O que é produto da soma pela diferença

Estes exercícios sobre o produto da soma pela diferença devem ser resolvidos pela aplicação da fórmula geral: (a + b) . (a – b) = a2 – b2. Publicado por: Naysa Crystine Nogueira Oliveira

(TRT-2011) Indagado sobre o número de processos que havia arquivado certo dia, um Técnico Judiciário, que gostava muito de Matemática, respondeu: - O número de processos que arquivei é igual a (12,25)2 – (10,25)2. Chamando X o total de processos que ele arquivou, então é correto afirmar que:

a) 38 < x < 42

b) x > 42

c) x < 20

d) 20 < x < 30

e) 30 < x < 38

Aplique o produto da soma pela diferença de dois termos em todas as alternativas a seguir. Obtenha a solução na forma a2 – b2.

a) (9 + 2a) . (9 – 2a)

b) (xz + x 2) . (xz – x 2)
             4              4

c) (b + 11) . (b – 11)

Reduza a expressão numérica a seguir ao máximo utilizando produtos notáveis.

(x + 2)2 + (x + 1) . (x – 1) – (x - 2)2

Efetue a multiplicação de (3x2 – 2y) por (3x2 + 2y). Após obter o produto, realize a soma dos coeficientes do resultado obtido.

respostas

Para solucionar exercícios sobre o produto da soma pela diferença, devemos recordar a sua fórmula geral: (a + b) . (a – b) = a2 – ab + ba – b2 = a2 – b2. Sendo assim, (a + b) . (a – b) = a2 – b2.

Para encontrar o valor de X, utilize como base a fórmula descrita acima na equação X = (12,25)2 – (10,25)2

X = (12,25)2 – (10,25)2
X = (12,25 + 10,25) . (12,25 – 10,25)
X = (22,50) . (2)

X = 45

Como X = 45, a resposta correta é a alternativa b, visto que X = 45 > 42.

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a) (9 + 2a) . (9 – 2a) = 81 – 18a + 18a – 4a2 = 81 – 4a2

Temos que: a2 – b2 = 81 – 4a2

b) (xz + x 2) . (xz – x 2) = x2z2 – x3z + x3z - x 4 = x2z2 – x 4 =
             4              4                    4      4     16              16

Então: a2 – b2 = x2z2 – x 4
                                  16

c) (b + 11) . (b – 11) = b2 – 11b + 11b – 121 = b2 – 121

Sendo assim: a2 – b2 = b2 – 121

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(x + 2)2 + (x + 1) . (x – 1) – (x - 2)2 = → A expressão numérica deve ser resolvida da esquerda para a direita.

= (x2 + 4x + 4) + (x + 1) . (x – 1) – (x – 2)2 = → No parêntese (x + 2)2 , aplicamos o quadrado da soma de dois termos.

= (x2 + 4x + 4) + x2 – 12 – (x – 2)2 = → Já no (x + 1) . (x – 1), utilizamos o produto da soma pela diferença de dois termos.

= (x2 + 4x + 4) + x2 – 12 – (x2 -4x + 4) = → No parêntese (x – 2)2, aplicamos o quadrado da diferença de dois termos.

= x2 + 4x + 4 + x2 – 1 –x2 +4x - 4 = → Efetue o produto do sinal negativo no parêntese em: – (x2 -4x + 4)
= x2 – x2 + x2 + 4x + 4x + 4 – 4 – 1 = → Agrupe os termos semelhantes e efetue as operações

= 0 + x2 + 8x + 0 – 1=

= x2 + 8x – 1

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Para solucionar essa questão, devemos inicialmente efetuar o produto de (3x2 – 2y) por (3x2 + 2y).

(3x2 – 2y) . (3x2 + 2y) = 9x4 + 6x2y – 6x2y -4y2 = 9x4 – 4y2

Veja que o resultado obtido remete ao produto da soma pela diferença.

(3x2 – 2y) . (3x2 + 2y) = 9x4 – 4y2 → (a + b) . (a – b) = (a2 – b2)

Sendo assim:

9x4 → 9 é o coeficiente e x4 é a parte literal.

4y2 → 4 é o coeficiente e y2 é a parte literal.

Para obter a soma dos coeficientes faça: 9 + 4 = 13

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Leia o artigo relacionado a este exercício e esclareça suas dúvidas

Os produtos notáveis são produtos que envolvem expressões algébricas que resultam em um padrão algébrico, ou seja, possuem uma regularidade em seus resultados, tornando não necessário o processo de multiplicação algébrica, podendo sempre utilizar o resultado pela regularidade.

Neste artigo, poderá ser estudado o produto notável da soma pela diferença de dois termos. Para isso será realizado o cálculo por dois processos, o algébrico e o geométrico; contudo, em ambos os casos teremos expressões algébricas a serem resolvidas.

O intuito de passar por esses dois casos é para que possamos ver que todas essas letras representando números possuem aplicabilidade, neste caso utilizaremos no cálculo da área de retângulos.

Pelo título, podemos notar que teremos o produto da soma pela diferença de dois termos, portanto, denotaremos esses dois termos por um número qualquer, ou seja, por uma letra que representará qualquer número que exista. Utilizaremos as letras a e b. Sendo assim, devemos somar esses dois números e multiplicá-los pela diferença dos mesmos dois números. Ou seja:

Portanto, devemos desenvolver esse produto e encontrar a regularidade dessa multiplicação, um resultado que será sempre verdade quando tivermos dois termos, um sendo somado e outro sendo subtraído.

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Para realizarmos este produto deveremos aplicar a propriedade da multiplicação, a propriedade distributiva.

Veja que a soma e a diferença são dos mesmos termos, que na expressão final o sinal negativo ficou no termo que estava subtraindo, ou seja, (-b).

Enquanto isso, por meio da imagem abaixo, veremos que essa expressão algébrica pode ser representada através do cálculo da área de um retângulo.

Veja que para encontrarmos a área do Retângulo ABCD devemos realizar o seguinte produto:

Entretanto, podemos calcular as áreas dos retângulos ABFE e CDEF e somá-las, esta expressão nos dará a área do retângulo ABCD.

Sendo assim, devemos somar estas áreas.

Como foi dito inicialmente, a soma dessas áreas resultaria na área do retângulo ABCD, portanto, podemos igualar as expressões.

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