Qual é o gráfico que representa essa equação?

Transcrição de vídeo

RKA - Crie um gráfico da equação linear 5x mais 2y, igual a 20. A reta é, essencialmente, o conjunto de todas as coordenadas, todos os "x" e "y" que satisfazem essa equação. Para deixar as coisas simples, vamos criar uma tabela para colocar os valores de "x", depois descobrir o valor de "y" correspondente com base nessa relação. Mas, para deixar as coisas um pouco mais simples, vou isolar o "y" aqui para deixar mais fácil de calcular o "y" para qualquer "x". Portanto, temos 5x mais 2y, igual a 20. Se queremos calcular "y", vamos apenas nos livrar do 5x no lado esquerdo, vamos subtrair 5x dos dois lados dessa equação. No lado esquerdo, esses caras aqui se anulam, temos 2y é igual ao lado direito, onde temos 20 menos 5x. Então, podemos dividir os dois lados dessa equação por 2. Vamos dividir os dois lados por 2. No lado esquerdo temos apenas um "y" e do lado direito poderíamos deixar assim. Isso seria uma maneira realmente bem simples de deixar as coisas, mas poderíamos também fazer 20 dividido por 2 é 10 e 5x sobre 2, ou menos 5 meios vezes "x". Veja bem, já que estamos fazendo assim, vamos usar alguns valores de "x" e obter os valores correspondentes de "y" e colocá-los no gráfico. Vou colocar isso numa nova cor, vamos ver. Um tom de amarelo um pouco diferente. A gente tem os valores de "x" e vamos pensar sobre qual é o valor correspondente de "y". Vou começar. Bom, eu posso começar por qualquer lugar. Vou começar com "x" igual a zero porque isso vai manter as coisas bem simples. Se "x" é igual a zero, então, "y" é igual a 10 menos 5 meios vezes zero, que é igual a, 5 meios vezes zero é igual a zero. Então, temos só 10 menos 10, ou seja, 10. Isso nos dá as coordenadas do ponto (0, 10). Quando "x" é igual a zero, "y" é igual a 10. "x" é zero, então, ele vai ficar aqui no meio do eixo "x". Vamos colocar a coordenada "y" em 10. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Ele vai ficar aqui. Esse é o ponto (0, 10). Vamos fazer outro ponto. Digamos que "x" seja igual a 2. Vou escolher múltiplos de 2 para a gente ter uma resposta boa aqui. Quando "x" for 2, "y" será igual a 10 menos 5 meios, vezes 2, 2 no denominador, anula o 2 no numerador. Então, podemos simplificar para 10 menos 5, ou apenas 5. Isso irá nos dizer o ponto, "x" igual a 2 e "y" igual a 5, está na reta. Então, temos 2. "x" é igual a 1, 2, bem aqui, e "y" igual a 5, subimos até 5. 1, 2, 3, 4, 5, assim. Esse é o ponto (2, 5). Para desenhar uma reta, a gente só precisa de dois pontos. Na verdade, se tiver uma régua ou qualquer objeto com borda reta, pode simplesmente ligar os dois pontos. Se fizermos isso certo, todos os pontos na reta devem satisfazer essa equação. Só para praticar um pouco mais, vou obter mais alguns pontos. Então, vamos fazer, digamos que "x" seja igual a 4. "y" será igual a 10 menos 5 meios, vezes 4. Isso é igual a 5 meios vezes 4, que é igual a 20, dividido por 2 que é igual a 10. Certo? Porque o 2, dividimos o denominador por 2 e ficamos com 1, dividimos o numerador por 2 e ficamos com 2, ou 4 meios é a mesma coisa que 2. Por isso, temos 2 vezes 5, que é igual a 10. 10 menos 10 é zero. Então, o ponto (4, 0) está na nossa reta. Assim, "x" é 1, 2, 3, 4, e "y" é zero. Então, não precisamos subir nada, temos 4 e zero. Poderia continuar, posso tentar com outros pontos. Você pode fazer mais se quiser, mas isso é o bastante. Apenas dois valores teriam sido suficientes para desenhar a reta no plano cartesiano. Vamos desenhá-lá, eu vou desenhar em branco, a reta ficaria mais ou menos assim. A reta ficaria assim. E eu poderia continuar nas duas direções. E aí está! Esse é o gráfico da nossa equação linear, e toda equação linear representa uma reta no plano cartesiano. Vamos fazer a reta. Minha reta está um pouco mais grossa, caso a primeira reta tenha ficado difícil de visualizar. Talvez seja melhor fazer uma reta mais grossa. Essa é a ideia!

