Qual e a relação existente entre as medidas dos lados e a área do retângulo?

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Então, você tem um dever de casa que pede que encontre a área de um quadrilátero... mas você sequer sabe o que de fato é um quadrilátero. Não se preocupe — a ajuda chegou! Um quadrilátero é qualquer forma que possui quatro lados — quadrados, retângulos e losangos são apenas alguns exemplos. Para descobrir a área de um quadrilátero, tudo o que você precisa fazer é identificar o tipo de quadrilátero com o qual está trabalhando e, então, seguir uma simples fórmula. Isso é tudo!

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   Saiba como identificar um paralelogramo. Um paralelogramo é toda forma de quatro lados que possui dois pares de lados paralelos, sendo que os lados opostos apresentam o mesmo comprimento. Paralelogramos incluem:

   • Quadrados: quatro lados, todos com a mesma medida. Quatro cantos, todos eles com ângulos de 90 graus (ângulos retos).
   • Retângulos: quatro lados, sendo que os opostos apresentam igual comprimento. Quatro cantos, todos com ângulos de 90 graus.
   • Losangos: quatro lados, sendo que os opostos apresentam igual comprimento. Quatro cantos — nenhum deles possui um ângulo de 90 graus, mas todos os opostos devem apresentar ângulos de igual medida.

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   Multiplique a base pela altura para obter a área de um retângulo. Para descobrir a área de um retângulo, são necessárias duas medidas: a largura, ou base (o lado mais comprido do retângulo), e o comprimento, ou altura (lado menor do retângulo). Então, basta multiplicá-los para obter a área. Em outras palavras:

   • Área = base × altura ou A = b × h (do inglês height).
   • Exemplo: se a base de um retângulo possui uma base de 10 centímetros e uma altura de 5 centímetros, a área do retângulo é igual a 10 × 5 (b × h) = 50 centímetros quadrados.
   • Não se esqueça: quando se está em busca da área de uma forma, é preciso usar unidades quadradas (centímetros quadrados, metros quadrados, quilômetros quadrados etc.) em sua resposta.

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   Multiplique um lado por ele mesmo para descobrir a área de um quadrado. Basicamente, quadrados são retângulos especiais, de modo que é possível usar a mesma fórmula para descobrir sua área. No entanto, uma vez que os lados de um quadrado apresentam todos a mesma medida, é possível usar o atalho de multiplicar um lado por ele mesmo. Realizar esse cálculo é igual à multiplicação da base do quadrado por sua altura, uma vez que ambas as medidas serão sempre as mesmas. Use a seguinte equação:[1]

   • Área = lado × lado, A = s2 (do inglês side) ou A = h2.
   • Exemplo: se um lado do quadrado apresentar o comprimento de 4 metros (s = 4), sua área será simplesmente igual a s2, ou 4 × 4 = 16 metros quadrados.

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   Multiplique as diagonais e divida o resultado por dois para encontrar a área de um losango. Tome cuidado nessa equação — quando você está tentando descobrir a área de um losango, não se pode simplesmente multiplicar dois lados adjacentes. Em vez disso, encontre as diagonais (as linhas que conectam cada conjunto de cantos opostos), multiplique-as e divida o resultado por dois. Em outras palavras:[2]

   • Área = (diagonal 1 × diagonal 2)/2 ou A = (d1 × d2)/2.
   • Exemplo: se um losango possui diagonais com comprimentos iguais a 6 e 8 metros, respectivamente, sua área será igual a (6 × 8)/2 = 48/2 = 24 metros quadrados.

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   Alternativamente, use a fórmula base × altura para descobrir a área de um losango. Tecnicamente, é também possível usar a fórmula base × altura para descobrir qual é a área de um losango . Aqui, no entanto, “base” e “altura” não significam que é possível simplesmente multiplicar dois lados adjacentes. Antes de tudo, escolha um lado e tome-o por base. A seguir, desenhe uma linha que vai da base até o lado oposto. Ela deve se encontrar com ambos os lados em um ângulo de 90 graus. O comprimento desse lado será a sua medida de altura.

   • Exemplo: um losango tem lados iguais a 10 e 5 quilômetros. A distância em linha reta que passa entre os lados de 10 quilômetros totaliza 3 quilômetros. Se você deseja encontrar a área do losango, basta multiplicar 10 × 3 = 30 quilômetros quadrados.

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   Esteja ciente de que as fórmulas para losangos e retângulos também funcionam em quadrados. A fórmula lado × lado dada acima para quadrados é, de fato, o modo mais conveniente de descobrir a área dessas formas. No entanto, uma vez que quadrados também são tecnicamente retângulos e losangos, é possível usar as fórmulas correspondentes a essas formas para os quadrados e obter uma resposta correta. Em outra palavras, para quadrados:

   • Área = base × altura ou A = b × h.
   • Área = (diagonal 1 × diagonal 2)/2 ou A = (d1 × d2)/2.
   • Exemplo: uma forma de quatro lados apresenta dois lados com comprimento igual a 4 metros. Você pode descobrir a área desse quadrado multiplicando sua base por sua altura: 4 × 4 = 16 metros quadrados.
   • Exemplo: as diagonais de um quadrado são ambas iguais a 10 centímetros. Você pode descobrir a área desse quadrado com a fórmula da diagonal: (10 × 10)/2 = 100/2 = 50 centímetros quadrados.

