Qual a probabilidade de obter um número menor do que 3 no lançamento de um dado honesto?

Resposta Questão 1

O espaço amostral do lançamento de dois dados contém os seguintes pares de resultados:

(1,1); (1,2); (1,3); (1,4); (1,5); (1,6)
(2,1); (2,2); (2,3); (2,4); (2,5); (2,6)
(3,1); (3,2); (3,3); (3,4); (3,5); (3,6)
(4,1); (4,2); (4,3); (4,4); (4,5); (4,6)
(5,1); (5,2); (5,3); (5,4); (5,5); (5,6)
(6,1); (6,2); (6,3); (6,4); (6,5); (6,6)

a) Incorreta!
As combinações de números inferiores a três são: (1,1); (1,2); (2,1); (2,2). Assim, o número de elementos do evento é quatro e o número de elementos do espaço amostral é 36. A probabilidade de saírem dois números menores que três é de:

P =  4  = 1
      36    9

Aproximadamente, 11,11%.

b) Incorreta!
Evento é um conjunto de resultados possíveis. O lançamento de dois dados é um experimento aleatório.

c) Incorreta!
Como foi dito anteriormente, o espaço amostral possui 36 elementos.

d) Incorreta!
Os resultados possíveis em que os dois dados apresentam números ímpares somam nove possibilidades em 36 do espaço amostral. Portanto, a probabilidade é de:

P =  9  = 1
      36     4

Isto é, a probabilidade é igual a 25%.

e) Correta!
São seis os resultados possíveis nos quais os valores obtidos nos dados são iguais. Assim:

P =  6  = 1
      36    6

O que representa aproximadamente a 16,6%.

Gabarito: Letra E.

Resposta Questão 2

a) Incorreta!
O espaço amostral possui 52 elementos, ou seja, mesmo número de elementos do próprio baralho.

b) Incorreta!
O evento possui dois elementos: cada uma das cartas que foi retirada.

c) Correta!

d) Incorreta!
O evento complementar é extrair 52 cartas.

e) Incorreta!
Cada carta representa um ponto amostral único nesse experimento aleatório.

Gabarito: Letra C.

Resposta Questão 3

Os múltiplos de cinco, entre 1 e 50, são: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45 e 50, portanto, são dez elementos. O evento complementar de “sair múltiplo de cinco” é “não sair múltiplo de cinco”. Para calculá-lo, basta usar a fórmula:

P(EC) = 1 – P(E)

P(EC) = 1 – 10
                  50

P(EC) = 1 – 0,2

P(EC) = 0,8 = 80%

A probabilidade de um dos amigos de Luiz não ser sorteado é de 80%.

Gabarito: Letra A.

Resposta Questão 4

Os números maiores que 49 são todos a partir do 50. Por isso, o número de elementos do evento é igual a 200. Como o espaço amostral possui 250 elementos, a probabilidade é de:

P = 200 = 0,8 = 80%
250             

Gabarito: Letra B.

Probabilidade - Conceito de Probabilidade

Experimento Aleatório

Quando estudamos Probabilidade, chamamos qualquer experiência ou ensaio cujo resultado não pode ser previsto de experimento aleatório. Por exemplo, lançar um dado e observar o número da face voltada para cima.

Chama-se de espaço amostral o conjunto formado por todos os resultados possíveis na realização de um experimento aleatório.

Evento é qualquer subconjunto do espaço amostral. Um exemplo de um evento é obter cara (ou coroa) no lançamento de uma moeda.

A probabilidade de um evento é definida como:

onde n(A) é o número de possibilidades de ocorrência do evento A e n(W) é o número de elementos do conjunto W (espaço amostral).

Exemplo

No lançamento de um dado qual é a probabilidade de sair um número par?

Num dado, há três possibilidades de número par: 2, 4, 6.

Portanto, A = (2, 4, 6)

Um dado contém 6 números. Portanto, o número de elementos do conjunto W (espaço amostral) é 6:

W=(1, 2, 3, 4, 5, 6)

Note que 

Probabilidade de eventos independentes

Dois eventos, A e B, são chamados de independentes quando a ocorrência de um evento não tem qualquer efeito sobre o outro. Por exemplo, se lançarmos um dado duas vezes, a probabilidade de sair o número 4 no primeiro lance é 1/6. A probabilidade de sair o número 5 no segundo lance também é 1/6. O resultado do primeiro lance não afeta o resultado do segundo. Os dois lances – esses dois eventos – são independentes.

