Qual e o valor da função quando x e igual a 2

O domínio, o contradomínio e a imagem de uma função são conjuntos importantes para definirmos o que é função e compreendermos melhor o seu comportamento. Uma função é uma relação entre dois conjuntos domínio e contradomínio em que, para cada elemento do domínio, existirá um único correspondente no contradomínio, esse correspondente é conhecido como imagem.

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Contradomínio
Exercícios resolvidos
Quando uma função admite inversa?
Como se determina a lei de formação da função inversa?
Gráfico da função inversa
Exercícios resolvidos

Por exemplo, se a função pega elementos do domínio e relaciona-os com o dobro deles no contradomínio, 2 estará relacionado com 4, logo, a imagem da função para 2 é igual a 4. Ao juntarmos todas as imagens, formamos o conjunto das imagens, que são todos os elementos do contradomínio correspondentes a algum elemento do domínio.

Leia também: Plano cartesiano – plano em que as funções são representadas graficamente

Função

Para entender o que são domínio, contradomínio e imagem, precisamos definir o que é função.

Conhecemos como função uma relação entre dois conjuntos A e B, em que, para todo elemento do conjunto A, existe um único correspondente no conjunto B. Perceba que na função os valores do conjunto A, conhecido como domínio, são relacionados aos seus correspondentes no conjunto B, conhecido como contradomínio, dependendo do comportamento dessa função, o que conhecemos como lei de formação.

Exemplos:

Trata-se de uma função, pois satisfaz a definição, todo elemento de A possui um único correspondente em B.

Não se trata de uma função, pois há elementos no domínio que não possuem correspondente em B, o que contradiz a definição.

Também não é uma função, pois há elementos do conjunto A que possuem dois correspondentes no conjunto B, o que contradiz a definição.

É uma função, pois, satisfaz a definição, perceba que todos os elementos do conjunto A possuem um único correspondente no conjunto B.

Note que existe um elemento do conjunto B que não é correspondente a nenhum elemento em A, e também um elemento em B que é correspondente a dois elementos de A, o que pode induzir a pensar que essa relação não é uma função, mas as restrições são válidas para o conjunto A, pois todo elemento do conjunto A deve possuir um único correspondente no conjunto B, então se existir um elemento do conjunto B que é correspondente de dois elementos no conjunto A, ou se esse elemento não for correspondente a nenhum elemento do conjunto A ainda sim a relação pode ser uma função.

Dada uma função qualquer, o domínio é formado pelos valores que o x pode assumir. Na maioria das vezes, trabalhamos a função que vai de R em R, ou seja, o domínio é o conjunto dos números reais e o contradomínio também, entretanto, pode ser que haja algumas restrições para o domínio.

Exemplo 1:

Vamos começar com um exemplo mais simples, essa função f(x) = 2x f: A → B, A = {1, 2, 3, 4, 5} e B ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.

Nesse caso o domínio da função D(f): {1, 2, 3, 4, 5}.

Agora, analisando a lei de formação e pensando em uma função R → R, eliminaremos as possíveis restrições do domínio, por exemplo, se a função possuir a lei de formação:

Note que o x não pode ser igual a 0, já que isso causaria uma indeterminação, pois não é possível dividir 1 por 0. Nesse caso o domínio da minha função não pode ser 0, então o D(f) = R* (conjunto dos números reais não nulos).

Outro exemplo bastante comum são funções com radical. Quando trabalhamos com raiz quadrada, os valores que estão dentro da raiz não podem ser negativos, pois estamos trabalhando com números reais, e, no conjunto dos números reais, não existe raiz quadrada para números negativos, o que justifica a criação posteriormente do conjunto dos números complexos. Vamos analisar um exemplo de função com radical e determinar seu domínio.