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   Saiba como identificar um trapézio. O trapézio é um quadrilátero com pelo menos dois lados paralelos um ao outro. Seus cantos podem apresentar qualquer tipo de ângulo. Cada um dos quatro lados de um trapézio podem apresentar um tamanho diferente.

   • Há duas formas diferentes de se descobrir a área de um trapézio, dependendo de quais informações estiverem disponíveis. Abaixo, você poderá conferir a ambas.

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   Descubra a altura do trapézio. A altura de um trapézio é representada pela linha perpendicular que conecta ambos os lados paralelos. Ela não terá o mesmo comprimento de qualquer dos lados, uma vez que eles geralmente estão projetados diagonalmente. Você precisará desse valor para ambas as equações de área. Aprenda aqui a encontrar a altura de um trapézio:[3]

   • Encontre a mais curta das duas linhas de base (lados paralelos). Posicione o seu lápis no canto entre a base e um dos lados não-paralelos. Desenhe uma linha reta que passe de uma linha à outra, com um ângulo reto. Tome a medida dessa linha para descobrir a altura.
   • Ocasionalmente, você pode também fazer uso da trigonometria para determinar a altura, quando a linha da altura, a base e o outro lado compõem um triângulo reto. Leia o nosso artigo de trigonometria para obter maiores informações.

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   Descubra a área do trapézio usando a altura e o comprimento das bases. Se você conhece a medida da altura do trapézio, bem como a de suas bases, use a seguinte equação:

   • Área = (base 1 + base 2)/2 × altura ou A = (b1 + b2)/2 × h.
   • Exemplo: se você tem um trapézio com uma base de 7 metros, outra base de 11 metros e uma altura igual a 2 metros, é possível descobrir sua área da seguinte maneira: (7 + 11)/2 × 2 = (18)/2 × 2 = 9 × 2 = 18 metros quadrados.
   • Se a altura for igual a 10 e as bases possuírem medidas iguais a 7 e 9, você pode encontrar a área do trapézio apenas fazendo o seguinte: (7 + 9)/2 × 10 = (16/2) × 10 = 8 × 10 = 80.

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   Multiplique o segmento médio por dois para descobrir a área de um trapézio. O segmento médio consiste em uma linha imaginária que corre paralela entre as linhas inferior e superior do trapézio, à mesma distância de ambos. Uma vez que o segmento médio é sempre igual a (base 1 + base 2)/2, se você conhecer seu valor, será possível usar um atalho para a fórmula do trapézio.

   • Área = segmento médio × altura ou A = m × h.
   • Essencialmente, trata-se do mesmo procedimento em usar a fórmula original, exceto pelo fato de que você está usando “m” no lugar de (b1 + b2)/2.
   • Exemplo: o segmento médio do trapézio no exemplo acima possui 9 metros de comprimento. Isso significa que podemos descobrir a área de um trapézio apenas multiplicando 9 × 2 = 18 metros quadrados, como fizemos anteriormente.

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   Saiba como identificar uma pipa. A pipa é uma espécie de losango de quatro lados, com dois pares de lados iguais adjacentes um ao outro, e não opostos um ao outro. Como o nome sugere, pipas se parecem às pipas da vida real.

   • Há duas formas diferentes de descobrir a área de uma pipa, dependendo de quais informações estiverem disponíveis. Abaixo, você aprenderá a usar ambas.

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   Use a fórmula da diagonal do losango para descobrir a área de uma pipa. Uma vez que o losango é apenas um tipo especial de pipa, no qual os lados possuem todos a mesma medida, é possível usar a fórmula de área do losango para descobrir a área de uma pipa. Como lembrete, diagonais são as linhas entre dois cantos opostos na pipa. Como no losango, a fórmula para a pipa é a seguinte:

   • Área = (diagonal 1 × diagonal 2)/2 ou A = (d1 × d2)/2.
   • Exemplo: se uma pipa apresenta diagonais com tamanho igual a 19 metros e 5 metros, sua área será igual a (19 × 5)/2 = 95/2 = 47,5 metros quadrados.
   • Se você não conhece os comprimentos das diagonais e não pode medi-las, é possível também usar a trigonometria para calculá-las. Leia a seção sobre trigonometria de nosso artigo para obter maiores informações.

