Em um polígono regular convexo o número de diagonais é 230, determine-o.

Vamos utilizar o número de diagonais conhecido do polígono para determinar seu número de lados. O número \(d\) de diagonais de um polígono convexo é dado por:

\[d = \dfrac{n \cdot (n-3)}{2}\]

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Como calcular as diagonais de um polígono convexo?
Qual é a medida de um ângulo interno de um polígono convexo que possui 230 diagonais?
Quais são as diagonais de um polígono convexo?
Quantos lados tem um polígono com 230 diagonais?

em que \(n\) é o número de lados do polígono.

Substituindo \(d=230\), temos:

\[\eqalign{&230 = \dfrac{n\cdot(n-3)}{2} \\& 460=n^2-3n \\& n^2-3n-460=0 \\}\]

Resolvendo a equação de segundo grau, encontramos \(23\) e \(- 20\) como possíveis valores para \(n\). Tomamos o valor positivo \(n=23\)

Sabendo o número de lados, temos que a soma \(S\) dos ângulos internos do polígono será dada por:

\[S = (n-2) \cdot 180\]

Substituindo \(n=23\), temos:

\[\eqalign{&S = (23-2)\cdot 180 \\& S = 21 \cdot 180 \\& S =3780}\]

Como o polígono é convexo, todos os seus ângulos internos serão iguais. Logo, basta dividirmos a soma \(S\) pelo número \(n\) de lados para encontrarmos a medida do \(a\) ângulo interno:

\[\eqalign{&a = \dfrac{S}{n} \\& = \dfrac{3780}{23} \\& =\boxed{ 164,35º}}\]

Vamos utilizar o número de diagonais conhecido do polígono para determinar seu número de lados. O número \(d\) de diagonais de um polígono convexo é dado por:

\[d = \dfrac{n \cdot (n-3)}{2}\]

em que \(n\) é o número de lados do polígono.

Substituindo \(d=230\), temos:

\[\eqalign{&230 = \dfrac{n\cdot(n-3)}{2} \\& 460=n^2-3n \\& n^2-3n-460=0 \\}\]

Resolvendo a equação de segundo grau, encontramos \(23\) e \(- 20\) como possíveis valores para \(n\). Tomamos o valor positivo \(n=23\)

Sabendo o número de lados, temos que a soma \(S\) dos ângulos internos do polígono será dada por:

\[S = (n-2) \cdot 180\]

Substituindo \(n=23\), temos:

\[\eqalign{&S = (23-2)\cdot 180 \\& S = 21 \cdot 180 \\& S =3780}\]

Como o polígono é convexo, todos os seus ângulos internos serão iguais. Logo, basta dividirmos a soma \(S\) pelo número \(n\) de lados para encontrarmos a medida do \(a\) ângulo interno:

\[\eqalign{&a = \dfrac{S}{n} \\& = \dfrac{3780}{23} \\& =\boxed{ 164,35º}}\]

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b) menor que 50°;
c) maior que 50°.
221. 
Na figura os pontos P e Q representam as traves 
do gol de um campo de futebol. Entre os pontos A, 
B, C, D e E, qual é o que enxerga o gol sob maior 
ângulo?
 
a) A
b) B
c) C
d) D
e) E
222.
Sejam λ1 e λ2 duas circunferências coplanares e com 
raios iguais. Seja N a quantidade de tangentes comuns 
às duas circunferências. Então, o único valor que N 
não pode assumir é:
a) 1 d) 4
b) 2 e) ∞ 
c) 3
223. Vunesp
Paulo fabricou uma bicicleta, tendo rodas de tamanhos 
distintos, com o raio da roda maior (dianteira) medindo 
3 dm, o raio da roda menor medindo 2 dm e a distância 
entre os centros A e B das rodas sendo 7 dm. As rodas 
da bicicleta, ao serem apoiadas no solo horizontal, 
podem ser representadas no plano (desprezando-se 
os pneus) como duas circunferências, de centros A e 
B, que tangenciam a reta r nos pontos P e Q, como 
indicado na figura.
a) Determine a distância entre os pontos de tangência 
P e Q e o valor do seno do ângulo BPQ

