Como faço para descobrir o ângulo de um triângulo?

Question

Um triângulo é uma figura geométrica que possui três lados, três ângulos e três vértices. Os triângulos possuem diversas propriedades, uma delas diz respeito aos seus ângulos internos: independentemente das dimensões do triângulo, do seu formato, do comprimento de seus lados ou da medida de seus ângulos internos, a soma desses ângulos internos sempre será igual a 180°.

Em outras palavras, se ABC é um triângulo, e a, b e c são seus ângulos internos, como podemos exemplificar com a imagem a seguir:

Então, podemos escrever corretamente a soma:

a + b + c = 180°

Geralmente, essa igualdade não é usada para descobrir que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°, mas sim para determinar a medida de um dos ângulos internos de um triângulo, quando as medidas dos outros dois são conhecidas.

Exemplo: Qual a medida do terceiro ângulo interno de um triângulo que possui dois ângulos internos iguais a 30° e a 90°?

Solução:

30° + 90° + x = 180°
x = 180° – 30° – 90°
x = 60°

O terceiro ângulo mede 60°.

Demonstração

Considere o triângulo ABC, com ângulos a, b e c, como o da figura a seguir:

Construa sobre o ponto C uma reta paralela ao lado AB desse triângulo.

Reta paralela ao lado AB no triângulo ABC

Observe que os lados AC e BC podem ser encarados como retas transversais, que cortam as duas retas paralelas. Os ângulos x e y formados nessa construção são, respectivamente, alternos internos com os ângulos a e b. Assim, x = a e y = b.

Agora, note que a soma x + c + y = 180°, pois os três ângulos são adjacentes e seus limites são a reta paralela ao lado AB. Assim, substituindo os valores de x e y, teremos:

a + b + c = 180°

Exemplos:

1º Exemplo – Determine a medida de cada um dos três ângulos internos do triângulo a seguir.

Solução:

Sabendo que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°, basta fazer:

x + 2x + 3x = 180°
6x = 180°
x = 180°
6
x = 30°

Como os ângulos internos são múltiplos de x, cada um deles mede:

x = 30°,
2x = 60° e
3x = 90°

2º Exemplo – Um triângulo tem um de seus ângulos internos com a medida exatamente igual ao triplo das medidas dos outros dois, que são congruentes. Quanto mede cada um dos ângulos internos desse triângulo?

Solução:

Para resolver esse problema, considere que os dois ângulos congruentes medem x e o outro ângulo mede 3x. Como a soma dos ângulos internos é igual a 180°, teremos:

x + x + 3x = 180°
5x = 180°
x = 180°
5
x = 36°.

Como x é a medida dos dois ângulos congruentes, já sabemos que eles medem 36°. O terceiro ângulo é o triplo disso, portanto, mede:

3x = 3·36 = 108°

Videoaula relacionada:

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Todos os triângulos retângulos possuem um ângulo reto (90 graus), e a hipotenusa representa o lado oposto a esse ângulo.[1] Ela nada mais é do que o lado mais extenso do triângulo, sendo bastante simples encontrar sua medida com o uso de alguns métodos diferentes. Este artigo o ensinará a descobrir o comprimento da hipotenusa com o teorema de Pitágoras, sendo conhecidos os comprimentos dos outros lados do triângulo. A seguir, ele o ensinará a reconhecer a hipotenusa de alguns triângulos retângulos especiais, que aparecem frequentemente em exames acadêmicos. Por fim, ele mostrará como descobrir o comprimento da hipotenusa usando a Lei dos Senos quando você apenas conhecer a medida de um dos lados e, ainda, de um ângulo adicional.

