No lançamento de um dado qual a probabilidade de o resultado ser um número ímpar

Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)

Dois números distintos do conjunto [tex]\{1, 2, 3, 4, 5\}[/tex] são selecionados ao acaso e depois multiplicados. Qual é a probabilidade de o produto destes dois números ser par?

Solução 1

Inicialmente, lembre-se de que o produto de dois números será par se pelo menos um dos números for par; e, será ímpar, se nenhum dos dois números selecionados for par, ou seja, se os dois forem ímpares. Vamos utilizar a chamada probabilidade complementar para resolver este problema. Para tanto, precisaremos calcular qual a probabilidade de o produto dos dois números selecionados ser ímpar e já sabemos que isso acontecerá quando esses números forem ímpares.

Lembrando que, neste caso, a probabilidade é dada pelo “número de casos favoráveis” dividido pelo “número total de casos”, como:

[tex]\binom{3}{2}[/tex] é o número de formas de escolher dois dentre os três números ímpares que temos disponíveis;
[tex]\binom{5}{2}[/tex] é o número de formas de escolher dois dentre os cinco números que temos no conjunto;

então, a probabilidade de o produto ser ímpar é dada por: [tex]\qquad \dfrac{\binom{3}{2}}{\binom{5}{2}}=\dfrac{3}{10}=0,3[/tex].

Portanto, a probabilidade de o produto ser par é dada por [tex]1-0,3=0,7[/tex], ou seja, [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$70\%$} \, [/tex].

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Solução 2

Se você ainda não aprendeu número binomial e combinações, você pode simplesmente listar e contar os casos possíveis e os favoráveis necessários para o cálculo da probabilidade pedida no problema, já que temos um conjunto com poucos elementos: apenas cinco.

Casos possíveis: Quantos pares de números distintos podemos formar com os números [tex]1, 2, 3, 4, 5[/tex] ?
Vamos listar esses pares e contá-los; vejamos.

[tex]\boxed{\textcolor{red}{1 \, e \, 2}}[/tex] ; [tex]\boxed{\textcolor{red}{1 \, e \, 3}}[/tex] ; [tex]\boxed{\textcolor{red}{1 \, e \, 4}}[/tex] ; [tex]\boxed{\textcolor{red}{1 \, e \, 5}}[/tex] .
[tex]\boxed{\textcolor{blue}{2 \, e \, 3}}[/tex] ; [tex]\boxed{\textcolor{blue}{2 \, e \, 4}}[/tex] ; [tex]\boxed{\textcolor{blue}{2 \, e \, 5}}.[/tex]
[tex]\boxed{\textcolor{green}{3 \, e \, 4}}[/tex] ; [tex]\boxed{\textcolor{green}{3 \, e \, 5}}.[/tex]
[tex]\boxed{\textcolor{#800000}{4 \, e \, 5}}.[/tex]

[tex]\qquad \textcolor{red}{1 \, \, \begin{cases} 2\\ 3\\ 4\\ 5 \end{cases}} \qquad \textcolor{blue}{2 \, \, \begin{cases} 3\\ 4\\ 5 \end{cases}} \qquad \textcolor{green}{3 \, \, \begin{cases} 4\\ 5 \end{cases}} \qquad \textcolor{#800000}{4 \, \, \begin{cases}

5 \end{cases}}\qquad [/tex]

Podemos, então, formar [tex]\boxed{NP=10}[/tex] pares de números, no total.

Casos favoráveis: Queremos dois números cujo produto seja par e já sabemos que isso significa que um dos dois números a serem escolhidos é necessariamente par.
Assim, vamos listar os pares de números com, pelo menos, um número par e contá-los; vejamos.

[tex]\boxed{\textcolor{red}{2 \, e \, 1}}[/tex] ; [tex]\boxed{\textcolor{red}{2 \, e \, 3}}[/tex] ; [tex]\boxed{\textcolor{red}{2 \, e \, 4}}[/tex] ; [tex]\boxed{\textcolor{red}{2 \, e \, 5}}[/tex].
[tex]\boxed{\textcolor{blue}{4 \, e \, 1}}[/tex] ; [tex]\boxed{\textcolor{blue}{4 \, e \, 3}}[/tex] ; [tex]\boxed{\textcolor{blue}{4 \, e \, 5}}[/tex]

[tex]\qquad \textcolor{red}{2 \, \, \begin{cases} 1\\ 3\\ 4\\ 5 \end{cases}} \qquad \textcolor{blue}{4 \, \, \begin{cases} 1\\ 3\\

5 \end{cases}}\qquad [/tex]

Podemos formar apenas [tex]\boxed{NF=7}[/tex] pares de números com um deles necessariamente par.

Portanto, como a probabilidade de o produto ser par é dada pelo quociente entre número de casos favoráveis, [tex]NF=7[/tex], e número de casos possíveis, [tex]NP=10[/tex], nessa ordem, temos: [tex]\qquad P=\dfrac{NF}{NP}=\dfrac{7}{10}=0,7[/tex].

Portanto, a probabilidade de o produto ser par é [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$70\%$} \, [/tex].

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Probabilidade - Conceito de Probabilidade

Experimento Aleatório

Quando estudamos Probabilidade, chamamos qualquer experiência ou ensaio cujo resultado não pode ser previsto de experimento aleatório. Por exemplo, lançar um dado e observar o número da face voltada para cima.