Exemplo 2:

Note que, nesse caso, x – 10 precisa ser maior ou igual a zero já que não existe raiz quadrada de números negativos no conjunto dos números reais:

Veja também: Determinando o domínio de uma função

Contradomínio

Como vimos, o contradomínio de uma função f: A → B é o conjunto B. O contradomínio que mais trabalhamos é o conjunto dos números reais. É importante lembrarmo-nos de que no domínio todo elemento tem que ter necessariamente um correspondente no contradomínio, porém não há uma restrição para o contradomínio, logo, o conjunto pode ter elementos que não sejam correspondentes de ninguém no domínio, um exemplo seria a função f(x) = x² com f: R → R.

Note que por mais que nessa função a imagem nunca seja negativa, ou seja, para todo valor de x, x² é sempre um número positivo, ainda sim o contradomínio pode ser os números reais. Ter um resultado sempre positivo faz com que a imagem seja sempre um número positivo, o que não altera o contradomínio.

Imagem

O conjunto imagem da função é um subconjunto do contradomínio formado por todos os elementos correspondentes de algum elemento do domínio.

Exemplo 1:

Encontre a imagem da função f(x) = x² f: R → R:

f(1) = 1² = 1, a imagem da função quando x é igual a 1 é 1.

f(2) = 2² = 4, a imagem da função quando x é igual a 2 é 4.

Analisando a função de forma geral, para encontrarmos o conjunto imagem, sabemos que x² com x pertencente ao real sempre será um número positivo, logo, o conjunto imagem será:

Im(f) = R+ (conjunto dos números reais positivos).

Exemplo 2:

Seja f = 2x – 1 f: A → B em que A = {0, 1, 2, 3} e B = {-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, qual será o conjunto imagem?

Nesse caso, o conjunto imagem será formado pela imagem de cada um dos elementos do conjunto A.

f(0) = 2 · 0 – 1 = 0 – 1 = -1

f(1) = 2 · 1 – 1 = 2 – 1 = 1

f(2) = 2 · 2 – 1 = 4 – 1 = 3

f(3) = 2 · 3 – 1 = 6 – 1 = 5

É necessário que todos esses elementos estejam no conjunto B, caso contrário, f: A → B não seria uma função. Como todos os elementos pertencem ao conjunto B, o conjunto imagem da função será:

Im(f) = {-1, 1, 3, 5}

Leia mais: Funções injetoras – elementos distintos do domínio possuem imagens distintas no contradomínio

A função é uma relação entre dois conjuntos.

Exercícios resolvidos

Questão 1 - Dada a função f(x) = -x² f: R → R, podemos afirmar que o conjunto imagem dessa função é:

a) todos os números reais

b) todos os números reais iguais a zero ou positivos

c) todos os números reais não nulos

d) todos os números reais iguais a zero ou negativos

e) todos os números inteiros

Resolução

Alternativa D

Sabemos que todo número elevado a 2 é positivo. Como há o sinal de – antes de x², para todo valor de x, a resposta será sempre um número negativo ou igual a zero, por exemplo:

f(1) = -1² = -1

f(-2) = - (-2)² = -4

f(0) = 0

Então Im(f) = R, conjunto dos números reais não positivos, ou seja, negativos ou nulos.

Questão 2 - Uma função é conhecida como sobrejetora se o conjunto imagem for igual ao conjunto contradomínio. Analisando as funções a seguir, podemos afirmar que:

A = {-1, 0, 1, 2} e B = {0, 1, 2, 3}

I) f : A → B, f(x) = x + 1 com A = {-1, 0, 1, 2} e B = {0, 1, 2, 3}

II) g: B → A, g(x) = x com A = {-1, 0, 1} e B = {-1, 0, 1}

a) Somente I é sobrejetora.

b) Somente II é sobrejetora.

c) Nenhuma é sobrejetora.

d) Ambas são sobrejetoras.

Resolução:

Alternativa D

I) Sabendo que A = {-1, 0, 1, 2}, calcularemos f(-1), f(0), f(1) e f(2).

f(-1) = -1 + 1 = 0

f(0) = 0 + 1 = 1

f(1) = 1 + 1 = 2

f(2) = 2 + 1 = 3

Logo, Im(f) = {0, 1, 2, 3}, que é igual ao contradomínio CD, então a função I é sobrejetora.

