Qual a expressão que representa o resultado da multiplicação 7 - 5 raíz de 3 x 2 menos 8 raiz de 3

O símbolo de radical (√) representa a raiz quadrada de um número. Esse símbolo pode ser encontrado em álgebra, carpintaria ou até mesmo em alguma conta que envolva geometria ou cálculo de tamanhos ou distâncias relativas. É possível multiplicar dois radicais de índices (graus de uma raiz) iguais. Caso eles não tenham os mesmos índices, você pode manipular a equação para tornar isso possível. Continue lento para aprender como multiplicar radicais com ou sem coeficientes.

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   Verifique se o radical tem o mesmo índice. Isso é necessário para multiplica-los usando o método básico. O "índice" é o número pequeno escrito à esquerda da linha mais alta no símbolo de radical. Caso não haja nenhum número, trata-se de uma raiz quadrada (índice 2), e ela pode ser multiplicada por outras raízes quadradas. É possível multiplicar radicais com índices diferentes, mas será preciso um método mais avançado (confira mais adiante). Veja dois exemplos de multiplicação usando radicais com os mesmos índices:

   • Ex. 1: √(18) x √(2) = ?
   • Ex. 2: √(10) x √(5) = ?
   • Ex. 3: 3√(3) x 3√(9) = ?

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   Multiplique os números abaixo do sinal de radical. Basta multiplicar os números abaixo do sinal do radical ou raiz quadrada e mantê-lo lá. Veja como fazê-lo:

   • Ex. 1: √(18) x √(2) = √(36)
   • Ex. 2: √(10) x √(5) = √(50)
   • Ex. 3: 3√(3) x 3√(9) = 3√(27)

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   Simplifique as expressões com radical. Ao multiplicar radicais, há uma grande chance de você poder simplificá-los para quadrados ou cubos perfeitos, ou poder simplificá-los encontrando o quadrado perfeito como fator do produto final. Veja como fazê-lo:

   • Ex. 1: √(36) = 6. O número 36 é um quadrado perfeito, pois ele é produto da multiplicação 6 x 6. A raiz quadrada de 36 é 6.
   • Ex. 2: √(50) = √(25 x 2) = √([5 x 5] x 2) = 5√(2). Embora o número 50 não seja um quadrado perfeito, 25 é fator de 50 (pois pode dividi-lo igualmente), e também é um quadrado perfeito. Você pode simplificar 25 em seus fatores, 5 x 5, e mover um número 5 para fora do sinal de raiz quadrada para simplificar a expressão.
     • Pense nisso da seguinte forma: Ao colocar o 5 de volta sob o radical, ele é multiplicado por ele mesmo, resultando novamente no número 25.
   • Ex. 3:3√(27) = 3. O número 27 é um cubo perfeito, pois ele é produto da multiplicação 3 x 3 x 3. Portanto, a raiz cúbica de 27 é 3.

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   Multiplique os coeficientes. O coeficiente é o número do lado de fora do radical. Caso não haja nenhum número, entende-se que o coeficiente é o número 1. Multiplique os coeficientes. Veja como fazê-lo:

   • Ex. 1: 3√(2) x √(10) = 3√( ? )
   • Ex. 2: 4√(3) x 3√(6) = 12√( ? )

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   Multiplique os números dentro dos radicais. Após multiplicar os coeficientes, multiplique os números dentro dos radicais. Veja como fazê-lo:

   • Ex. 1: 3√(2) x √(10) = 3√(2 x 10) = 3√(20)
   • Ex. 2: 4√(3) x 3√(6) = 12√(3 x 6) = 12√(18)

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   Simplifique o produto. Em seguida, simplifique os números abaixo dos radicais procurando pelos quadrados perfeitos os multiplicando os números que forem quadrados perfeitos. Ao simplificar esses termos, basta multiplicá-los pelos seus coeficientes correspondentes. Veja como fazê-lo:

   • 3√(20) = 3√(4 x 5) = 3√([2 x 2] x 5) = (3 x 2)√(5) = 6√(5)
   • 12√(18) = 12√(9 x 2) = 12√(3 x 3 x 2) = (12 x 3)√(2) = 36√(2)

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   Encontre o MMC (mínimo múltiplo comum) dos índices. Para fazê-lo, encontre o menor número que seja igualmente divisível por ambos os índices. Encontre o MMC dos índices da seguinte equação:3√(5) x 2√(2) = ?

   • Os índices são os números 3 e 2. O 6 é o MMC desses dois números porque ele é o menor número que pode ser igualmente divisível por 3 e 2. 6/3 = 2 e 6/2 = 3. Para multiplicar os radicais, ambos os índices devem ser 6.

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   Escreva cada expressão com o novo MMC como índice. Veja como a expressão vai ficar com os novos índices:

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   Encontre o número que seria necessário para multiplicar cada índice original para calcular o MMC. Para a expressão 3√(5), é preciso multiplicar o índice de 3 por 2 para obter 6. Para a expressão 2√(2), é preciso multiplicar o índice de 2 por 3 para obter 6.

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   Torne esse número o exponente do número dentro do radical. Para a primeira equação, torne o número 2 a equação sobre o número 5. Para a segunda equação, torne o número 3 a equação sobre o número 2. Veja como as equações devem ficar:

   • 2 --> 6√(5) = 6√(5)2
   • 3 --> 6√(2) = 6√(2)3

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   Multiplique os números dentro dos radicais por seus exponentes. Veja como fazê-lo:

   • 6√(5)2 = 6√(5 x 5) = 6√25
   • 6√(2)3 = 6√(2 x 2 x 2) = 6√8

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   Coloque esses números sobre um radical. Coloque-os sobre um radical e conecte-os com um sinal de multiplicação. Veja como vai ficar o resultado: 6√(8 x 25)

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   Multiplique-os. 6√(8 x 25) = 6√(200). Essa é a resposta final. Em alguns casos, pode ser possível simplificar essas expressões. Por exemplo, você pode simplificar essa expressão caso encontre um número que possa ser multiplicado seis vezes por si mesmo e que seja fator de 200. No entanto, nesse caso a expressão não pode ser simplificada mais do que isso.

• Se um "coeficiente" estiver separado do sinal de radical por um sinal de adição ou subtração, então ele não é um coeficiente; trata-se de um termo separado que deve ser lidado separadamente do radical. Se um radical e outro termo estiverem cercados pelos mesmos parênteses - por exemplo, (2 + √5) -, você deve tratá-los de forma separada ao realizar as operações dentro dos parênteses, mas ao realizar as operações fora dos parênteses, é preciso tratar (2 + √5) como um uma unidade inteira.
• Um sinal de radical é uma outra forma de identificar um exponente fracionário. Em outras palavras, a raiz quadrada de qualquer número é o mesmo que esse número elevado à potência 1/2; a raiz cúbica de qualquer número é o mesmo que esse número elevado à potência 1/3; e assim por diante.
• Um "coeficiente" é o número, quando existente, posicionado diretamente em frente ao sinal de radical. Por exemplo, na expressão (2 + √5), o número 5 está abaixo do sinal de radical, e o número 2, que se encontra fora do radical, é o coeficiente. Quando um radical e um coeficiente são colocados juntos, entende-se que é o mesmo que multiplicar o radical pelo coeficiente, ou, continuando o exemplo anterior, 2 * √5.

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Categorias: Matemática

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A radiciação é a operação matemática inversa da potenciação, assim como a divisão é a operação inversa da multiplicação. Essa operação é representada pelo símbolo √, conhecido como radical, e a raiz de um número é representada por \(\sqrt[n]{a}\ =\ b\). Assim, podemos calcular a raiz enésima de um número utilizando o seguinte raciocínio: a raiz enésima de a é o número que elevado a n é igual a a. Além disso, a radiciação possui propriedades importantes que auxiliam na resolução de problemas envolvendo-a.  

