Qual é o polígono que tem o número de diagonais é igual ao número de lados?

Um polígono é uma figura geométrica formada por segmentos de reta ligados um ao outro pelo seu ponto inicial e final. Para ser polígono, a figura deve ser fechada e os segmentos de reta que a compõem não podem se cruzar.

São elementos pertencentes ao polígono:

1 – Segmentos de reta chamados de lados. Na figura, eles são AB, BC, … e HA;

2 – Pontos de encontro entre esses lados, isto é, os vértices. Na figura, são os pontos A, B, … e H;

3 – Ângulos internos do polígono. Na figura, é o ângulo de 135°;

4 – Ângulos externos do polígono. Na figura, é o ângulo de 45°;

5 – Diagonais. Na figura, são os segmentos pontilhados.

A figura acima mostra que, partindo do vértice F, podem ser construídas cinco diagonais. Não podem ser construídas mais que cinco porque a diagonal é um segmento de reta que se inicia em um vértice de um polígono e termina em outro vértice não consecutivo ao vértice inicial do mesmo polígono.

Dessa forma, para desenhar todas as diagonais de um polígono, basta ligar todos os seus vértices. Aqueles que já são lados não podem ser considerados diagonais. A figura seguinte mostra pontilhadas todas as diagonais de um octógono.

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Para saber quantas diagonais determinado polígono possui, podemos desenhá-las e contá-las ou apenas utilizar a fórmula para calcular o número de diagonais de um polígono:

D = n(n – 3)
      2

*n é o número de lados do polígono.

Vamos testar a funcionalidade dessa fórmula. Vejamos o número de diagonais do quadrado:

Um quadrilátero possui apenas duas diagonais. Vamos utilizar a fórmula para verificar essa informação:

D = 4(4 – 3)
      2

D = 4·1
      2

D = 2

Vejamos para o pentágono:

Um pentágono possui cinco diagonais. Vejamos se a fórmula resulta nesse mesmo número:

D = 5(5 – 3)
      2

D = 5·2
      2

D = 10
      2

D = 5

Vale ressaltar que desenhar um polígono que possui 25 lados não é tarefa fácil e desenhar suas 275 diagonais é uma tarefa mais difícil ainda. A contagem dessas diagonais pode ser muito confusa, mas o cálculo é exato e não oferece margem de erro.

D = 25(25 – 3)
      2

D = 25·22
     2

D = 25·11

D = 275

Hexágono é um polígono de seis lados e seis vértices, por isso, possui seis ângulos. O hexágono é uma figura plana, possui duas dimensões, formadas por uma linha poligonal fechada e simples, que não se cruza.

Os seis lados do hexágono são segmentos de reta, unidos em sequência pelos vértices que delimitam uma região interna.

O hexágono aparece em muitas formações na natureza, como em colmeias, cristais de gelo ou mesmo na química orgânica em estruturas de carbonos e outros átomos.

Na arquitetura e engenharia os hexágonos são utilizados como elementos estruturais, decorativos, nos parafusos e chaves, para pavimentar vias e outras utilidades.

A palavra hexágono tem origem na língua grega, em que héx se refere ao número seis e, gonía, se refere a ângulo. Portanto, uma figura com seis ângulos.

Elementos dos Hexágonos

A, B, C, D, E e F são os vértices do hexágono.
Os segmentos são os lados do hexágono.
são os ângulos internos.
são os ângulos externos.
d são as diagonais.

Tipos de Hexágonos

Os hexágonos estão classificados em regulares e irregulares, convexos e não convexos, conforme as medidas de seus lados e ângulos.

Hexágonos Irregulares

Os hexágonos irregulares possuem lados e ângulos com medidas diferentes. Eles se dividem em dois grupos: os convexos e os não convexos.

Irregulares Convexos

Nos hexágonos convexos as diagonais possuem todos seus pontos na área do polígono e nenhum ângulo é maior que 180°.

Irregulares Não Convexos

Nos hexágonos não convexos, há diagonais que possuem pontos fora da área do polígono e, possuem ângulos maiores que 180°.

Hexágonos regulares

Os hexágonos regulares possuem os seis lados e ângulos de mesma medida, por isso são equiláteros e equiângulos.

Todos os hexágonos regulares são convexos, pois nenhuma diagonal passa por fora do polígono.

Um hexágono regular é uma composição de seis triângulos equiláteros.

Triângulos equiláteros são os que possuem os três lados e ângulos com a mesma medida.

Área do hexágono regular

A área do hexágono é calculada pela fórmula:

Sendo L a medida do lado do hexágono, a área depende apenas de L.

Leia mais em área do hexágono.

Perímetro do hexágono regular

O perímetro do hexágono é a medida do lado multiplicada por seis.

Apótema do hexágono

O Apótema do hexágono é um segmento de reta que liga o ponto médio de um lado até o ponto central do hexágono.