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Aprenda o teorema de Pitágoras. O teorema de Pitágoras descreve a relação entre os lados de um triângulo retângulo.[2] Ele afirma que, para qualquer triângulo retângulo com lados de comprimento a e b, e hipotenusa de comprimento c, a2 + b2 = c2.[3]
2
Primeiro: verifique se é mesmo um triângulo retângulo. O teorema de Pitágoras apenas tem efeito em triângulos retângulos e, por definição, apenas triângulos retângulos possuem uma hipotenusa. Se o seu triângulo possui um ângulo com exatos 90 graus, ele é um triângulo retângulo, e você pode continuar.
- Ângulos retos são frequentemente notados em livros didáticos e provas acadêmicas com um pequeno quadrado no canto do ângulo. Essa marcação especial representa a indicação "90 graus".
3
Defina as variáveis a, b e c aos lados do triângulo. A variável "c" representará sempre a hipotenusa, ou o lado de maior extensão. Escolha um dos outros lados para ser a e dê ao outro a denominação b (a ordem é irrelevante, pois o resultado será o mesmo). A seguir, insira os comprimentos de a e b na fórmula, de acordo com o seguinte exemplo:
- Se o seu triângulo tem lados de comprimento 3 e 4, e você definiu letras para esses lados, como a = 3 e b = 4, pode-se escrever a equação da seguinte maneira: 32 + 42 = c2.
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Descubra os quadrados de a e b. Para encontrar o quadrado de um número, basta multiplicá-lo por si mesmo, de modo que a2 = a × a. Descubra os quadrados de a e b, a seguir inserindo-os na fórmula.
- Se a = 3, a2 = 3 × 3, ou 9. Se b = 4, b2 = 4 × 4, ou 16.
- Quando você insere esses valores na equação, ela deverá ser escrita da seguinte forma: 9 + 16 = c2.
DICA DE ESPECIALISTA
Grace Imson é professora de matemática com mais de 40 anos de experiência. Atua hoje no City College of San Francisco e integrou o Departamento de Matemática da Saint Louis University. Ensinou matemática em todos os níveis de ensino. Possui Mestrado em Educação, especialização em Administração e Supervisão pela Saint Louis University.
Grace Imson, MA
Professora de Matemática, City College of San Francisco
Um erro comum é esquecer de elevar ao quadrado os termos. No teorema de Pitágoras, todos os três termos devem estar ao quadrado. Muitas pessoas esquecem de encontrar o quadrado antes de fazer a soma de "a" + "b", mas isso ocasiona uma resposta errada.
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Some os valores de a2 e b2. Insira esses valores em sua equação, e você terá o valor de c2. Há apenas mais um passo para tomar, e você terá descoberto o valor da hipotenusa!
- Em nosso exemplo, 9 + 16 = 25, e você concluirá que 25 = c2.
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Descubra a raiz quadrada de c2. Use a função para raiz quadrada de sua calculadora (ou a sua memória com respeito à tabela de multiplicação) para descobrir a raiz quadrada de c2. A resposta será o comprimento de sua hipotenusa!
- Em nosso exemplo, c2 = 25. A raiz quadrada de 25 é 5 (5 × 5 = 25, de modo que √25 = 5). Isso significa que c = 5, o comprimento de nossa hipotenusa!
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Aprenda a reconhecer os triângulos com trios pitagóricos. Os comprimentos dos lados de um triângulo com triplos pitagóricos são números que se adéquam perfeitamente ao teorema de Pitágoras. Esses triângulos especiais aparecem frequentemente em livros de geometria e em exames padronizados, como o vestibular e o ENEM. Se você memorizar os primeiros trios pitagóricos, em particular, será possível poupar bastante tempo nesses exames, uma vez que você será capaz de saber imediatamente o tamanho da hipotenusa apenas observando o tamanho dos lados do triângulo![4]
- O primeiro trio pitagórico é 3-4-5 (32 + 42 = 52, 9 + 16 = 25). Quando você notar um triângulo retângulo com catetos de comprimentos 3 e 4, é possível estar certo de que a hipotenusa terá comprimento 5, sem realizar qualquer cálculo.
- A razão de um trio pitagórico se mantém mesmo quando os catetos são multiplicados por outro número. Por exemplo, um triângulo retângulo com catetos de comprimentos 6 e 8 terão uma hipotenusa de 10 (62 + 82 = 102, 36 + 64 = 100). O mesmo é verdade para 9-12-15 e até mesmo para 1,5-2-2,5. Faça os cálculos e veja por conta própria!
- O segundo trio pitagórico que aparece comumente é 5-12-13 (52 + 122 = 132, 25 + 144 = 169). Esteja também atento para múltiplos, como 10-24-26, e divisores, como 2,5-6-6,5.
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Memorize as proporções de um triângulo retângulo 45-45-90. Um triângulo retângulo 45-45-90 possui ângulos de 45, 45 e 90 graus, sendo também chamado de triângulo retângulo isósceles. Ele aparece com frequência em exames padronizados e é um triângulo bastante fácil de ser resolvido. A razão entre os lados desse triângulo é igual a 1:1:√2, o que significa que o comprimento dos catetos é igual, sendo a hipotenusa igual ao comprimento de um cateto vezes a raiz quadrada do comprimento conjunto de ambos.
- Para calcular a hipotenusa desse triângulo com base no comprimento de um dos catetos, apenas multiplique o comprimento de um cateto por √2.
- Conhecer essa proporção é especialmente útil quando a questão do exame lhe dá os comprimentos dos catetos em termos de variáveis em vez de números.
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Aprenda as proporções de catetos de um triângulo 30-60-90. Esse triângulo possui ângulos de 30, 60 e 90 graus, sendo facilmente obtido ao se cortar um triângulo equilátero ao meio. Os lados de um triângulo retângulo 30-60-90 sempre manterão a proporção 1:√3:2 ou x:√3x:2x. Se lhe for dado o comprimento do cateto de um triângulo retângulo 30-60-90 e o problema pedir o comprimento da hipotenusa, será simples descobri-la:[5]