Leia também: Potenciação e radiciação de frações

Videoaula sobre radiciação

Como representar a radiciação?

Para representar uma operação de radiciação, utilizamos o símbolo √, conhecido como radical. Então, a raiz de um número é representada por:

\(\sqrt[n]{a}\ =\ b\)

Essa sentença é lida como “raiz enésima de a é igual a b”. Cada um dos elementos recebe nome específico. São eles:

• √: radical.

• n: índice.

• a: radicando.

• b: raiz.

Observação: Quando o índice é igual a 2, não é necessário que o algarismo 2 conste. Ou seja:

\(\sqrt[2]{a}=\sqrt a\)

A radiciação e a potenciação são conhecidas como operações inversas. Assim, para calcular a radiciação, é fundamental saber resolver potenciações. Quando representamos a raiz enésima de a, encontramos como resposta o número b. Para que b seja raiz n de a, temos que:

\(\sqrt[n]{a}=b\rightarrow b^n=a\)

Logo, estamos procurando qual é o número b que elevado ao índice n é igual ao radicando a.

Exemplo 1:

\(\sqrt[2]{25}=5\rightarrow5^2=25\)

Exemplo 2:

\(\sqrt[3]{8}=2\rightarrow2^3=8\)

Exemplo 3:

\(\sqrt[5]{1024}=4\rightarrow4^5=1024\)

Propriedades da radiciação

As propriedades das operações matemáticas são ferramentas que auxiliam na resolução e na simplificação de problemas envolvendo uma operação, e com a radiciação não é diferente. É útil, portanto, dominar algumas propriedades da radiciação.

→ A raiz enésima de a elevado a n é igual ao próprio a

Se queremos calcular a raiz enésima de um número a elevado a n, ou seja, quando o expoente do número é igual ao índice da raiz, a raiz é o próprio número a.

\(\sqrt[n]{a^n}=a\)

→ A raiz do produto é igual ao produto das raízes

Quando o radicando é a multiplicação entre dois números, a raiz do produto é igual ao produto das raízes.

\(\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}\)

→ A raiz do quociente é igual ao quociente das raízes

Essa propriedade é equivalente à anterior, porém para o caso de divisão. Quando há uma divisão entre dois números no radicando, a raiz do quociente é igual ao quociente das raízes.

\(\sqrt[n]{a∶b}=\sqrt[n]{a}∶\sqrt[n]{b}\)

Além disso, essa propriedade é válida para frações, já que a fração é uma divisão.

\(\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\)

→ Multiplicação e divisão do índice com o expoente

Podemos multiplicar ou dividir o radical e o expoente do radicando por um mesmo número.

\(\sqrt[n]{a^m}=\sqrt[n\cdot b]{a^{m\cdot b}}\)

\(\sqrt[n]{a^m}=\sqrt[n:b]{a^{m:b}}\)

→ Raiz de uma raiz

Para resolver a raiz de uma raiz, podemos multiplicar os índices dessas raízes.

\(\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n\cdot m]{a}\)

→ Potência de uma raiz

Quando há uma potenciação com a raiz, temos que:

\(\left(\sqrt[n]{a}\right)^b=\sqrt[n]{a^b}\)

→ Transformação de uma radiciação em uma potenciação

Podemos reescrever a radiciação de um número como uma potenciação.

\(\sqrt[n]{a^m}=a^\frac{m}{n}\)

Confira nossa videoaula: Propriedades de potência

Simplificação de radicais

Quando a raiz não é um número exato, é possível simplificar o radical, ou seja, escrever o radical da forma mais simples possível. Para fazer a simplificação, é necessário fatorar esse número e utilizar as propriedades da radiciação apresentadas anteriormente para representar a radiciação da forma mais simples possível.

