Retas paralelas cortadas por uma transversal exercícios DOC

Para analisar as duas retas paralelas r e s cortadas pela duas retas transversais t e u, faremos as marcações coloridas de ângulos que podem ser identificados na figura:

Observe que o ângulo de 20° e o ângulo y, destacados em vermelho, podem ser classificados como alternos externos, pois estão em lados “alternados” à reta u e são “externos” às retas r e s, portanto, podemos afirmar que esses ângulos possuem a mesma medida, isto é, y = 20°.

Podemos ainda afirmar que o ângulo x', destacado em verde, é correspondente ao ângulo x, sendo então de mesma medida (x = x'). Temos ainda também que os ângulos x' e 70° são suplementares, logo:

x' + 70° = 180°
x' = 180° – 70°
x' = 110°
x = 110°

A soma x + y resulta em 130°, e a alternativa correta é a letra c.

Chamamos de retas paralelas duas retas distintas que possuem os mesmos coeficientes angulares e coeficientes lineares diferentes. As retas paralelas não se cruzam, portanto não há pontos em comuns entre elas e a distância entre elas são sempre iguais.

Retas paralelas cortadas por uma transversal

Euclides propôs que a condição para que duas retas sejam paralelas é uma reta transversal, não perpendicular, que corta às duas formando ângulos alternados congruentes.

Essa proposição de Euclides pode ser visto na imagem a seguir:

Seja duas retas r e s, paralelas entre si e uma transversal t, não perpendicular a r e s. Temos que os 8 (oito) ângulos formados pela reta transversal com as retas r e s, quatro deles serão agudos (α) e congruentes (mesma medida), os outros quatro serão obtusos (β) e congruentes. Além disso, os ângulos obtusos e agudos serão suplementares (medem 180°).

Os ângulos β (beta) tem medidas iguais, assim como os ângulos α (alfa). E a soma de α + β é 180°, dessa forma eles são suplementares.

Os ângulos formados pelas retas paralelas com a transversal são nomeados como: ângulos correspondentes, alternos e colaterais

Os ângulos correspondentes são aqueles que possuem as mesmas medidas e ocupam a mesma posição. Na imagem os ângulos α e β, além de ocuparem a mesma posição, são congruentes.

Ângulos Alternos

Os ângulos alternos são os ângulos que estão em lados opostos. Os ângulos α e β estão em lados diferentes da reta transversal. Além disso, os ângulos alternos são congruentes. Eles também podem está dentro ou fora das retas r e s.

Ângulos Colaterais

Os ângulos colaterais são aqueles que estão do mesmo lado da reta transversal, mas em posições diferentes. Eles não são congruentes. Porém, são suplementares, ou seja, a soma das suas medidas é igual a 180°.

Teorema de Tales

Seja as retas paralelas a, b e c cortadas pelas retas transversais r e s. Como mostra a figura a seguir:

Tales afirma que quando um feixe de retas paralelas são cortadas por duas retas transversais, os segmentos formados nas retas transversais são proporcionais.

Observando a imagem acima, os segmentos AB e DE, BC e EF e AC e DF são segmentos proporcionais. Assim, segundo o Teorema de Tales, a razão entre os segmentos correspondentes nas duas transversais é constante, então:

Exercícios Resolvidos sobre retas paralelas

1) Encontre os valores para x e y que corresponde as medidas dos ângulos na figura:

Resolução:

Ao analisar a imagem percebe-se que x e 60° são ângulos alternos. Em retas paralelas cortadas por uma transversal os ângulos alternos são congruentes. Portanto, x = 60°

O ângulo ao lado de y é correspondente ao ângulo de 60°, dessa forma podemos encontrar a medida de y assim:

Como y e 60° são suplementares, a soma deles mede 180°.

y = 180° – 60° = 120°

2) Dadas as equações gerais das retas r e s a seguir, verifique se elas são paralelas entre si.

r: -2x + y + 2 = 0

s: -2x + y + 4 = 0

Resolução:

A equação de r e s pode ser escrita da seguinte forma:

r: y = arx + br

s: y = asx + bs

Duas retas são paralelas entre si se os seus coeficientes angulares são iguais: ar = as

Para responder à questão precisamos encontrar o coeficiente angular de cada reta através da equação de cada reta.

Coeficiente angular da reta r:

-2x + y + 2 = 0 ⇒

y = 2x – 2

mr = 2

Coeficiente angular da reta s:

-2x + y + 4 = 0 ⇒

y = 2x – 4

ms = 2

Assim, como os coeficientes angulares das retas r e s são iguais, temos que as duas retas são paralelas.

Exercícios

Acesse os exercícios no link a seguir: