Quando a produtividade marginal igual a produtividade média?

Toda empresa, para gerar lucro precisa necessariamente gerar um equilíbrio entre as receitas de vendas e os custos dos produtos ou serviços. Para entender melhor isso foi criado o conceito de produtividade marginal.

Todos os gestores de uma empresa precisam saber qual a produtividade marginal do seu negócio, pois no final das contas se os custos da empresa excedem a receita de vendas, a companhia perde dinheiro.

Portanto, podemos dizer que a produtividade marginal é um conceito econômico que os gerentes de negócios podem usar para ajudar a determinar quanto gastar na produção objetivando sempre maximizar os lucros.

Segundo essa teoria, uma empresa só deve adicionar custos variáveis desde que os mesmos tragam valor para o negócio.

Por exemplo, a força de trabalho é um custo variável necessário para a produção de mercadorias. Contratar muitos funcionários pode ter um impacto bastante limitado do lado da receita, porém adicionar muitos custos à companhia.

Princípio básico da produtividade marginal

A produtividade é a quantidade de saída que uma empresa pode produzir com uma determinada entrada. Por exemplo, se uma empresa tem 10 trabalhadores que produzem 200 unidades de um determinado produto por dia, a produtividade dessa empresa pode ser descrita como 20 unidades de produção por trabalhador.

Dessa forma, podemos então dizer que a produtividade marginal é a quantidade de produção obtida pela adição de uma unidade extra de entrada.

Um exemplo disso é quando uma empresa contrata um trabalhador adicional e a sua produção aumenta para 225 unidades, pois sua produtividade no trabalho adiciona 25 unidades de produção ao adicionar uma unidade de insumo (o próprio trabalhador).

Desse modo, podemos dizer que a equação do referido conceito se resume na seguinte fórmula:

• Pmg = ∆Y /∆X

Sendo que:

• Pmg = produtividade marginal;
• ∆Y = variação de saída;
• ∆X = variação de entrada.

Citando agora outro exemplo, digamos que uma empresa possua 10 trabalhadores que no total produzam 500 camisas em um determinado intervalo de tempo. Quando adicionamos um novo trabalhador, a mesma empresa passará a produzir 505 peças. Então qual será a produtividade do insumo adicional:

505 – 500 = 5 unidades de saída;

11 – 10 = 1 unidade de entrada;

5 / 1 = 5 blusas/por trabalhador adicional.

Maximizando o lucro com a produtividade marginal

Antes de tudo é preciso entender dois conceitos básicos para saber como maximizar os lucros de uma empresa:

1. Custo marginal: o aumento nos custos associados à adição de uma unidade extra de entrada é chamado de custo marginal.
2. Receita marginal: é a quantidade de receita que uma empresa ganha quando adiciona uma unidade extra de entrada.

Os gerentes de negócios podem usar esse conceito de produtividade de modo a determinar a quantidade ideal de funcionários e equipamentos a serem usados pela empresa.

Uma empresa pode maximizar os seus lucros continuando a adicionar mais insumos até que o custo marginal seja igual à receita marginal.

Por exemplo, se uma companhia ganha R$ 1250,00 em receita a um custo de R$ 1000,00 para contratar um trabalhador extra, ela deve então contratar outro trabalhador, pois essa atitude gerará um ganho líquido de R$ 250,00.

Obviamente que isso tem limite, pois o custo marginal nunca deverá ser superior a receita marginal, sobre pena de a empresa começar a gerar prejuízos.

Portanto devemos ter em mente que o conceito de produtividade marginal é extremamente relevante dentro das companhias. Além disso, ele nunca deverá ser negligenciado por um gerente financeiro que esteja sempre à procura de maximizar os lucros de um negócio.

A função de produção de Alexei, representada graficamente na Figura 1, descreve como suas horas diárias de estudo se traduzem em nota final. Vimos que o produto marginal é dado pela inclinação da função em cada ponto, e o produto médio, pela inclinação do raio que parte da origem. Agora vamos ver como descrever matematicamente os produtos marginal e médio.

Figura 1 Como a quantidade de tempo de estudo afeta a nota final de Alexei?