Chama-se de espaço amostral o conjunto formado por todos os resultados possíveis na realização de um experimento aleatório.

Evento é qualquer subconjunto do espaço amostral. Um exemplo de um evento é obter cara (ou coroa) no lançamento de uma moeda.

A probabilidade de um evento é definida como:

Ou seja,

onde n(A) é o número de possibilidades de ocorrência do evento A e n(W) é o número de elementos do conjunto W (espaço amostral).

Exemplo

No lançamento de um dado qual é a probabilidade de sair um número par?

Num dado, há três possibilidades de número par: 2, 4, 6.

Portanto, A = (2, 4, 6)

Um dado contém 6 números. Portanto, o número de elementos do conjunto W (espaço amostral) é 6:

W=(1, 2, 3, 4, 5, 6)

Note que

Probabilidade de eventos independentes

Dois eventos, A e B, são chamados de independentes quando a ocorrência de um evento não tem qualquer efeito sobre o outro. Por exemplo, se lançarmos um dado duas vezes, a probabilidade de sair o número 4 no primeiro lance é 1/6. A probabilidade de sair o número 5 no segundo lance também é 1/6. O resultado do primeiro lance não afeta o resultado do segundo. Os dois lances – esses dois eventos – são independentes.

Se dois eventos, A e B, são independentes, a probabilidade de ambos ocorrerem é o produto da probabilidade individual de cada um.

Isto é: P (A e B) = P(A) x P (B).

Exemplo

Um único dado é lançado duas vezes. Qual a probabilidade de sair o número 5 em ambos os lances?

Resposta

A probabilidade que saia o número 5 no primeiro lance é 1/6. Este resultado não afeta o resultado do segundo lance, pois são eventos independentes. A probabilidade que saia o número 5 no segundo lance também é 1/6. Portanto, a probabilidade que saia dois 5s consecutivos é: 1/6 x 1/6 = 1/36.

Probabilidade de eventos exclusivos

Dois eventos, A e B, são mutuamente exclusivos se eles não puderem ocorrer simultaneamente: P (A e B) = 0.

Se dois eventos são mutuamente exclusivos (A ou B), a probabilidade que A ou B ocorra é definida como a soma de suas probabilidades.

Isto é: P(A ou B)= P(A)+P(B).

Exemplos

Se um dado é lançado uma só vez, qual a probabilidade que saia 5 ou 6?

Resposta

Toda vez que se lança um dado, sai apenas um número. Não é possível que num único lance saia dois números simultaneamente. Neste exemplo, os dois eventos (sair 5 e sair 6) são mutuamente exclusivos. A probabilidade que saia 5 é 1/6. A probabilidade que saia 6 também é 1/6. A probabilidade que saia 5 ou 6 é: 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3.

Probabilidade de ocorrer a união de eventos

Dois eventos, A e B, são inclusivos quando é possível que ocorra A, B ou ambos. Se dois eventos, A e B, são inclusivos, a probabilidade que ocorra A ou B é a soma de suas probabilidades menos a probabilidade que ambos ocorram.

Isto é: P (A ou B ou ambos) = P(A) + P (B) – P (A e B)

Exemplo

Se um dado é lançado, qual é a probabilidade de se obter um número par ou um número maior que 3?

Resposta

Quando um dado é lançado, é possível que saia um número par e é possível que saia um número maior que 3. Mas é também possível que saia um número que seja par e acima de 3. Por exemplo, o número 4 é par e maior que o número 3.

A probabilidade de se obter um número par é 1/2 (há 3 números pares e 3 números impares).

A probabilidade de se obter um número acima de 3 é 1/2, pois há 3 possibilidades: os números 4, 5 ou 6.

A probabilidade de se obter um número que é par e acima de 3 é 1/3, já que há duas de seis possibilidades: 4 e 6. (O número 5 não é par e os outros números são menores que 3).

Portanto, a probabilidade de se obter um número que seja par ou acima de 3 é:

P(número par ou acima de 3 ou ambos): 1/2 +1/2 - 1/3 = 2/3.

Probabilidade Condicional

Agora considere dois eventos, A e B, e a probabilidade de ocorrer o evento B é afetada pela ocorrência do evento A. Neste caso, ocorre probabilidade condicional.

A probabilidade condicional de que o evento B ocorra se o evento A ocorrer, é definida da seguinte forma:

Exemplo

Uma confeitaria produziu 160 sobremesas. 80 dessas sobremesas contêm chocolate, 60 contêm chantili e 20 contêm ambos. Se uma sobremesa for selecionada randomicamente, qual é a probabilidade de ela conter chocolate? Qual é a probabilidade de a sobremesa conter chocolate e chantili sendo que ela já contém chantili?

Resposta

A probabilidade de a sobremesa conter chocolate é:

P(chocolate) = 100/160 = 5/8

O fato de a sobremesa já conter chantili reduz o espaço amostral para 60 (há 60 sobremesas que contêm chantili). Neste grupo, há 20 sobremesas que contêm chocolate e chantili; portanto, a probabilidade de que seja selecionada uma sobremesa que contenha esses dois ingredientes é 20/60 = 1/3.

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