Confira aqui vários exercícios resolvidos sobre o famoso Princípio Fundamental da Contagem, também conhecido como PFC. O tema é bem tranquilo mas exige muita atenção dos estudantes, como todo o conteúdo de Análise Combinatória. Bom estudo! Questão 1. Arnaldo planeja ir à praia e deseja utilizar uma camiseta, uma bermuda e um chinelo. Sabe-se que ele possui 5 camisetas, 6 bermudas e 3 chinelos. De quantas maneiras distinta Arnaldo poderá vestir-se? a) 18 b) 30 c) 90 d) 108 Resolução Número de opções de camisetas: 5 Número de opções de bermudas: 6 Número de opções de chinelos: 3 Pelo Principio Fundamental da Contagem: 5 x 6 x 3 = 90 Resposta: C Questão 2. Uma prova possui 5 questões de múltipla escolha, onde cada uma possui 4 opções distintas. De quantas maneiras a prova pode ser resolvida? a) 512 b) 1024 c) 525 d) 2056 Resolução Cada uma das 5 questões possui 4 opções distintas. Pelo PFC: 4 x 4 x 4 x 4 x 4 = 1024 Resposta: B Questão 3. Quantos números de três algarismos distintos existem? a) 648 b) 981 c) 936 d) 999 Resolução Para que o número tenha 3 algarismos, o zero não pode ser utilizado nas centenas. Podemos então utilizar qualquer dos algarismos de 1 a 9, ou seja, temos 9 opções. Analisando as dezenas, podemos utilizar o zero e qualquer um dos 8 algarismos que não foram utilizados nas centenas. Temos então 9 opções. Analisando agora o algarismo das unidades, podemos utilizar um dos 8 algarismos que não foram utilizados nas dezenas ou nas centenas. Temos então 8 opções. Pelo Princípio Fundamental da Contagem (PFC): 9 x 9 x 8 = 648 Resposta: A Questão 4 (Petrobras – Cesgranrio 2014). Uma senha de 5 caracteres distintos deve ser formada usando as letras A e O e os números 0, 1, 2. As senhas devem começar e terminar com letras, mas não é permitido usar o 0 (zero) ao lado do O (letra o). Quantas senhas podem-se formar atendendo às regras estabelecidas? A) 12 B) 8 C) 6 D) 4 E) 2 Resolução Devemos formar a senha da seguinte forma: Letra – Número – Número – Número – Letra Como só podemos utilizar duas letras, temos duas opções Veja: A _ _ _ O O _ _ _ A O próximo passo é organizar os números. A única restrição que temos é que o zero e a letra O não podem ficar juntos. Desta forma, temos duas opções para o algarismo zero. Exatamente as duas posições não adjacentes a letra O. Veja: A 0 _ _ O A _ 0 _ O Basta agora localizarmos os algarismos 1 e 2. Como restam duas posições, o primeiro a ser incluído tem duas opções, enquanto o segundo tem apenas uma. Daí, pelo Principio Fundamental da Contagem (PFC): 2 x 2 x 2 x 1 x 1 = 8 Resposta: B
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O princípio fundamental da contagem, também chamado de princípio multiplicativo, é utilizado para encontrar o número de possibilidades para um evento constituído de n etapas. Para isso, as etapas devem ser sucessivas e independentes. Se a primeira etapa do evento possui x possibilidades e a segunda etapa é constituída de y possibilidades, então existem x . y possibilidades. Portanto, o princípio fundamental da contagem é a multiplicação das opções dadas para determinar o total de possibilidades. Esse conceito é importante para a análise combinatória, área da Matemática que reúne os métodos para resolução de problemas que envolvem a contagem e, por isso, é muito útil na investigação de possibilidades para determinar a probabilidade de fenômenos. Exemplo 1 João está em um hotel e pretende ir visitar o centro histórico da cidade. Partindo do hotel existem 3 linhas de metrô que levam ao shopping e 4 ônibus que se deslocam do shopping para o centro histórico.  De quantas maneiras João pode sair do hotel e chegar até o centro histórico passando pelo shopping? Solução: O diagrama de árvore ou árvore de possibilidades é útil para analisar a estrutura de um problema e visualizar o número de combinações. Observe como a constatação das combinações foi feita utilizando o diagrama de árvore. Se existem 3 possibilidades de sair do hotel e chegar até o shopping, e do shopping para o centro histórico temos 4 possibilidades, então o total de possibilidades é 12. Outra maneira de resolver o exemplo seria pelo princípio fundamental da contagem, efetuando a multiplicação das possibilidades, ou seja, 3 x 4 = 12. Exemplo 2 Um restaurante possui em seu cardápio 2 tipos de entradas, 3 tipos de pratos principais e 2 tipos de sobremesas. Quantos menus poderiam ser montados para uma refeição com uma entrada, um prato principal e uma sobremesa? Solução: Utilizaremos a árvore de possibilidades para entender a montagem dos menus com entrada (E), prato principal (P) e sobremesa (S). Pelo princípio fundamental da contagem, temos: 2 x 3 x 2 = 12. Portanto, poderiam ser formados 12 menus com uma entrada, um prato principal e uma sobremesa. Exercícios resolvidosQuestão 1Ana estava se organizando para viajar e colocou na mala 3 calças, 4 blusas e 2 sapatos. Quantas combinações Ana pode formar com uma calça, uma blusa e um sapato? a) 12 combinações b) 32 combinações c) 24 combinações d) 16 combinações
Alternativa correta: c) 24 combinações. Observe que para cada uma das 4 blusas, Ana tem 3 opções de calça e duas opções de sapato. Portanto, 4 x 3 x 2 = 24 possibilidades. Sendo assim, Ana pode formar 24 combinações com as peças da mala. Confira os resultados com a árvore de possibilidades. Um professor elaborou uma prova com 5 questões e os alunos deveriam respondê-la assinalando verdadeiro (V) ou falso (F) para cada uma das questões. De quantas maneiras distintas o teste poderia ser respondido? a) 25 b) 40 c) 24 d) 32
Alternativa correta: d) 32 respostas possíveis. Existem duas opções distintas de resposta numa sequência de cinco questões. Utilizando o princípio fundamental da contagem, temos: 2.2.2.2.2 = 32 respostas possíveis para o teste. Questão 3De quantas maneiras um número com 3 algarismos distintos pode ser formado utilizando 0, 1, 2, 3, 4 e 5? a) 200 b) 150 c) 250 d) 100
Alternativa correta: d) 100. O número formado deve conter 3 algarismos para preencher a posição de centena, dezena e unidade. Na primeira posição não podemos colocar o número 0, pois seria o mesmo que ter um número com 2 algarismos. Por isso, para a centena temos 5 opções de algarismos (1, 2, 3, 4, 5). Já para a segunda posição não podemos repetir o número que foi usado para centena, mas podemos utilizar o zero, portanto na dezena temos também 5 opções de algarismos. Como nos foi dado 6 algarismos (0, 1, 2, 3, 4 e 5) e dois que foram utilizados anteriormente não podem ser repetidos, então para a unidade temos 4 opções de algarismos. Sendo assim, 5 x 5 x 4 = 100. Temos 100 maneiras de escrever um número com 3 algarismos distintos utilizando 0, 1, 2, 3, 4 e 5. Adquira mais conhecimento com os textos a seguir: |
Exercícios Princípio fundamental da contagem 8 ano doc
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