O apótema do hexágono regular é calculado por:

Ângulos internos dos hexágonos regulares

A medida dos ângulos internos de um hexágono regular é 120°.

A soma dos seus ângulos internos é 720°.

120° x 6 = 720°

Ângulos externos dos hexágonos regulares

A medida dos ângulos externos de um hexágono regular é 60°.

A fórmula da medida dos ângulos externos de um polígono regular é:

Onde é a medida dos ângulos externos e n é o número de lados.

Sendo n=6 nos hexágonos, temos:

Outro modo de conhecer a medida dos ângulos externos é através do par de ângulos interno e externo, pois somam 180°, sendo suplementares.

Como o ângulo interno é de 120°, basta fazer a subtração para determinar quantos graus faltam para 180°.

180° - 120° = 60°

Número de diagonais

O hexágono possui 9 diagonais.

Há duas maneiras de determinar o número de diagonais:

1ª maneira - contando.

2ª maneira - através da fórmula para diagonais de um polígono.

Em que n é o número de lados do polígono. Sendo n=6 no hexágono, temos:

Hexágono inscrito em uma circunferência

Um hexágono inscrito em uma circunferência está dentro da circunferência e, seus vértices estão sobre a circunferência.
Como o triângulo AOB da figura é equilátero, as medidas do raio da circunferência e do lado do hexágono, são iguais.

Hexágono circunscrito a uma circunferência

Um hexágono está circunscrito a uma circunferência quando a circunferência está dentro do hexágono.

A circunferência tangencia os lados do hexágono.

O raio da circunferência é igual ao apótema do hexágono. Substituindo, temos:

Então

Ladrilhamento

O ladrilhamento ou tesselação é a prática de cobrir uma superfície com formas geométricas.

Os hexágonos regulares estão entre os poucos polígonos que preenchem totalmente uma superfície.

Para que um polígono regular possa ladrilhar, ou seja, preencher uma superfície sem deixar falhas, a seguinte condição geométrica deve ser satisfeita:

Os ângulos internos de um hexágono regular, medem 120°. No ladrilhamento de hexágonos, percebemos que três hexágonos se encontram em um vértice. Desse modo, temos:

120° + 120° + 120° = 360°

Exercício 1

(Enem 2021) Um estudante, morador da cidade de Contagem, ouviu dizer que nessa cidade existem ruas que formam um hexágono regular. Ao pesquisar em um sítio de mapas, verificou que o fato é verídico, como mostra a figura.

a) 1.
b) 4.
c) 6.
d) 20.
e) 24.

Ver Resposta

Resposta correta: c) 6.

O perímetro do hexágono é:

P = 6.L
Como o lado mede 5 cm, temos P = 6.5 = 30 cm

De acordo com a escala, cada 1 cm no mapa equivalem a 20 000 cm na medida real.

Como o percurso será de 30 cm, temos:

30 x 20 000 = 600 000 cm

para transformar em Km, dividimos por 100 000.

600 000 / 100 000 = 6

Portanto, o estudante percorrerá 6 km.

Exercício 2

(EEAR 2013) Sejam um hexágono regular e um triângulo equilátero, ambos de lado l . A razão entre os apótemas do hexágono e do triângulo é

a) 4.
b) 3.
c) 2.
d) 1.

Ver Resposta

Resposta correta: b) 3.

O apótema do hexágono é:

O apótema do triângulo é:

A razão entre os apótemas do hexágono e do triângulo é:

A razão é igual a 3.

Exercício 3

(CBM-PR 2010) Considere uma placa de trânsito na forma de um hexágono regular com lados de l centímetros. Sabe-se que um hexágono regular de lados l é formado por seis triângulos equiláteros de lados l . Como a leitura desta sinalização (placa) depende da área A da placa, temos que A, em função do comprimento l, é dada por:

a)

b)

c)

d)

e)

Ver Resposta

Resposta correta: b)

A área de um triângulo equilátero é igual a

No caso do hexágono a base é igual o lado, por isso vamos substituir b por L.
A altura do triângulo, é igual ao apótema do hexágono e pode ser determinado pelo teorema de Pitágoras.

Voltando a fórmula do triângulo.

Como a área do hexágono é igual a seis triângulos, multiplicamos a área que calculamos por seis.

Como a medida da placa está em centímetros, a área será medida em cm².

Desta forma, temos:

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Professor de Matemática licenciado e pós-graduado em Ensino da Matemática e Física (Fundamental II e Médio), com formação em Magistério (Fundamental I). Engenheiro Mecânico pela UERJ, produtor e revisor de conteúdos educacionais.

Qual é o polígono que o número de lados é igual ao número de diagonais?

Qual é o polígono que tem o número de diagonais?

Qual o polígono que possui o número de lados?