Qual é a medida em centímetros do lado polígono 2 indicado pela letra X?

Ensino Fundamental, M�dio e Superior no Brasil

Trigonometria

Triangulo no tri�ngulo ret�ngulo

Cristiano A.Santos
Leonidas Marchesini Jr.
Ulysses Sodr�

Material desta p�gina

• 1 Trigonometria e aplica��es
• 2 Tri�ngulo Ret�ngulo
• 3 Lados de um tri�ngulo ret�ngulo
• 4 Nomenclatura dos catetos
• 5 Propriedades do tri�ngulo ret�ngulo
• 6 A hipotenusa como base de um tri�ngulo ret�ngulo
• 7 Proje��es de segmentos
• 8 Proje��es no tri�ngulo ret�ngulo
• 9 Rela��es M�tricas no tri�ngulo ret�ngulo
• 10 Fun��es trigonom�tricas b�sicas

1 Trigonometria e aplica��es

Introduzimos aqui alguns conceitos relacionados com a Trigonometria no tri�ngulo ret�ngulo, assunto comum no Ensino Fundamental. Tamb�m dispomos de uma p�gina mais aprofundada sobre o assunto tratado no �mbito do Ensino M�dio.

A trigonometria possui uma infinidade de aplica��es pr�ticas. Desde a antiguidade j� se usava da trigonometria para obter dist�ncias imposs�veis de serem calculadas por m�todos comuns.

Algumas aplica��es da trigonometria s�o:

1. Determina��o da altura de um certo pr�dio.
   
2. Os gregos mediram o raio de terra, por um processo muito simples.
3. Seria imposs�vel medir a dist�ncia da Terra � Lua, mas com a trigonometria se torna simples.
4. Um engenheiro precisa saber a largura de um rio para construir uma ponte, o trabalho dele � mais f�cil quando ele usa dos recursos trigonom�tricos.
5. Um cart�grafo (desenhista de mapas) precisa saber a altura de uma montanha, o comprimento de um rio, etc. Sem a trigonometria ele demoraria anos para desenhar um mapa.

Tudo isto � poss�vel calcular com o uso da trigonometria do tri�ngulo ret�ngulo.

2 Tri�ngulo Ret�ngulo

� um tri�ngulo que possui um �ngulo reto, isto �, um dos seus �ngulos mede noventa graus, da� o nome tri�ngulo ret�ngulo. Como a soma das medidas dos �ngulos internos de um tri�ngulo � igual a 180 graus, ent�o os outros dois �ngulos medem 90 graus.

Nota: Se a soma de dois �ngulos mede 90 graus, estes �ngulos s�o denominados complementares, assim, podemos dizer que o tri�ngulo ret�ngulo possui dois �ngulos complementares.

Para mais detalhes sobre tri�ngulos, ver Pol�gonos.

3 Lados de um tri�ngulo ret�ngulo

Os lados de um tri�ngulo ret�ngulo recebem nomes especiais. Estes nomes s�o dados de acordo com a posi��o em rela��o ao �ngulo reto. O lado oposto ao �ngulo reto � a hipotenusa. Os lados que formam o �ngulo reto (adjacentes a ele) s�o os catetos.

Para padronizar o estudo da Trigonometria, adotamos as seguintes nota��es para tri�ngulos:

Para ver mais detalhes, ver �ngulos.

4 Nomenclatura dos catetos

Os catetos recebem nomes especiais de acordo com a sua posi��o em rela��o ao �ngulo sob an�lise. Quando operamos com o �ngulo \(C\), o seu lado oposto, � indicado por \(c\), o cateto oposto ao �ngulo \(C\) e o lado adjacente ao �ngulo \(C\), indicado por \(b\), � o cateto adjacente ao �ngulo \(C\).

Um dos objetivos da trigonometria � mostrar a utilidade do conceitos matem�ticos no nosso cotidiano. Iniciaremos estudando as propriedades geom�tricas e trigonom�tricas no tri�ngulo ret�ngulo. O estudo da trigonometria � extenso e minucioso.

5 Propriedades do tri�ngulo ret�ngulo

1. �ngulos: Um tri�ngulo ret�ngulo possui um �ngulo reto e dois �ngulos agudos complementares.
2. Lados: Um tri�ngulo ret�ngulo � formado por tr�s lados, uma hipotenusa (lado maior) e outros dois lados que s�o os catetos.
3. Alturas: A altura de um tri�ngulo � um segmento que tem uma extremidade em um v�rtice e a outra extremidade no lado oposto ao v�rtice, sendo que este segmento � perpendicular ao lado oposto ao v�rtice. Existem 3 alturas no tri�ngulo ret�ngulo, sendo que duas delas s�o os catetos. A outra altura (ver o gr�fico seguinte) � obtida tomando a base como a hipotenusa, a altura relativa a este lado ser� o segmento AD, denotado por h e perpendicular � base.