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   Use os comprimentos dos lados e do ângulo entre eles para descobrir a área. Se você conhece os dois valores diferentes para os comprimentos dos lados e o ângulo presente no canto entre esses lados, é possível descobrir a área da pipa com princípios extraídos da trigonometria.[4] Esse método requer conhecimento prévio das funções de seno (ou, pelo menos, de uma calculadora com essa função). Leia o nosso artigo ou use a seguinte fórmula:

   • Área = (lado 1 × lado 2) × sen(ângulo) ou A = s1 × s2) × sen(θ) — onde θ é o ângulo entre os lados 1 e 2.
   • Exemplo: você tem uma pipa com dois lados de tamanho igual a 6 metros e dois de tamanho igual a 4 metros. O ângulo entre eles é aproximadamente igual a 120 graus. Nesse caso, você pode descobrir sua área do seguinte modo: (6 × 4) × sen(120) = 24 × 0,866 = 20,78 metros quadrados.
   • Observe que é preciso usar dois lados diferentes e o ângulo entre ambos — usar apenas o conjunto de lados com medidas iguais não funcionará.

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   Descubra o comprimento dos quatro lados. Talvez o seu quadrilátero não faça parte de nenhuma das categorias descritas anteriormente (se, por exemplo, ele tiver todos os lados com medidas diferentes e nenhum par de lados paralelos). Acredite ou não, há fórmulas que podem ser usadas para se descobrir a área de qualquer quadrilátero, independentemente à forma que ele apresenta. Nessa seção, você aprenderá a usar a mais comum delas. Note que essa fórmula requer algum conhecimento de trigonometria — leia o nosso guia para obter maiores informações.

   • Inicialmente, você deve descobrir o comprimento de cada um dos lados de seu quadrilátero. Para fins do presente artigo, daremos a eles os nomes a, b, c e d. Os lados a e c são opostos um ao outro, assim como os lados b e d.
   • Exemplo: Se você tem um quadrilátero de forma irregular que não entra em qualquer das categorias supracitadas, primeiramente meça seus quatro lados. Digamos que eles apresentem medidas iguais a 12, 9, 5 e 14 centímetros. Nos passos abaixo, você fará uso dessa informação para descobrir a área dessa forma.

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   Encontre os ângulos entre a e d e entre b e c. Quando você está trabalhando com um quadrilátero irregular, não se pode descobrir a área tendo apenas as medidas dos lados. Prossiga descobrindo dois dos ângulos opostos. Para solucionar essa seção, usaremos o ângulo A entre os lados a e d e o ângulo C entre os lados b e c. No entanto, você pode também realizar esse procedimento com os outros dois ângulos opostos.

   • Exemplo: digamos que, em seu quadrilátero, A é igual a 80 graus e que C é igual a 110 graus. No próximo passo, você usará esses valores para descobrir a área total.

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   Use a fórmula de área para triângulos a fim de descobrir a área do quadrilátero. Imagine que há uma linha reta que passa desde o canto entre a e b e até o canto entre c e d. Essa linha dividiria o quadrilátero em dois triângulos. Uma vez que a área de um triângulo é igual a ab × sen(C), onde C é o ângulo entre os lados a e b, você pode usar essa fórmula duas vezes (uma para cada um dos triângulos imaginários) para obter a área total do quadrilátero. Em outras palavras, para qualquer quadrilátero:

   • Área = 0,5 lado 1 × lado 4 × sen(ângulo entre os lados 1 e 4) + 0,5 × lado 2 × lado 3 × sen(ângulo entre os lados 2 e 3) ou
   • Área = 0,5 a × d × sen(A) + 0,5 × b × c × sen(C).
   • Exemplo: você já possui os lados e ângulos necessários. Resolvamos o problema:
     • = 0,5 (12 × 14) × sen(80) + 0,5 × (9 × 5) × sen(110)
     • = 84 × sen(80) + 22,5 × sen(110)
     • = 84 × 0,984 + 22,5 × 0,939
     • = 82,66 + 21,13 = 103,79 centímetros quadrados.
   • Observe que, se você deseja encontrar a área de um paralelogramo no qual os ângulos opostos são iguais, a equação é reduzida para Área = 0,5 × (ad + bc) × sen(A).

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Dicas

• Essa calculadora trigonométrica pode ser útil ao se realizar os cálculos do passo “Solucionando qualquer quadrilátero” acima.[5]
• Para maiores informações, leia os nossos artigos específicos: Como Achar a Área de um Quadrado, Como Calcular a Área de um Retângulo, Como Calcular a Área de um Losango, Como Calcular a Área de um Trapezoide e Como Encontrar a Área de uma Pipa.

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Sobre este guia wikiHow

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Qual e a relação entre as medidas dos lados e a área desses quadrados?

Qual a relação existente entre o lado e o perímetro entre o lado e a área?

Qual a relação da medida do perímetro dos retângulos que tem áreas de mesmas medidas?

Qual e a relação entre as medidas dos lados e entre as medidas dos ângulos desses quadrilátero?