
b) 
B= 180º - 65º 
B = 115º 
C = 180º - 68º 
C = 112º 
D = 180º - 70º 
D = 110º 
E = 180º - 72º 
E = 108º 
Em um polígono, a soma das medidas dos ângulos 
exteriores e interiores és 1980°. Calcule o total de 
diagonais deste polígono. 
360° + 180°( n - 2 ) = 1980° 
Se + Si = 1980° 
Resolvendo: n = 11 lados 
Número de diagonais: 
2
)3n(n
ND


2
) 311 ( 11
ND

 ND = 44 
Do enunciado: 
Logo, substituindo pelas propriedades: 
Problema Nº 01 
360º + 180ºn – 360º = 1980º 
 
 n = 1980 / 180 
 
 n = 11 
 
Como se denomina aquele polígono regular, no qual 
a medida de cada um de seus ângulos internos é 
igual a 8 vezes a medida de um ângulo externo. 
mi = 8(me ) 
Resolvendo: n = 18 lados 
Polígono de 18 lados 
Polígono é regular: 
)
n
360
(8
n
)2n(180 


 
 
Problema Nº 02 
Do enunciado: 
Substituindo pelas propriedades: 
Logo polígono é regular se denomina: 
180n – 360 = 2880 
180n = 2880 + 360 
180n = 3240 
 n = 3240 /180 
 n= 18 lados 
Calcule o número de diagonais de um polígono 
convexo, sabendo que o total das diagonais é 
maior que seu número de lados em 75. 
Resolvendo: n = 15 lados 
Logo, o número total de diagonais: 
2
)3n(n
ND


2
) 315 ( 15
ND

 ND = 90 
2
) 3n ( n 
ND = n + 75 
= n + 75 
n2 - 5n - 150 = 0 
Problema Nº 03 
Do enunciado: 
Substituindo a propriedade: 
Em um polígono regular, um lado aumenta, a 
medida de seu ângulo interno aumenta em 12°; 
então o número de vértices do polígono é: 
Resolvendo: n = 5 lados 
NV= 5 vértices 
Polígono é regular: 
Polígono original: n lados 
Polígono modificado: (n + 1) lados 
1n
) 21n (180
 12
n
) 2n (180




Número de lados = Número de vértices 
Problema Nº 04 
Dol enunciado: 
Substituindo pela propriedade: 
O número total de diagonais de um polígono regular 
é igual ao triplo do número de vértices. Calcule a 
medida de um ângulo central deste polígono. 
Resolvendo: n = 9 lados 
mc = 40° 
Polígono é regular: 
2
)3n(n 
= 3n 
Logo, a medida de um ângulo central: 
n
360
m c


9
360
m c


Problema Nº 05 
Do enunciado: 
ND = 3n 
Substituindo pela propriedade: 
09 
 
Si = (n - 2).180° 
 (n - 2).180° 
n - 2 = 1080° / 180° 
n - 2 = 6 
n = 6 + 2 
n = 8 lados 
 
Logo este polígono é um 
octógono . 
Octógono 
1080° = 
10 - Em um polígono regular a medida do ângulo 
externo é o dobro da medida de um ângulo interno. 
a) Calculo do angulo externo : 
 
Se = 180 - Si 
 
Como Si = 2.Si, temos : 
 
Si = 180º - 2Si 
Si + 2Si = 180º 
3 Si = 180 
Si = 180/3 
Si = 60 graus. 
 Triângulo 
b) Quantos lados tem o polígono regular cujo ângulo 
interno mede 150°? 
Si = (n-2).180/n 
 
11º) 
 
a) 
 
ae = 15° 
 
numero de lados 
n = 360º/15º = 
 
24 lados 
 
 
c) D = 24 . (24 - 3) / 2 
 = 12 . 21 
 = 252 
 
 
º165
24
3960
24
)22(180
24
)224(180
)2(180








i
i
i
i
i
S
S
S
S
n
n
S
b) 
12 - Determine o valor das medidas indicadas 
a = 180º – 120º 
a = 60º 
y = 180º - a 
y = 180º – 60º 
y = 120º 
 
a) 
º120
6
720
6
)4(180
6
)26(180
)2(180








x
S
S
S
n
n
S
i
i
i
i
b) 
 
 
a = 90° 
y = 135° 
x = 45° 
º135
8
1080
8
)6(180
8
)28(180
)2(180








y
S
S
S
n
n
S
i
i
i
i
C) 
D) 
Si = (n-2).180 
C) pentágono(5 lados) 
 
Si = (n-2).180 
Si = (5-2).180 
Si = 3.180 
Si = 540° 
 
 
x + 160+160+90+x-44= 540 
2x + 320+90 - 44 = 540 
2x + 410 - 44 = 540 
2x + 366 = 540 
2x = 540 - 366 
2x = 174 
x = 174/2 
x = 87° 
Ângulo: x – 44º 
= 87- 44 
= 43° 
y + (x-44)= 180 
y + 87-44 = 180 
y +43 = 180 
y = 180 - 43 
y = 137° 
90+a + 20 = 180 
110+a = 180 
a = 180-110 
a = 70° 
D) hexágono 
Si = (n-2).180 
Si = (6-2).180 
Si = 4.180 
Si = 720° 
(x+27)+148 + (2x+17) + (x+25) + (3x - 12) + (2x + 20) = 
720° 
x + 2x + x + 3x + 2x + 175+42+8= 720 
9x + 175+50 = 720 
9x + 225 = 720 
9x = 720 - 225 
9x = 495 
x = 495/9 
x = 55º 
2x + 20 + a = 180 
2.55 + 20 + a = 180 
110 + 20 + a = 180 
130 + a = 180 
a = 180 - 130 
a = 50° 
Y + x + 27 = 180 
y + 55 + 27 = 180 
y + 82 = 180 
y = 180 - 82 
y = 98°

Qual é o número de diagonais de um polígono regular de n lados?

Qual a fórmula para calcular as diagonais de um polígono?

Quantas diagonais possui um polígono regular?

Quantos lados tem esse polígono como se chama?