- Se você conhece o comprimento do cateto menor (oposto ao ângulo de 30 graus), simplesmente multiplique o comprimento do cateto por 2 para descobrir o cateto da hipotenusa. Por exemplo, se o comprimento do menor cateto é igual a 4, você saberá que o comprimento da hipotenusa é igual a 8.
- Se você sabe o comprimento do cateto maior (oposto ao ângulo de 60 graus), multiplique-o por 2/√3 para descobrir o comprimento da hipotenusa. Por exemplo, se o comprimento do cateto maior é igual a 4, você saberá que o comprimento da hipotenusa é igual a 4,62.
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Entenda o que "seno" significa. Os termos "seno", "cosseno" e "tangente" se referem a diversas proporções entre ângulos ou lados de um triângulo retângulo. Em um triângulo retângulo, o seno de um ângulo é definido como o comprimento do lado oposto ao ângulo dividido pela hipotenusa do triângulo. A abreviação para o seno encontrada em equações e calculadoras é representada por sen ou sin.[6]
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Aprenda a calcular o seno. Mesmo uma calculadora científica básica terá uma função seno. Busque por uma tecla denominada sen. Para descobrir o seno de um ângulo, você geralmente pressionará a tecla sen e, a seguir, a medida do ângulo em graus. Em algumas calculadoras, no entanto, é preciso inserir primeiramente a medida do ângulo e só então pressionar a tecla sen. Você precisará fazer alguns experimentos com a calculadora ou conferir seu manual, para descobrir qual caminho tomar.
- Para descobrir o seno de um ângulo de 80 graus, será necessário pressionar sen 80 e, então, o sinal de igual ou a tecla "Enter" — ou, então, 80 sen. A resposta é igual a -0,9939.
- Você pode também pesquisar online por "calculadora seno" e usar uma das diversas calculadoras disponíveis, eliminando a necessidade de adivinhações.[7]
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Aprenda a Lei dos Senos. A Lei dos Senos é uma útil ferramenta na solução trigonométrica. Ela pode, em particular, ajudá-lo a descobrir o comprimento da hipotenusa de um triângulo retângulo se você conhece o comprimento de um dos lados e a medida de um ângulo, além do reto. Para qualquer triângulo com catetos a, b e c e ângulos A, B e C, a Lei dos Senos afirma que a / sen A = b / sen B = c / sen C.[8]
- A Lei dos Senos pode ser usada na resolução de qualquer triângulo, mas somente um triângulo retângulo terá uma hipotenusa.
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Defina as variáveis a, b e c como os catetos de seu triângulo. A hipotenusa (lado maior) deve ser representada por "c". Para maior simplificação, nomeie o lado com o comprimento conhecido como "a" e o outro como "b". A seguir, defina as variáveis A, B e C como sendo os ângulos do triângulo. O ângulo reto oposto à hipotenusa será representado por "C". O ângulo oposto ao lado "a" será representado por "A" e, por fim, o ângulo oposto ao lado "b" será representado por "B".
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Calcule a medida do terceiro ângulo. Uma vez que se trata de um triângulo retângulo, você já sabe que C = 90 graus, além de conhecer as medidas de A e B. Como a medida de ângulo interno em um triângulo deve sempre resultar em 180 graus, você pode calcular facilmente a medida do terceiro ângulo com a seguinte forma: 180 - (90 + A) = B. Você pode também reverter a equação, de modo que 180 - (90 + B) = A.
- Por exemplo, se você sabe que A = 40 graus, pode-se dizer que B = 180 - (90 + 40). Simplifique esse resultado para B = 180 – 130, e você poderá determinar rapidamente que B = 50 graus.
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Examine o seu triângulo. Nesse ponto, você deve conhecer as medidas em graus de todos os três ângulos, além do lado a. Agora é o momento de inserir essas informações na equação da Lei dos Senos a fim de determinar os comprimentos dos outros dois lados.
- Para continuar o exemplo anterior, digamos que o comprimento do lado a = 10. O ângulo C = 90 graus, o ângulo A = 40 graus e o ângulo B = 50 graus.
7
Aplique a Lei dos Senos em seu triângulo. Nós precisamos apenas inserir os números na equação e resolvê-la para determinar o comprimento da hipotenusa c: comprimento do lado a / sen A = comprimento do lado c / sen C. Isso pode parecer um pouco intimidador, mas o seno de 90 graus é uma constante, e sempre será igual a 1! A nossa equação, logo, será simplificada para: a / sen A = c / 1 ou, ainda, apenas a / sen A = c.
8
Divida o comprimento do lado a pelo seno do ângulo A, para descobrir o comprimento da hipotenusa! Você pode fazê-lo de dois modos separados: calculando o seno de A, inicialmente, e escrevendo-o, dividindo-o por a em seguida; ou, ainda, inserir todos os dados em uma calculadora e obter a resposta — nesse último caso, lembre-se de incluir parênteses depois do sinal de divisão. Por exemplo, insira 10 / (sen 40) ou 10 / (40 sen), dependendo do modelo da calculadora.
- Em nosso exemplo, descobrimos que o seno de 40 = 0,64278761. Para descobrir o valor de c, simplesmente dividiremos o comprimento de a por esse número, chegando à conclusão de que 10 / 0,64278761 = 15,6, o comprimento de nossa hipotenusa!
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Qual é o ângulo de um triângulo?

Como a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180 graus, então os outros dois ângulos medem 90 graus. Nota: Se a soma de dois ângulos mede 90 graus, estes ângulos são denominados complementares, assim, podemos dizer que o triângulo retângulo possui dois ângulos complementares.

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