Uma representação matemática geral desta relação é:

em que é a nota final (o produto de Alexei) e é o total de horas diárias de estudo (o insumo). é a função de produção.

Quando Alexei estuda horas por dia, seu produto médio do trabalho (PMeT) é calculado dividindo sua nota final pelo número de horas que ele dedicou aos estudos:

Este é o número médio de pontos na nota final por hora de estudo diária: no diagrama, é a inclinação do raio que parte da origem.

Definimos o produto marginal do trabalho (PMgT) de Alexei como o acréscimo na nota final que se obtém ao aumentar o tempo de estudo em uma hora. Mais precisamente, essa é a taxa pela qual sua nota aumenta à medida que o tempo de estudo cresce, o que corresponde à inclinação da função de produção.

Para ver esta correspondência, suponha que Alexei estuda horas por dia. Para encontrar seu produto marginal, consideramos como sua nota final se alteraria se ele aumentasse seu tempo de estudo em horas. Se a nota final aumentar em , então a variação na nota por unidade adicional de tempo de estudo é:

Como tende a zero, esta fração tende à derivada da função. Assim, podemos escrever:

que é a inclinação da função de produção. Em outras palavras, o produto marginal de Alexei quando ele estuda horas é dado pela derivada da função de produção:

Esta é a definição matemática de produto marginal. Nos próximos Leibnizes, iremos utilizar definições de quantidades marginais deste tipo. No Capítulo 2, calculamos o produto marginal descobrindo qual é o acréscimo no produto quando o insumo aumenta em uma unidade — o que é uma boa aproximação da definição de produto marginal se as unidades adicionais forem suficientemente pequenas. Por exemplo, na Figura 1, as unidades são as horas, e temos 24 horas no eixo horizontal. O aumento no produto quando o insumo aumenta em uma hora é, a grosso modo, uma aproximação da inclinação. No entanto, se utilizarmos minutos no eixo horizontal e calcularmos o aumento no produto quando o insumo aumenta em um minuto, a aproximação obtida seria então bastante próxima da inclinação desta função.

Exemplo

Uma função de produção com propriedades semelhantes às da função representada na Figura 1 é dada por:

em que e , constantes tais que e , determinam a localização exata e a curvatura da função de produção. Explicamos abaixo por que deve estar entre 0 e 1. Note que esta função tem as propriedades típicas de uma função de produção: quando e quando é positiva, o produto também é positivo.

A restrição garante que a função de produção é crescente para todo valor (dependendo do seu conhecimento sobre potências, talvez isto seja óbvio, mas iremos prová-lo abaixo ao mostrar que o produto marginal é positivo). Isto significa que a função não é uma reprodução exata da função na Figura 1, que é constante (plana) para .

Então, o produto médio do trabalho é:

O produto marginal do trabalho é a derivada da função de produção:

Note que podemos reescrever PMgT como:

Sabemos que, quando é positivo, é positivo também. Assim, nesta equação, você pode facilmente perceber que implica que o produto marginal do trabalho é positivo — em outras palavras, a nota final de Alexei aumenta à medida que o número de horas de estudo aumenta.

E a restrição ? Como o produto médio do trabalho é e o produto marginal do trabalho é , é a razão entre o produto marginal e o produto médio. Sendo assim, nossa premissa de que significa que o produto marginal do trabalho é menor do que o produto médio do trabalho. Você pode observar isto na Figura 1, ao comparar o PMgT (a inclinação da curva) e o PMeT (a inclinação do raio que parte da origem) mostrados no ponto em que .

Esta propriedade da função de produção implica que, não importa quantas horas de estudo Alexei escolha, o aumento na nota final que ele obtém com uma hora extra de estudo será menor do que a média de pontos na nota por hora de estudo obtida até então.

Leia mais: Seção 6.1 e Seção 6.4 de Malcolm Pemberton and Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4ª ed. Manchester: Manchester University Press.

Quando a produtividade marginal é igual a produtividade média?

Quando a produtividade marginal é maior que a produtividade média?

Quando se afirma que a produtividade média do fator variável Iguala

Quando a produtividade marginal é maior que a produtividade média está é decrescente?