O estudo dos ângulos é fundamental para compreender conceitos ligados a geometria, trigonometria, entre outros ramos da Matemática. O estudo dos ângulos é um dos responsáveis pelos avanços que possuímos atualmente em vários ramos, como a navegação e a astronomia. Um exemplo notável é o astrolábio náutico (inventado pelo grego Hiparco) usado para medir ângulos. Nos séculos V e VI, os navegadores construíram esse instrumento para medir a elevação das estrelas e do sol com o intuito de localizar suas embarcações. Mais tarde, o astrolábio deu origem ao sextante, mais simplificado, mas que cumpria a mesma função. Show
Conteúdo deste artigo
Definição de ânguloChama-se ângulo a região entre duas semirretas que partem de uma mesma origem. Podemos dizer, ainda que um ângulo é a medida da abertura de duas semirretas que partem da mesma origem. Indica-se: ∠AOB, ∠BOA, AÔB, BÔA ou Ô. O ponto "O" é o vértice do ângulo e as semirretas e são os lados do ângulo. Ângulos consecutivosDois ângulos são consecutivos se eles compartilham um mesmo lado, ou seja, se o lado de um, for também o mesmo lado do outro. Ângulos adjacentesDois ângulos consecutivos são adjacentes se, e somente se, não compartilham pontos internos, ou seja, não estão sobrepostos um ou outro. Congruência (≅)Para que ângulos possam ser considerados congruentes (iguais), devem satisfazer os seguintes postulados:
Adição de ângulosSe a semirreta OB é interna ao ângulo AÔC, o ângulo AÔC é a soma dos ângulos AÔB e BÔC. Assim: AÔC = AÔB + BÔC Bissetriz de um ânguloA bissetriz de um ângulo é a semirreta que parte do vértice do ângulo e o divide em dois ângulos congruentes (iguais). Formalmente falando, uma semirreta ob interna ao ângulo aôc, é bissetriz desse ângulo se, e somente se, aôb ≅ bôc. Ângulos opostos pelo vérticeDizemos que dois ângulos são opostos pelo vértice se as semirretas que os formam partem do mesmo vértice e são opostas aos lados do outro. Medida de um ângulo - amplitudeA medida de um ângulo é um número real positivo associado a ele, de forma que:
Chamamos a medida de um ângulo de amplitude. Unidades de medida de um ânguloGrau (°)A unidade principal de medida de um ângulo é o grau (°). 1° (um grau) equivale a de uma circunferência, ou seja, 1° corresponde a uma das 360 partes em que uma circunferência foi dividida. Assim, uma circunferência inteira possui 360°. Minuto ( ‘ )Quando queremos expressar medidas de ângulos menores que 1°, utilizamos a medida minuto ( ‘ ). Um minuto corresponde a de um grau, ou seja, 1 minuto (1’) corresponde a uma das 60 partes em que um ângulo de 1° foi dividido. Um grau possui 60 minutos (1º = 60'). Segundo ( '' )Quando queremos expressar medidas de ângulos menores que 1°, utilizamos a medida segundo ( '' ). Um segundo corresponde a de um minuto, ou seja, 1 segundo (1'') corresponde a uma das 60 partes em que um ângulo de 1' foi dividido. Um minuto possui 60 segundos (1' = 60''). GradoEsta medida não é muito usual. Um grado corresponde a de um grau, ou seja, 1 grado (1 gr) corresponde a 9 das 10 partes em que um ângulo de 1° foi dividido. Classificação de ângulosOs ângulos podem ser classificados de acordo com a sua medida. Ângulo agudo: ângulo com medida menor que 90º (0° < α < 90°). Ângulo reto: ângulo com medida igual a 90º.Ângulo obtuso: ângulo com medida maior que 90º (90° < α < 180°).Ângulo raso: ângulo com medida igual a 0º ou 180º.Ângulo Côncavo: ângulo com medida entre 180º e 360º. Ângulo completo ou de uma volta: ângulo com medida igual a 360°. Ângulos complementaresDizemos que dois ângulos são complementares quando a sua soma equivale a 90°. Ângulos suplementaresDizemos que dois ângulos são suplementares se, e somente se, a sua soma for igual a 180°. Ângulos replementaresDois ângulos são replementares quando a sua soma for igual a 360°. Retas paralelas cortadas por uma transversalDuas retas paralelas e distintas, r e s, cortadas por uma outra reta transversal t delimitam oito ângulos, como na figura. Esses ângulos serão suplementares ou congruentes. Nesses casos, podemos atribuir alguns nomes especiais, veja: Correspondentes: Alternos: Colaterais: Exemplos 1. Um ângulo excede o seu complemento em 48°. DETERMINE o suplemento desse ângulo. Seja x o ângulo procurado e y o seu complemento. x = 48 + y. Como x e y são complementares, x + y = 90. Assim, y = 90 – x. Então x = 48+(90-x) x = 48+90-x x = 138-x 2x = 138 x = 138/2 = 69º Então, 69° somado com seu suplemento deve ser igual a 180°. Assim, o suplemento será 180°- 69° = 111°. 2. (FUVEST-SP). Na figura a seguir, as retas r e s são paralelas, o ângulo 1 mede 45° e o ângulo 2 mede 55°. A medida, em graus, do ângulo 3 é:
Traçando uma reta paralela as retas r e s, cortando o ângulo 3, temos: Agora, o ângulo 3 está dividido em dois outros ângulos. Note que os ângulos 1 e a parte superior do ângulo 3 são ALTERNOS INTERNOS, ou seja são iguais. Assim, a parte superior do ângulo 3 é igual a 45° O mesmo acontece com os ângulos 2 e a parte inferior do ângulo 3. Assim, o ângulo inferior de 3 será igual a 55° Juntando os dois ângulos, teremos o ângulo 3. Assim, o ângulo 3 mede 45°+55° = 100° Alternativa E. Referências: DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau. Fundamentos de Matemática Elementar. Geometria Plana. Vol. 9. São Paulo: Atual, 1995. RIBEIRO, Paulo Vinícius. Matemática: Noções primitivas de geometria plana. Vol. 1. São Paulo: Bernoulli. Texto originalmente publicado em https://www.infoescola.com/matematica/angulos/ Qual é a relação existente entre as medidas dos ângulos internos α é β dessas figura?Sendo assim, diretamente da definição, temos que: como α e β são ângulos internos dos polígonos semelhantes, então eles são iguais. Consequentemente, teremos então: α = β e a relação existente entre as medidas dos ângulos internos será α/β = 1.
Qual é a relação existente entre as medidas dos ângulos internos?A soma dos ângulos internos de um polígono é dada pela expressão: S = (n – 2 )*180º, onde n = número de lados. Para calcular o valor de cada ângulo é preciso dividir a soma dos ângulos internos pelo número de lados do polígono.
Qual é a relação entre as medidas dos lados entre os ângulos desse polígono?Em todo polígono, o número de lados é igual ao número de ângulos.
Qual a relação entre o ângulo interno é externo de um mesmo vértice de um polígono?Em um mesmo vértice, os ângulos interno e externo do polígono são sempre adjacentes e suplementares.
|