Comparação de dois números racionais

Você se lembra de como são expressos os números decimais? Não? Relembre o assunto lendo o artigo Números Decimais. Desde o início de nossas vidas aprendemos a lidar com os números, a princípio para mostrarmos a nossa idade, e depois passamos a compará-los, seja para falar quem é o mais velho da sala ou qual amiguinho é o mais alto. Comparar números inteiros é muito fácil, mas como deverá ser a comparação de números decimais? Fique tranquilo (a), também é muito fácil! Vejamos como deve ser feita essa comparação. A tabela a seguir mostra a quantidade de metros que cada aluno correu na maratona da escola.

Se perguntarmos qual aluno percorreu a maior distância, muitos responderão com grande facilidade que foi o aluno Miguel, mas qual foi o raciocínio usado para chegarmos a esta conclusão?

Algo que sabemos fazer muito bem é contar os números. No caso de Miguel, nós podemos perceber que nenhum dos outros alunos percorreu uma distância maior que a de 34 metros. Ou seja, o que você fez foi comparar as partes inteiras das distâncias de todos os alunos e notar que a parte inteira de Miguel é maior que a de todos os outros.

As partes inteiras deles são iguais, ambos percorreram 33 metros, mas como se trata de números decimais, temos mais informações para compararmos, portanto vamos conferir as casas decimais.

Quando for necessário comparar a parte decimal de um número, iremos à busca da casa decimal que diferencie um número do outro, para que assim a gente consiga saber qual número é maior e qual é menor.

Observe a distância destes dois alunos:

Observe que os valores dos dois alunos são iguais até a casa dos décimos, sendo diferentes nos centésimos. Com isso, compararemos qual dos dois valores para os centésimos é maior, e então encontraremos o maior valor.

Centésimos:

Escrevendo com a simbologia da matemática (33,15 > 33,109).

E quando os centésimos também forem iguais? Vamos comparar as distâncias do João e da Aline.

Neste caso temos que as partes inteiras, decimais e centesimais são iguais. Dessa forma, compararemos a casa dos milésimos.

Milésimos:

Então, a parte dos milésimos do João é maior que a da Aline, por isso que:

33,109 > 33,107.

Confira se você entendeu como comparar os números decimais! Escreva os valores das distâncias em ordem crescente!

Por Gabriel Alessandro de Oliveira
Graduado em Matemática

Comparar dois ou mais números racionais é muito simples, basta estabelecer uma relação de igualdade ou de desigualdade entre eles. Somente para relembrar, informamos que o conteúdo é matéria ensinada no 6º(antigo) e 7º(atual) ano do ensino fundamental e que os números racionais são aqueles que podem ser escritos na forma de fração entre números inteiros, com o denominador diferente de zero. Existem muitas formas de representarmos um número racional, como você pode observar nos seguintes exemplos:

a) 0,02 (um decimal exato), que pode ser obtido pela divisão entre 2 por 100, ou seja, pode ser escrito também como 2/100;

b) -13 e 32 (números inteiros), que também podem ser escritos como -13/1 e 32/1;

c) Uma dízima periódica 0,33333..., que pode ser escrita como o resultado da divisão entre 1 e 3, então 1/3.

Nota: Para você aprender como colocar um número racional escrito na forma de dízima periódica em fração, acesse nosso post chamado: Fração Geratriz!

Informamos que uma fração, representa uma razão entre duas grandezas, isto é, ela trata de uma comparação entre medidas do mesmo tipo. Assim, observamos que com os números racionais, podemos medir e resolver problemas de proporcionalidade, porcentagem e de probabilidade e o tema é aplicado também para resolvermos inúmeros problemas, como alguns dos que propomos ao final desta matéria.

Mas, como saber se uma fração é maior que uma outra ou vice-versa?

Para sabermos se um número racional é igual, maior ou menor que um outro, temos que colocar estes números em forma de fração, e em seguida, transformá-los em frações equivalentes e com o mesmo denominador. Para isto será necessário saber achar o MMC entre eles.  Caso você não se lembre como achar o MMC, recomendamos que acesse nossa postagem chamada: Mínimo Múltiplo Comum e Máximo Divisor Comum, já publicada neste site, ou clique aqui para acessar. Mas, para sua compreensão, vamos examinar alguns casos possíveis de frações, para podermos compará-las:

1º caso: Quando as frações tiverem o mesmo denominador, basta verificar o valor do numerador.

Então, podemos verificar que 5/7 > 3/7, pois 5 é maior que 3.

2º caso: Quando as frações tiverem denominadores diferentes.  Neste caso, devemos reduzi-las ao mesmo e menor denominador comum, antes de compará-las, para recairmos no 1º caso mencionado acima.

Exemplos: 
1) Qual é maior 4/5 ou ¾?

Então, devemos achar o MMC entre os denominadores deles, ou seja:

Logo, 2x2x5 = 20 (MMC) → 4/5 = 16/20 e ¾ = 15/20

Como: 16/20 >15/20 → 4/5 > ¾

2) Qual número é menor: 4/3 ou 3/8?
MMC entre eles, vale: 24
Então: 4/3 = 32/24 e 3/8 = 9/24 → Como 32/24 > 9/24 → 4/3 > 3/8

Importante: 
Sendo a, b, c, três números racionais, então poderá ocorrer:

I) a=b ou a>b ou a<b. Ocorrendo uma delas, as outras estão excluídas.

II) Ocorrência da propriedade transitiva, ou seja:
Se a>b e b>c, então, a>c
Se a<b e b<c, então, a<c

Exemplos: 

1) Seja a=2, b=3 e c=4, logo como 2<3<4 → 2<4 (verdade).

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