Qual a unidade de medida utilizada para representar o coeficiente de dilatação volumétrica?

Índice

Introdução

No estudo da dilatação, são primeiramente considerados objetos unidimensionais que possuem comprimento, porém não área nem volume. Contudo, o estudo da dilatação superficial e da dilatação volumétrica é bem similar.

Toda dilatação segue o mesmo princípio: com o aumento da temperatura, aumenta o grau de agitação molecular, o que aumenta a distância intermolecular, manifestando-se na expansão das dimensões dos corpos: sua dilatação. E o mesmo raciocínio inverso quando a diminuição da temperatura, gerando contração.

Todas as considerações feitas sobre dilatação superficial e volumétrica partem da suposição que os materiais considerados são isotrópicos, isto é, se comportam de maneira igual em todas as direções. Materiais anisotrópicos costumam ser estudados somente no ensino superior.

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Dilatação superficial

A dilatação superficial diz respeito ao aumento da área de uma superfície exposta ao calor (ou à diminuição da área, contração, quando resfriada). Essa variação de área é quantificada como:

$$ \Delta A = A_{0} \cdot \beta \cdot \Delta T $$

Em que \( A_{0} \) é a área inicial, antes da variação de temperatura, \( \beta \) é o coeficiente de dilatação superficial, em \( ºC^{-1} \), e \( \Delta T \) é a variação de temperatura, em \( ºC \). A unidade de \( \Delta A \) será a mesma utilizada em \( A_{0} \), como \( m^{2} \) ou \( cm^{2} \).

O coeficiente de dilatação superficial \( \beta \) é uma propriedade do material, e se relaciona com o coeficiente de dilatação linear \( \alpha \) de maneira que:

$$ \beta = 2 \ \alpha $$

Demonstração: Pela dilatação linear: \(   \Delta L = L_{0} \cdot \alpha \cdot \Delta T \), ou \( L_{f} = L_{0} + L_{0} \cdot \alpha \cdot \Delta T \). Considerando-se, sem perda de generalidade, uma chapa quadrada, eleva-se a equação ao quadrado:

$$ (L_{f})^{2} = (L_{0})^{2} + 2 \cdot L_{0} \cdot L_{0} \cdot \alpha \Delta T +  (L_{0} \cdot \alpha \cdot \Delta T)^{2} $$

A parcela ao lado esquerdo da igualdade será a área final. A primeira parcela após o sinal de igual é a área inicial, que pode ser subtraída da área final para descobrir a variação:

$$ (L_{f})^{2} - (L_{0})^{2} = \Delta A = 2 \cdot (L_{0})^{2} \cdot \alpha \Delta T +  (L_{0} \cdot \alpha \cdot \Delta T)^{2} $$

A última parcela dessa equação conterá o termo \( \alpha ^{2} \). Como \( \alpha \) em si já é muito pequeno, esse termo poderá ser desprezado (é de ordem entre \( 10^{-9} \) e \( 10^{-12} \). Assim, rearranjando:

$$ \Delta A = (L_{0})^{2} \cdot 2 \ \alpha \cdot \Delta T + 0 \qquad \xrightarrow{} \qquad \Delta A = A_{0} \cdot 2 \ \alpha \cdot \Delta T $$

Tomando \( 2 \ \alpha = \beta \):

$$ \Delta A = A_{0} \cdot \beta \cdot \Delta T $$

Superfície com furo

Sabe-se que com o aumento de temperatura a área aumenta, e com a diminuição de temperatura a área diminui. Mas o que ocorre com a área de um furo na superfície ao ser aquecida?

Poderia-se pensar que o material em torno do furo se expandirá para o espaço onde previamente só havia o furo. Contudo, esse raciocínio não é correto. Caso isso ocorresse, as moléculas na extremidade de separação entre o furo e o material estariam se aproximando, e não se afastando, como é esperado com um aumento de temperatura. 

Portanto, o que realmente ocorre é que a área do furo aumenta, assim como a área realmente preenchida pelo material.