Exemplo:

Simplifique \(\sqrt{392}\):

Resolução:

Primeiramente, é necessário realizar a fatoração de 392:

Como queremos calcular a raiz quadrada, agruparemos, quando possível, os números como potência de 2:

392 = \(2^2\cdot2\cdot7^2\)

Assim, temos que:

\(\sqrt{392}=\sqrt{2^2\cdot2\cdot7^2}\)

Utilizando as propriedades da radiciação, sabemos que a raiz do produto é igual ao produto das raízes:

\(\sqrt{392}=\sqrt{2^2}\cdot\sqrt2\cdot\sqrt{7^2}\)

Vale ressaltar que quando o índice não aparece, o seu valor é 2. E quando o índice e o expoente do radicando são os mesmos, a raiz é igual ao radicando. Ou seja:

\(\sqrt{392}=2\cdot\sqrt2\cdot7\)

Então, temos que:

\(\sqrt{392}=14\sqrt2\)

Logo, \(14\sqrt2\) é a forma simplificada da \(\sqrt{392}\).

Operações com radicais

→ Adição e subtração

Quando o radical é o mesmo, para somar ou subtrair a raiz, conservamos o radical e somamos os coeficientes.

Exemplo:

\(4\sqrt2+3\sqrt2=7\sqrt2\)

Quando o radical é diferente, não é possível realizar a operação. Dessa forma, é necessário obter um valor aproximado ou exato para a raiz antes de fazer o cálculo.

Exemplo:

\(5\sqrt3-2\sqrt2\)

\(5\cdot1,7-2\cdot1,4\)

\(8,5-2,8\)

\(5,7\)

→ Multiplicação e divisão

Quando o índice é o mesmo, podemos realizar a multiplicação ou a divisão e conservar o radical.

Exemplo:

\(\sqrt[3]{5}\cdot\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{2\cdot5}=\sqrt[3]{10}\)

Quando o índice é diferente, de início igualamos os índices e depois realizamos a multiplicação/divisão e conservamos o radical.

Exemplo:

\(\sqrt[3]{16}∶\sqrt[2]{2}\)

 Para igualar os índices, temos que:

\(\sqrt[3\cdot2]{{16}^2\ }:\sqrt[2\cdot3]{2^3}\)

\(\sqrt[6]{{16}^2∶2^3}\)

\(\sqrt[6]{256∶8}\)

\(\sqrt[6]{32}\)

Exercícios resolvidos sobre radiciação

Questão 1

(Fauel) O número \(\sqrt[3]{2160}\) pode ser escrito na forma simplificada. Assinale a alternativa que apresenta o número simplificado.

A) 50

B) \( 6\sqrt[3]{10}\)

C) \( 10\sqrt[3]{6}\)

D) 720

Resolução:

Alternativa B

Fazendo a fatoração:

Como queremos a raiz cúbica, agruparemos de 3 em 3:

2160 = \(2^3\cdot2\cdot3^3\cdot5\)

Logo:

\(\sqrt[3]{2160}=\sqrt[3]{2^3\cdot2\cdot3^3\cdot5}\)

\(\sqrt[3]{2160}=2\cdot3\sqrt[3]{2\cdot5}\)

\(\sqrt[3]{2160}=6\sqrt[3]{10}\)

Questão 2

Qual é a raiz cúbica de 4.096?

A) 26

B) 24

C) 16

D) 14

Resolução:

Alternativa C

Para encontrar a raiz cúbica de 4.096, devemos fatorar esse número:

Como nós queremos a raiz cúbica, agruparemos de 3 em 3. Assim, obtemos 4096 = \(2^3\cdot2^3\cdot2^3\cdot2^3\).

Portanto:

\(\sqrt[3]{4096}=\sqrt[3]{2^3\cdot2^3\cdot2^3\cdot2^3}\)

\(\sqrt[3]{4096}=2\cdot2\cdot2\cdot2\)

\(\sqrt[3]{4096}=16\)