Transcrição de vídeo

RKA - Digamos que tenho a equação "y = x + 3", e quero fazer um gráfico que contenha todos os conjuntos, todas as coordenadas "x" e "y" que satisfaçam aquela equação. E já fizemos isso muitas vezes, então, traçamos o eixo... os eixos... Esse é o meu eixo "y"; este é o meu eixo "x". E isso já está no formato "mx + b", ou na forma de equação reduzida da reta. A intersecção em "y" é "y = 3", e o coeficiente angular é 1. Essa reta vai ficar assim: tem a intersecção em (0, 3) ...um, dois, três... em (0, 3), e tem o coeficiente angular de 1. Para cada 1 que nos movemos para a direita, subimos 1. A reta vai ficar, mais ou menos, assim... é uma boa aproximação... a reta vai ficar assim. E lembre-se de que, quando estou traçando a reta, cada ponto nesta reta é uma solução para esta equação, ou ela representa um par (x, y) que satisfaça esta equação. Talvez... Quando você tem... "x = 5", vai até a reta e verá que, quando "x" é igual a 5 naquela reta, "y" é igual a 8. Essa é a solução; e estará na reta. Então, isso representa o conjunto de soluções para esta equação, todas as coordenadas que satisfaçam "y = x + 3". Digamos que tenha outra equação... digamos que tem uma equação "y = -x + 3". E a gente quer fazer o gráfico de todos os pares (x, y) que satisfaçam esta equação. Dá para fazer o mesmo. Isso tem uma intersecção em "y" em 3 também, mas seu coeficiente angular é "-1". Então, vai ficar, mais ou menos, assim: Cada vez que se movimenta para a direita, desce 1; ou, se você se movimentar muito para a direita, vai descer muito na mesma medida. Esta equação vai ficar assim: cada ponto nesta reta representa um par (x, y) que irá satisfazer esta equação. Agora, se eu perguntar, existe um par (x, y) que satisfaça as duas equações? Existe um ponto ou coordenada que satisfaça as duas equações? Vamos pensar. Tudo que satisfaz essa primeira equação está nesta reta verde; e tudo que satisfaz esta equação roxa está na reta roxa. Então, o que satisfaz as duas? Se tem um ponto que está nas duas retas, ou, basicamente, um ponto de intersecção das retas. Nesta situação, esse ponto está nas duas retas. Essa é a intersecção em "y", o ponto (0, 3) está nas duas retas. Então, esse par de coordenadas, ou esse par (x, y), deve satisfazer as duas equações. E você pode experimentar. Quando x é 0 aqui, "0 + 3" é igual a 3. Quando x é 0 aqui, "0 + 3" é igual a 3. Satisfaz as duas equações. O que acabamos de fazer, de forma gráfica, é solucionar um sistema de equações. Isso quer dizer que temos várias equações; cada uma delas restringe os nossos "x" e "y". Neste caso, a primeira é "y = x + 3"; e a segunda é "y = -x + 3" Isto a restringiu a uma reta no plano xy; e isso restringiu o nosso conjunto de soluções a uma outra reta no plano xy. E, se quiser saber os "x" e "y" que satisfaçam as duas, será a intersecção dessas duas retas. Uma forma de solucionar esses sistemas de equações é fazer o gráfico das duas retas (das duas equações) e verificar suas intersecções. Essa será a solução das duas equações. Nos próximos vídeos, a gente vai ter outras formas de solucionar que, talvez, sejam mais matemáticas e menos gráficas. Mas, realmente, gostaria que entendesse a natureza gráfica de solucionar sistemas de equações. Vamos fazer mais um. Digamos que tem "y = 3x - 6"; essa é uma das nossas equações. Digamos que a outra seja "y = -x + 6". E, da mesma forma que no último vídeo, vamos fazer o gráfico das duas. Vou tentar fazer da forma mais precisa possível. Muito bem, aí está. Vou desenhar algumas... um, dois, três, quatro, cinco, seis, sete, oito, nove, dez... um, dois, três, quatro, cinco, seis, sete, oito, nove, dez... e um, dois, três, quatro, cinco, seis, sete, oito... eu deveria ter copiado e colado um papel quadriculado aqui, mas acho que vai dar certo. Vamos fazer o gráfico desta equação roxa. A intersecção em "y" é "-6"; então, temos que contar os tracinhos. Um, dois, três, quatro, cinco, seis. Então, é "y = -6", e o coeficiente angular é "3". Cada vez que movimentar 1, sobe 3. Você se moveu 1 para a direita, andou 1, e vai subir... um, dois, três... 3, certo? Um, dois, três. A equação, a reta, vai ficar assim; e parece que a intersecção está no ponto (2, 0), o que está correto. 3 vezes 2 é 6. -6 é 0. Nossa reta vai ficar como aquilo. Aquela é a nossa reta. E esta reta? Nossa intersecção em "y" é mais "+6"... (um, dois, três, quatro, cinco, seis)... e o coeficiente angular é "-1". Cada vez que nos movemos 1 para a direita, descemos 1. Isso terá intersecção em... quando "y" é igual a 0, "x" é igual a 6. Um, dois, três, quatro, cinco, seis. Então, bem aqui. Essa reta vai ficar assim. Eu quero que o gráfico fique o mais exato possível. Vamos fazer a mesma pergunta: qual é o par (x, y) que satisfaz essas duas equações? Olha, aqui, e será esse ponto. Esse ponto está nas duas retas. E vamos ver se conseguimos determinar que ponto é esse. Só de dar uma olhada no gráfico, parece que estamos em... um, dois, três... e... um, dois, três... parece que esse é o mesmo ponto, (3, 3). Estou fazendo isso só olhando para os gráficos feitos à mão. Talvez não seja exato; vamos verificar a resposta. Vamos ver se "x = 3" e "y = 3", definitivamente, satisfaz essas duas equações Se checarmos na primeira equação, tem: 3 é igual a 3 vezes 3 menos 6. Isso é 9 menos 6, que é 3. (3, 3) satisfaz a equação de cima. Vamos ver se satisfaz a equação de baixo; tem: 3 é igual a "-3" mais 6, e "-3" mais 6 é 3. Então, mesmo com o nosso gráfico feito à mão, pudemos inspecionar e verificar que, sim, dá para determinar o ponto (3, 3), e que ele satisfaz essas duas equações. Conseguimos solucionar esse sistema de equações. Quando falamos em sistema de equações, queremos dizer muitas equações que têm muitos fatores desconhecidos Não necessariamente, mas, em geral, elas têm mais do que um fator desconhecido; e você usa cada equação como uma restrição nas suas variáveis e tenta achar a intersecção das equações para ter uma solução para todas elas. Nos próximos vídeos, usaremos métodos algébricos para solucionar isto, em vez de traçar dois gráficos e tentar achar os pontos de intersecção.

Como fazer gráficos de equações?

Como colocar uma equação no plano cartesiano?

Qual é a representação gráfica de uma equação linear?