6 A hipotenusa como base de um tri�ngulo ret�ngulo

Tomando informa��es da mesma figura acima, obtemos:

1. o segmento \(AD\), denotado por \(h\), � a altura relativa � hipotenusa \(CB\), indicada por \(a\).
2. o segmento \(BD\), denotado por \(m\), � a proje��o ortogonal do cateto \(c\) sobre a hipotenusa \(CB\), indicada por \(a\).
3. o segmento \(DC\), denotado por \(n\), � a proje��o ortogonal do cateto \(b\) sobre a hipotenusa \(CB\), indicada por \(a\).

7 Proje��es de segmentos

Introduzimos algumas id�ias b�sicas sobre proje��o. J� mostramos, no in�cio deste trabalho, que a luz do Sol ao incidir sobre um pr�dio, determina uma sombra que � a proje��o obl�qua do pr�dio sobre o solo.

Tomando alguns segmentos de reta e uma reta n�o coincidentes � poss�vel obter as proje��es destes segmentos sobre a reta.

Nas quatro situa��es apresentadas, as proje��es dos segmentos \(AB\) s�o indicadas por \(A'B'\) sendo que no �ltimo caso \(A' = B'\) � um ponto.

8 Proje��es no tri�ngulo ret�ngulo

Agora iremos indicar as proje��es dos catetos no tri�ngulo ret�ngulo.

1. \(m\) = proje��o de \(c\) sobre a hipotenusa \(a\).
2. \(n\) = proje��o de \(b\) sobre a hipotenusa \(a\).
3. \(a = m+n\).
4. \(h\) = m�dia geom�trica entre \(m\) e \(n\). Para saber mais, clique em M�dia Geom�trica.

9 Rela��es M�tricas no tri�ngulo ret�ngulo

Para extrair algumas propriedades, decompomos o tri�ngulo ret�ngulo \(ABC\) em dois tri�ngulos ret�ngulos menores: \(ACD\) e \(ADB\). Assim, o �ngulo \(A\) � decomposto na soma dos �ngulos \(C�D=B\) e \(D�B=C\).

Observamos que os tri�ngulos ret�ngulos ABC, ADC e ADB s�o semelhantes.

Assim:

\begin{align} \frac{a}{b} = \frac{b}{n} = \frac{c}{h} \\ \frac{a}{c} = \frac{b}{h} = \frac{c}{m} \\ \frac{b}{c} = \frac{n}{h} = \frac{h}{m} \end{align}

logo:

\begin{align} \frac{a}{c}=\frac{c}{m} & \Leftrightarrow c^2=a \cdot m \\ \frac{a}{b}=\frac{b}{n} & \Leftrightarrow b^2=a \cdot n \\ \frac{a}{c}=\frac{b}{h} & \Leftrightarrow a \cdot h=b \cdot c \\ \frac{h}{m}=\frac{n}{h} & \Leftrightarrow h^2=m \cdot n \end{align}

Existem tamb�m outras rela��es do tri�ngulo inicial \(ABC\).

Como \(a=m+n\), somando \(c^2\) com \(b^2\), obtemos:

\[c^2 + b^2 = am + an = a(m+n) = a a = a^2\]

que resulta no Teorema de Pit�goras:

\[a^2 = b^2 + c^2\]

A demonstra��o acima, � uma das v�rias demonstra��es do Teorema de Pit�goras.

10 Fun��es trigonom�tricas b�sicas

As Fun��es trigonom�tricas b�sicas s�o rela��es entre as medidas dos lados do tri�ngulo ret�ngulo e seus �ngulos. As tr�s fun��es b�sicas mais importantes da trigonometria s�o: seno, cosseno e tangente. O �ngulo � indicado pela letra \(x\).

Nota��es:

1. \(CO\) indica a medida do cateto oposto a \(x\);
2. \(CA\) indica a medida do cateto adjacente a \(x\), e
3. \(H\) indica a medida da hipotenusa.

Tomando um tri�ngulo ret�ngulo ABC, com hipotenusa HIP medindo 1 unidade, ent�o o seno do �ngulo sob an�lise � o seu cateto oposto CO e o cosseno do mesmo � o seu cateto adjacente CA. Portanto a tangente do �ngulo analisado ser� a raz�o entre seno e cosseno desse �ngulo.

\begin{align} \text{sen}(x) & = \frac{CO}{H} = \frac{CO}{1} = CO \\ \cos(x) & = \frac{CA}{H} = \frac{CA}{1} = CA \\ \text{tan}(x) & = \frac{CO}{CA} = \frac{\text{sen}(x)}{\cos(x)} \end{align}

Rela��o fundamental da Trigonometria: Para todo �ngulo \(x\) (medido em radianos), vale a importante rela��o:

\[\cos^2(x) + \text{sen}^2(x) = 1\]

Qual a medida em cm do lado do polígono 2 indicado pela letra X?

Que nome se dá ao polígono em que as medidas de todos os lados e as medidas de todos os ângulos são iguais?

Quais polígonos tem todos os lados com medidas iguais?