II) Sabendo que A = {-1, 0, 1}, calcularemos g(-1), g(0) e g(1).

g(-1) = -1

g(0) = 0

g(1) = 1

Im(g) = {-1, 0, 1} = CD (g), então II é sobrejetora.

Conhecemos como função inversa aquela f(x)-1 que faz o oposto do que a função f(x) faz, de forma geral, seja f(x) uma função f: A→ B, em que f(a) = b, então, a função inversa f-1: B → A, tal que f(b) = a.

Nem toda função admite uma inversa, podemos encontrar a função inversa só quando a função for bijetora, ou seja, injetora e sobrejetora. Para encontrar a lei de formação da função inversa, precisamos realizar operações com a equação, para que seja possível que ela realize, de fato, o inverso da função.

Por exemplo, se a função f(x) faz com que os valores de x dobrem, ou seja, pegamos o valor de x e multiplicamos por 2, a função inversa fará o contrário, ou seja, com que o valor seja dividido por 2.

Leia também: 5 passos para construir o gráfico de uma função do 2º grau

Quando uma função admite inversa?

Representação gráfica de uma função e sua função inversa.

Quando falamos de função inversa, nem toda função é inversível, ou seja, nem sempre conseguimos encontrá-la. Para isso, a função precisa ser necessariamente bijetora, ou seja, injetora e sobrejetora ao mesmo tempo.

Uma função é sobrejetora quando o conjunto imagem for igual ao contradomínio, isso significa que para todo elemento b no contradomínio existe um elemento em a, tal que f(a) = b.

Para que uma função seja injetora, cada imagem possui um único correspondente associado a ela no contradomínio.

Exemplo de funções injetoras e sobrejetoras, com domínio e contradomínio nos números reais:

Um exemplo de função que não é injetora é a função com domínio e contradomínio nos reais, com lei de formação f(x) = x², pois f(2) = 4 e f(-2) = 4, logo, para valores diferentes de x, tem-se a mesma imagem y, o que faz com que essa função definida para esse domínio e contradomínio não admita função inversa.

A função f(x) = x² também não é sobrejetora, pois, como definimos o contradomínio sendo o conjunto dos números reais, não existe valor de x que faça com que f(x) = -2 nesse conjunto.

Para determinar a função inversa, precisamos compreender bem o domínio e o contradomínio da função que estamos trabalhando.

Seja f(x) uma função, f: A → B, em que A = {a, b, c, d} e B = {e, f, g, h}, tal que:

Primeiro vamos verificar se a função é injetora e sobrejetora.
Para que ela seja injetora, para cada elemento de B, deve existir um único elemento de A associado, o que ocorre nesse caso. Além disso, para que ela seja sobrejetora, todos os elementos de B devem possuir correspondente em A, o que também ocorre nesse caso, então f é bijetora, logo, ela admite inversa.

Dados os conjuntos A e B já conhecidos, então a inversa de f será a função f-1 : B → A.

Veja também: O que é uma função constante?

Como se determina a lei de formação da função inversa?

Muitas vezes o interesse maior está na lei de formação da função. Para determinar essa lei, torna-se necessário o estudo de equações, pois vamos inverter as incógnitas na lei de formação da função, faremos a inversão de x por y e de y por x, ou então de x por f(x) e de f(x) por x. Veja alguns exemplos a seguir.

Exemplo 1:

f(x) = 2x – 6

f: R → R

Faremos f(x) = x e x = f(x), então temos que

x = 2 f(x) – 6

É necessário isolar o f(x), então temos que:

Exemplo 2:

y = 3x

Trocando x por y:

x = 3y

Aplicando logaritmo de base 3 dos dois lados:

log3 x = log33y
log3 x = ylog33
log3 x = y · 1
log3 x = y
y = log3 x