Qual é o polígono convexo cujo número de diagonais é igual ao triplo do número de lados?

Exercícios

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Um polígono é uma figura geométrica formada por segmentos de reta ligados um ao outro pelo seu ponto inicial e final. Para ser polígono, a figura deve ser fechada e os segmentos de reta que a compõem não podem se cruzar.

São elementos pertencentes ao polígono:

1 – Segmentos de reta chamados de lados. Na figura, eles são AB, BC, … e HA;

2 – Pontos de encontro entre esses lados, isto é, os vértices. Na figura, são os pontos A, B, … e H;

3 – Ângulos internos do polígono. Na figura, é o ângulo de 135°;

4 – Ângulos externos do polígono. Na figura, é o ângulo de 45°;

5 – Diagonais. Na figura, são os segmentos pontilhados.

A figura acima mostra que, partindo do vértice F, podem ser construídas cinco diagonais. Não podem ser construídas mais que cinco porque a diagonal é um segmento de reta que se inicia em um vértice de um polígono e termina em outro vértice não consecutivo ao vértice inicial do mesmo polígono.

Dessa forma, para desenhar todas as diagonais de um polígono, basta ligar todos os seus vértices. Aqueles que já são lados não podem ser considerados diagonais. A figura seguinte mostra pontilhadas todas as diagonais de um octógono.

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Para saber quantas diagonais determinado polígono possui, podemos desenhá-las e contá-las ou apenas utilizar a fórmula para calcular o número de diagonais de um polígono:

D = n(n – 3)
      2

*n é o número de lados do polígono.

Vamos testar a funcionalidade dessa fórmula. Vejamos o número de diagonais do quadrado:

Um quadrilátero possui apenas duas diagonais. Vamos utilizar a fórmula para verificar essa informação:

D = 4(4 – 3)
      2

D = 4·1
      2

D = 2

Vejamos para o pentágono:

Um pentágono possui cinco diagonais. Vejamos se a fórmula resulta nesse mesmo número:

D = 5(5 – 3)
      2

D = 5·2
      2

D = 10
      2

D = 5

Vale ressaltar que desenhar um polígono que possui 25 lados não é tarefa fácil e desenhar suas 275 diagonais é uma tarefa mais difícil ainda. A contagem dessas diagonais pode ser muito confusa, mas o cálculo é exato e não oferece margem de erro.

D = 25(25 – 3)
      2

D = 25·22
     2

D = 25·11

D = 275

Matemática

Esta é uma abordagem simples de como determinar quantas diagonais são possíveis traçar num polígono convexo sem ter que propriamente traçá-las, mas apenas sabendo o número de lados do polígono.

Definição $1$: Diagonal de um polígono é o segmento de reta que une dois de seus vértices não-consecutivos.

Tomando um quadrilátero qualquer, vemos que parte apenas uma diagonal de cada vértice. Por exemplo, do vértice $A$, parte apenas a diagonal $\overline{AC}$:

Tomando um pentágono, temos, por exemplo, que do vértice $A$ partem duas diagonais: $\overline{AC}$ e $\overline{AD}$:

Já para um hexágono, temos, por exemplo, que do vértice $A$ partem três diagonais: $\overline{AC}$, $\overline{AD}$ e $\overline{AE}$:

O que queremos é encontrar uma forma de determinar a quantidade de diagonais sem ter que traçá-las no polígono. Vejam que para um polígono de $4$ lados, temos $1$ diagonal partindo de um vértice; para um polígono de $5$ lados, temos $2$ diagonais partindo de um vértice; para um polígono de $6$ lados temos $3$ diagonais partindo de um vértice. Vejam que o número de diagonais que parte de um vértice é igual à quantidade de lados do polígono menos $3$. E para um polígono de $N$ lados, teremos $N-3$ diagonais partindo de um vértice. Assim, podemos montar uma pequena tabela:

Como o número de vértices é igual ao número de lados do polígono, segue que teremos, com extremidade nos $N$ vértices:

\begin{equation}
N\cdot (N-3) \: \text{diagonais}
\end{equation}

No entanto, como cada diagonal tem extremidades em dois vértices, cada diagonal é contada duas vezes, por exemplo no quadrilátero, temos que as diagonais $\overline{AC}= \overline{CA}$, representam a mesma diagonal. Então, basta dividirmos por dois:

\begin{equation}
d=\frac{N(N-3)}{2}
\end{equation}
Para ilustrarmos esse fato, observamos as imagens abaixo:

Podemos montar uma tabela:

Exemplo $1$: Calcular o número de diagonais de um polígono de $256$ lados.

Fazemos:
\begin{equation*}
d=\frac{N(N-3)}{2}=\frac{256(256-3)}{2}=32.384
\end{equation*}
Portanto, há $32.384$ diagonais num polígono de $256$ lados.

Exemplo $2$: Qual é o polígono cujo número de diagonais é o quíntuplo do  número de lados?

Temos que $d=5N$. Então, fazemos a substituição:
\begin{equation*}
\frac{N(N-3)}{2}=5N\Rightarrow N^2-3N=10N \Rightarrow N^2-13N=0 \Rightarrow N(N-13)=0
\end{equation*}

Daqui, concluímos que ou $N=0$ ou $N=13$. Mas, não faz sentido um polígono de $0$ lados, logo tomamos $N=13$ como solução. Assim, o polígono procurado é um tridecágono.

Montemos uma tabela para relembrarmos os nomes dos polígonos:

Exemplo $3$: A diferença entre o número de diagonais de dois polígono é $85$ e o número de lados de um é o triplo de número de lados do outro. Quais são estes polígonos?

Dizemos que $d_1$ é o número de diagonais do polígono de $N_I$ lados e $d_2$ o número de diagonais do polígono de $N_{II}$ lados. Podemos retirar do problema as seguintes informações:

\begin{equation*}
\left\{\begin{matrix}
d_2-d_1=85\\
N_2=3N_1
\end{matrix}\right.
\end{equation*}

Temos que:

\begin{matrix}
d_1=\frac{N_I(N_I-3)}{2} \: \text{e} \: d_2=\frac{N_{II}(N_{II}-3)}{2}
\end{matrix}

Substituindo $d_1$ e $d_2$ na primeira equação do sistema acima, obtemos:

\begin{matrix}
d_2-d_1=85\\
\frac{N_{II}(N_{II}-3)}{2}-\frac{N_I(N_I-3)}{2}=85\\
\frac{N^2_{II}-3N_{II}}{2}-\frac{N^2_I+3N_I}{2}=85\\
N^2_{II}-3N_{II}-N^2_I+3N_I=170
\end{matrix}

Mas $N_{II}=3N_I$, assim:

\begin{matrix}
(3N_I)^2-3(3N_I)-N_I^2+3N_I=170\\
9N_I^2-9N_I-N_I^2+3N_I=170\\
8N_I^2-6N_I-170=0\\
4N_I^2-3N_I-85=0\\
N_I=\frac{3\pm \sqrt{9+1360}}{8}\\
N_I=\frac{3\pm 37}{8}\\
N_{I_1}=5\\
N_{I_2}=-34/8
\end{matrix}

A raiz negativa não nos interessa e o que procuramos é a raiz positiva $5$. Assim, fazemos:

\begin{equation*}
N_{II}=3N_I \Rightarrow 3\cdot 5=15
\end{equation*}

Desta forma, os polígonos procurados são o pentágono e o pentadecágono.

Referências:

$[1]$ Fundamentos da Matemática - Ismael Reis - $7^a$ - Ed. Moderna

Veja mais:

Soma dos Ângulos Internos e Externos de um Polígono Convexo
O Ângulo Interno de um Polígono Regular
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