Se dois eventos, A e B, são independentes, a probabilidade de ambos ocorrerem é o produto da probabilidade individual de cada um.

Isto é: P (A e B) = P(A) x P (B).

Exemplo

Um único dado é lançado duas vezes. Qual a probabilidade de sair o número 5 em ambos os lances?

Resposta

A probabilidade que saia o número 5 no primeiro lance é 1/6. Este resultado não afeta o resultado do segundo lance, pois são eventos independentes. A probabilidade que saia o número 5 no segundo lance também é 1/6. Portanto, a probabilidade que saia dois 5s consecutivos é: 1/6 x 1/6 = 1/36.

Probabilidade de eventos exclusivos

Dois eventos, A e B, são mutuamente exclusivos se eles não puderem ocorrer simultaneamente: P (A e B) = 0.

Se dois eventos são mutuamente exclusivos (A ou B), a probabilidade que A ou B ocorra é definida como a soma de suas probabilidades.

Isto é: P(A ou B)= P(A)+P(B).

Exemplos

Se um dado é lançado uma só vez, qual a probabilidade que saia 5 ou 6?

Resposta

Toda vez que se lança um dado, sai apenas um número. Não é possível que num único lance saia dois números simultaneamente. Neste exemplo, os dois eventos (sair 5 e sair 6) são mutuamente exclusivos. A probabilidade que saia 5 é 1/6. A probabilidade que saia 6 também é 1/6. A probabilidade que saia 5 ou 6 é: 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3.

Probabilidade de ocorrer a união de eventos

Dois eventos, A e B, são inclusivos quando é possível que ocorra A, B ou ambos. Se dois eventos, A e B, são inclusivos, a probabilidade que ocorra A ou B é a soma de suas probabilidades menos a probabilidade que ambos ocorram.

Isto é: P (A ou B ou ambos) = P(A) + P (B) – P (A e B)

Exemplo

Se um dado é lançado, qual é a probabilidade de se obter um número par ou um número maior que 3?

Resposta

Quando um dado é lançado, é possível que saia um número par e é possível que saia um número maior que 3. Mas é também possível que saia um número que seja par e acima de 3. Por exemplo, o número 4 é par e maior que o número 3.

A probabilidade de se obter um número par é 1/2 (há 3 números pares e 3 números impares).

A probabilidade de se obter um número acima de 3 é 1/2, pois há 3 possibilidades: os números 4, 5 ou 6.

A probabilidade de se obter um número que é par e acima de 3 é 1/3, já que há duas de seis possibilidades: 4 e 6. (O número 5 não é par e os outros números são menores que 3).

Portanto, a probabilidade de se obter um número que seja par ou acima de 3 é:

P(número par ou acima de 3 ou ambos): 1/2 +1/2 - 1/3 = 2/3.

Probabilidade Condicional

Agora considere dois eventos, A e B, e a probabilidade de ocorrer o evento B é afetada pela ocorrência do evento A. Neste caso, ocorre probabilidade condicional.

A probabilidade condicional de que o evento B ocorra se o evento A ocorrer, é definida da seguinte forma:

Exemplo

Uma confeitaria produziu 160 sobremesas. 80 dessas sobremesas contêm chocolate, 60 contêm chantili e 20 contêm ambos. Se uma sobremesa for selecionada randomicamente, qual é a probabilidade de ela conter chocolate? Qual é a probabilidade de a sobremesa conter chocolate e chantili sendo que ela já contém chantili?

Resposta

A probabilidade de a sobremesa conter chocolate é:

P(chocolate) = 100/160 = 5/8

O fato de a sobremesa já conter chantili reduz o espaço amostral para 60 (há 60 sobremesas que contêm chantili). Neste grupo, há 20 sobremesas que contêm chocolate e chantili; portanto, a probabilidade de que seja selecionada uma sobremesa que contenha esses dois ingredientes é 20/60 = 1/3.

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