.
b) Quando a bicicleta avança, supondo que não haja 
deslizamento, se os raios da roda maior descrevem 
um ângulo de 60°, determine a medida, em graus, 
do ângulo descrito pelos raios da roda menor. 
Calcule, também, quantas voltas terá dado a roda 
menor quando a maior tiver rodado 80 voltas.
138
224. 
Considere duas circunferências de centros A e B e raios 
de 4 cm e 2 cm, respectivamente. Sendo AB = 10 cm, 
determine:
a) Quantas retas tangentes às duas circunferências 
dadas existem?
b) Qual a medida do raio da menor circunferência 
tangente comum às duas circunferências dadas?
c) Quantas circunferências distintas de raio 8 cm são 
tangentes simultaneamente às duas circunferên-
cias dadas?
225. Unir-RO
Considere o círculo C1, de centro O1 e raio 14 cm e o 
círculo C2, de centro O2 e raio 2 cm, totalmente contido 
no interior de C1, como ilustrado na figura abaixo.
Construímos um círculo C, de centro O, simultane-
amente tangente a C2 exteriormente e tangente a 
C1 interiormente. O valor da soma das distâncias 
entre o centro deste novo círculo aos centros dos 
círculos C1 e C2 (isto é: OO1 + OO2 ), em centíme-
tros, é igual a:
a) 8 d) 14 
b) 10 e) 16 
c) 12
226.
Duas circunferências de centros A e B são tangentes 
externamente e tangenciam internamente uma circun-
ferência de centro C. Sendo AB = 12 m, AC = 17 m e 
BC = 13 m, determine os raios dessas circunferências.
Capítulo 5
227.
Considere seis circunferências de raio r = 2 cm tan-
gentes externamente, de modo que qualquer uma seja 
tangente exatamente a duas outras. Calcule o raio da 
única circunferência que é tangente internamente às 
seis circunferências dadas.
228. Unifesp
Na figura, o segmento AC é perpendicular à reta r. 
Sabe-se que o ângulo AÔB, com O sendo um ponto 
da reta r, será máximo quando O for o ponto onde r 
tangencia uma circunferência que passa por A e B.
A
B
CO
r
Se AB representa uma estátua de 3,6 m sobre um pe-
destal BC de 6,4 m, a distância OC, para que o ângulo 
AÔB de visão da estátua seja máximo, é:
a) 10 m d) 7,8 m
b) 8,2 m e) 4,6 m
c) 8 m
229. Unioeste-PR
Na figura abaixo está representado um dispositivo em que 
OP e PQ são braços móveis de comprimentos respecti-
vamente iguais a 22 cm e 75 cm. Quando o dispositivo 
é posto em funcionamento, o ponto P percorre uma 
circunferência com centro em O, enquanto Q executa um 
movimento de vai-e-vem sobre a reta r. Qual é a distância 
percorrida pelo ponto Q, a cada volta completa que P dá 
sobre a circunferência, em centímetros?
230. 
Calcule o número de diagonais (d) e a soma das 
medidas dos ângulos internos (Si) de cada um dos 
polígonos convexos.
a) Eneágono
b) Dodecágono
c) Tridecágono
231.
Qual o polígono convexo que tem 170 diagonais?
232.
Calcule a razão entre os números de diagonais dos 
polígonos que têm 5 e 8 lados, respectivamente.
233.
Qual é o polígono convexo cujo número de diagonais 
é o triplo do número de lados?
234.
Um polígono convexo tem 3 lados a mais que o outro. 
Descubra esses polígonos, sabendo que juntos têm 
64 diagonais.
235.
A diferença entre o número de diagonais de dois po-
lígonos é 27. O primeiro polígono tem 3 lados a mais 
que o segundo. Determine os dois polígonos.
139
PV
2
D
-0
7
-M
A
T-
2
4
236.
Aumentando-se o número de lados de um polígono de 
3, seu número de diagonais aumenta de 21. Determine 
o número de lados desse polígono.
237.
A seqüência a seguir representa o número de lados 
(n) de um polígono convexo e seu número de diago-
nais (d).
O valor de x é:
a) 60
b) 77
c) 104
d) 90
e) 83
238.
Considere as afirmações sobre polígonos conve-
xos:
I. Existe apenas um polígono cujo número de diago-
nais coincide com o número de lados.
II. Não existe polígono cujo número de diagonais seja 
o quádruplo do número de lados.
III. Se a razão entre o número de diagonais e o de 
lados de um polígono é um número natural, então 
o número de lados do polígono é impar.
a) Todas as afirmações são verdadeiras
b) Apenas (I) e (III) são verdadeiras
