Para cada diagrama de flechas encontre a função que os relaciona

Complementação Pedagógica Coordenação Pedagógica – IBRA DISCIPLINA CÁLCULO I SUMÁRIO 1. Introdução ------------------------------------------------------------ 01 2. Notação de Função -------------------------------------------------------- 02 3. Gráfico de uma função ------------------------------------------- 03 4. Função do 1º grau ---------------------------------------------------------- 06 5. Função Módulo -------------------------------------------------------------- 11 6. Função Quadrática --------------------------------------------------------- 14 7. Função Polinomial ---------------------------------------------------------- 16 8. Função Racial---------------------------------------------------------------- 18 9. Função Exponencial ------------------------------------------------------- 19 10. Função Logarítmica --------------------------------------------------------24 11. Logaritmo ---------------------------------------------------------------------- 28 12. Função Trigonométrica ---------------------------------------------------- 30 13. Limites --------------------------------------------------------------------------- 37 14. Taxa de Variação ------------------------------------------------------------48 15. Velocidade Média ------------------------------------------------------------ 49 16. Reta Tangente ----------------------------------------------------------------- 53 17. Derivada ------------------------------------------------------------------------- 55 18. Regra da Cadeia -------------------------------------------------------------- 59 19. Máximos e Mínimos de Uma Função ---------------------------------- 64 20. Referências -------------------------------------------------------------- 66 1 1. Introdução Definimos função como a relação entre dois ou mais conjuntos, estabelecida por uma lei de formação, isto é, uma regra geral. Os elementos de um grupo devem ser relacionados com os elementos do outro grupo, através dessa lei. Por exemplo, vamos considerar o conjunto A formado pelos seguintes elementos {–3, –2, 0, 2, 3}, que irão possuir representação no conjunto B de acordo com a seguinte lei de formação y = x². Aplicada a lei de formação, temos os seguintes pares ordenados: {(–3, 9), (–1, 1), (0, 0), (2, 4), (4, 16)}. Essa relação também pode ser representada com a utilização de diagramas de flechas, relacionando cada elemento do conjunto A com os elementos do conjunto B. Observe: No diagrama é possível observar com mais clareza que todos os elementos de A, estão ligados, a um elemento de B, então podemos dizer que essa relação é 2 uma função. Dessa forma o domínio é dado pelos elementos do conjunto A, e a imagem, pelos elementos do conjunto B. 2. Notação de Função Para indicar que uma função f tem domínio M e imagens em N, serão usados o símbolo: f: M N (lê-se f: de M em N) e, se x representa um elemento qualquer do domínio M de f, indicar-se-á sua imagem em N por y ou f(x). Por exemplo: f(x) = 6x ou y = 6x f(x) = √x ou y = √x Correspondem a algumas leis que relacionam os elementos de M em N. Assim, para frases do tipo: “Seja a função f: M N definida por f(x) = 2x + 5” entende-se que f tem domínio M, imagem em N e a lei que associa aos elementos x M os correspondentes f(x) N é f(x) = 2x + 5. Então, se x = 1 a sua imagem f(1) = 2(1) + 5 = 7. Sistema Retangular de Coordenadas Cartesianas Um sistema de coordenadas cartesianas se constrói mediante duas retas perpendiculares, chamadas eixos de coordenadas. O eixo dos x é comumente chamado de abscissa e o eixo dos y de ordenadas. A Figura 1.2 a seguir representa um sistema retangular de coordenadas cartesiana 3 Figura 1.2 – Sistema retangular de coordenadas cartesianas 3. Gráfico de Funções Como as funções são relações particulares, a construção dos gráficos de funções quaisquer é análoga à dos gráficos das relações. O gráfico a seguir representa diferentes funções. 4 Figura 1.3 – Representação gráfica de diferentes funções Função Constante Dado um número real k, denomina-se função constante a função f(x) = k definida para todo x real. Figura 1.4 – Definição de função constante 5 O gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo dos x e passando pelo ponto (0,k). Figura 1.5 – Gráfico de uma função constante. O domínio é Â O conjunto imagem é { K }. Exemplos de funções constantes: a) f(x) = -5 b) f(y) = 3 c) f(x) = sen 30º d) f(x) = ³√ 37 Função Identidade Denomina-se função identidade a função f(x) = x definida para todo x real. O gráfico da função identidade f(x) = x ou y = x é a reta que contém as bissetrizes do 1º e 3º quadrantes. 6 Figura 1.6 – Gráfico de uma função identidade. O domínio é Â O conjunto imagem é Â Nota-se que a imagem de um número real a, pela função, é o próprio a, daí o nome função identidade. 4. Função do 1º Grau Função é uma expressão matemática que relaciona dois valores pertencentes a conjuntos diferentes, mas com relações entre si. A lei de formação que intitula uma determinada função possui três características básicas: domínio, contradomínio e imagem. Essas características podem ser representadas por um diagrama de flechas, isso facilitará o entendimento por parte do estudante. Observe: Dada a seguinte função f(x) = x + 1, e os conjuntos A(1, 2, 3, 4, 5) e B(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7). Vamos construir o diagrama de flechas: 7 Observe o quadro. Nessa situação, temos que: A B x f(X) 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 Domínio: representado por todos os elementos do conjunto A. (1, 2, 3, 4, 5) Contradomínio: representado por todos os elementos do conjunto B. (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) Imagem: representada pelos elementos do contradomínio (conjunto B) que possuem correspondência com o domínio (conjunto A). (2, 3, 4, 5, 6) 8 O conjunto domínio possui algumas características especiais que definem ou não uma função. Observe: Todos os elementos do conjunto domínio devem possuir representação no conjunto do contradomínio. Caso isso não ocorra, a lei de formação não pode ser uma função. Função Não é uma função Um único elemento do domínio não deve possuir duas imagens. Não é função Dois elementos diferentes do domínio podem possuir a mesma imagem. Não é Função 9 Restam elementos no conjunto domínio, que não foram associados ao conjunto imagem. O gráfico da função afim ou do 1º grau é uma reta do plano cartesiano. Figura 2.1 – Gráfico de uma função afim. Coeficientes da Função do 1º Grau ou Afim O número real a da função y = ax + b é denominado coeficiente angular ou declive da reta representada no plano cartesiano. O número real b da função do 1º grau y = ax + b recebe o nome de coeficiente linear e representa o ponto em que a reta corta o eixo dos y. Zero da Função do 1° Grau ou Afim O valor de x para o qual a função afim f(x) = ax + b se anula, denomina-se zero da função afim. Achar o zero da função afim, nada mais é que resolver a equação do 1º grau: 10 a x + b = 0 A função afim f(x) = ax + b, tem um único zero que é o número – b / a. Pode-se interpretar geometricamente o zero da função afim, como sendo a abscissa do ponto em que a reta y = ax + b, a ¹ 0 corta o eixo dos x. Sinal da Função Afim Para a função afim f(x) = ax + b, existem as seguintes possibilidades de sinais: f(x) > 0 f(x) = 0 f(x) < 0 Resolver este problema significa determinar o sinal da função f(x) = ax + b com a ≠ 0, para cada x real. Sabe-se que o zero da função do 1º grau f(x) = ax + b é – b/a,