Dilatação volumétrica

Seguindo o mesmo raciocínio utilizado para deduzir a fórmula da dilatação superficial, pode-se elevar a equação \( L_{f} = L_{0} + L_{0} \cdot \alpha \cdot \Delta T \) ao cubo, dando origem a termos com \( \alpha ^{2} \) e \( \alpha ^{3} \), que serão desprezados. Posteriormente, rearranjando a equação, chega-se a:

$$ \Delta V = V_{0} \cdot \gamma \cdot \Delta T $$

 Em que \( V_{0} \) é o volume inicial, antes da variação de temperatura, \( \gamma \) é o coeficiente de dilatação volumétrica, em \( ºC^{-1} \), e \( \Delta T \) é a variação de temperatura, em \( ºC \). A unidade de \( \Delta V \) será a mesma utilizada em \( V_{0} \), como \( m^{3} \) ou \( cm^{3} \).

A relação entre \( \alpha \) e \( \gamma \) vem do desenvolvimento da equação, e tem-se:

$$ \gamma = 3 \ \alpha $$

Novamente, é importante lembrar que quando há um aumento de temperatura o volume aumenta (dilatação), e quando diminui-se a temperatura, o volume diminui (contração).

O raciocínio das superfícies com furos também é válido para sólidos com furos, vazados. Se a temperatura aumenta, o espaço vazio também se dilata.

Dilatação aparente dos líquidos

Uma maneira de perceber o fenômeno da dilatação dos líquidos seria preencher um recipiente completamente com água e aquecer o conjunto, o que gerará um transbordamento de água, devido à sua dilatação. 

Contudo, o volume de líquido que transborda não é exatamente igual ao \( \Delta V \) do líquido. Isso ocorre pois o recipiente também dilata, aumentando sua capacidade! Dessa maneira, a dilatação da água é percebida somente parcialmente.

$$ \Delta V_{líquido} = \Delta V_{aparente} + \Delta V_{recipiente} $$

ou 

$$ \Delta V_{aparente} = \Delta V_{líq} - \Delta V_{recipiente} $$

Onde o \(  \Delta V_{aparente} \) é o medido, e cada um dos \( \Delta V_{líq} \) e \( \Delta V_{recipiente} \) pode ser calculado pela fórmula da dilatação volumétrica ( \( \Delta V = V_{0} \cdot \gamma \cdot \Delta T \) ).

É importante que todos os \( \Delta V \) calculados estejam na mesma unidade de volume \( m^{3} \) ou \( cm^{3} \) por exemplo).

Comportamento anômalo da água

Em todos os casos de dilatação estudados, o material dilata quando aquecido e contrai quando resfriado. Assim, como a densidade é inversamente proporcional ao volume ( \( d = \frac{m}{v} \) ), conclui-se que a densidade diminui com aumento da temperatura, e aumenta com a diminuição da temperatura.

Entretanto, entre 0 ºC e 4 ºC, a água apresenta um comportamento anômalo, devido ao rompimento de ligações de hidrogênio. Nessa faixa de temperaturas, o comportamento da água é inverso: sua densidade aumenta quando é aquecida de de 0 a 4 ºC, em vez de diminuir, com se era esperado. Em qualquer outra faixa de temperatura, o comportamento de dilatação da água é normal

Gráficos de densidade e volume específico da água, evidenciando sua dilatação anômala entre 0 e 4 ºC.

Essa dilatação anômala da água é de fundamental importância para a manutenção da vida em lagos durante o inverno. A água de um lago perde calor para o ambiente pela superfície. Assim, as camadas de água na superfície se tornam mais frias e, portanto, mais densas. Desse modo, ocorre movimentação por convecção entre as camadas d’água (a água fria desce e a água quente sobe). 

Contudo, ao chegar aos 4 ºC, a água que se resfria em contato com o ar passa a ficar mais leve (diminuição anômala da densidade com o resfriamento), e então a convecção cessa. Assim, essa camada d’água permanece sendo resfriada no topo, e acaba congelando, enquanto que as camadas de maior profundidade permanecem líquidas. O gelo que se forma na superfície do lago não é um bom condutor térmico, e evita um congelamento mais profundo.

Caso um lago congelasse por inteiro, incluindo as águas mais profundas, quase toda a vida aquática ali presente poderia morrer.