c) Apenas (I) é verdadeira
d) Apenas (III) é verdadeira
e) Apenas (II) e (III) são verdadeiras
239.
Qual é a soma das medidas dos ângulos internos do 
polígono que tem o número de diagonais igual ao 
quádruplo do número de lados?
240.
Qual a razão entre a soma das medidas dos ângulos 
internos e a soma das medidas dos ângulos externos 
de um dodecágono convexo?
241.
Qual o polígono convexo que tem a soma dos ângulos 
internos excedendo a soma dos ângulos externos 
em 720°?
242.
Calcule a soma dos ângulos a, b, c, d, e indicados 
na figura.
243.
Calcule a razão, em graus, entre a soma das medidas 
dos ângulos internos e o número de diagonais de um 
octógono convexo.
244.
Qual a razão entre o número de diagonais e o número 
de lados de um icoságono convexo?
245.
Quais são os polígonos com os menores números de 
lados que têm a razão entre os números de diagonais 
igual a 
4
7 ?
246.
Os números de lados de três polígonos são ímpares 
e consecutivos. Sabendo que juntos eles têm 46 dia-
gonais, determine esses polígonos.
247.
Na figura abaixo, calcule o valor de a + b + c + d.
248.
Os números de lados de dois polígonos convexos têm 
razão 2. Juntos os ângulos internos dos dois polígonos 
totalizam 2.520°. Quais são esses polígonos?
249.
Os números de lados de três polígonos convexos 
são consecutivos. Sendo 1.620° a soma de todos os 
ângulos internos dos três polígonos, determine esses 
polígonos.
250.
Um polígono convexo tem y diagonais e a soma das 
medidas de seus ângulos internos é x°. Sendo y igual 
a 3% de x, determine x.
251.
Dividindo-se a diferença entre a soma das medidas dos 
ângulos internos e a soma das medidas dos ângulos 
externos de um polígono convexo pelo seu número de 
diagonais, obtêm-se 36°. Que polígono é esse?
140
252. ITA-SP
De dois polígonos convexos, um tem a mais que o 
outro 6 lados e 39 diagonais. Então, a soma total do 
número de vértices e de diagonais dos dois polígonos 
é igual a:
a) 63 
b) 65 
c) 66
d) 70
e) 77
253.
Calcule a soma dos ângulos assinalados na figura 
abaixo.
254.
Todos os ângulos internos de um polígono convexo 
têm medidas iguais, exceto um deles, que é menor em 
40°. Sendo ímpar o número de lados desse polígono, 
determine o seu número de diagonais.
255.
Dado um dodecágono regular ABCDE…, calcule:
a) a medida do ângulo externo;
b) a medida do ângulo interno;
c) o número de diagonais;
d) a medida do ângulo agudo formado pelos prolon-
gamentos dos lados AB e CD .
256. UFV-MG
Sabendo-se que num polígono regular a soma das 
medidas dos ângulos internos com as medidas dos 
ângulos externos é 900°, calcule:
a) o número de lados desse polígono;
b) o número de diagonais desse polígono;
c) a medida do ângulo interno desse polígono.
257.
Qual a razão entre as medidas dos ângulos internos e 
dos ângulos externos de um icoságono regular?
258. Mackenzie-SP
Os ângulos externos de um polígono regular me-
dem 20°. Então, o número de diagonais desse 
polígono é:
a) 90 
b) 104 
c) 119
d) 135
e) 152
259. FAAP-SP
A medida

Como calcular as diagonais de um polígono convexo?

O número de diagonais de um polígono é proporcional ao número de lados. Note que na figura A temos quatro vértices, então traçamos quatro diagonais, cada uma partindo de um vértice. Mas observe que a diagonal PR é a mesma RP, e a diagonal SQ é a mesma QS, então sempre dividiremos o número de diagonais por 2.

Qual é a medida de um ângulo interno de um polígono convexo que possui 230 diagonais?

Qual é a medida de um ângulo interno de um polígono convexo que possui 230 diagonais? Como o resultado não pode ser um número negativo, o polígono em questão apresenta 23 lados. Cada ângulo interno do polígono mede, aproximadamente, 164,35°.

Quais são as diagonais de um polígono convexo?

Dado um polígono convexo qualquer, diagonal é o segmento que une dois vértices não consecutivos (ou adjacentes). Exemplos: Um triângulo não possui diagonais, pois, como só possui três vértices, não é possível unir dois vértices não consecutivos.