EQUAÇÃO DO 2° GRAU Show Denomina-se equação do 2° grau, qualquer sentença matemática que possa ser reduzida à formaax2 + bx + c = 0, onde x é a incógnita e a, b e c são números reais, com a ≠ 0. a, b e c são coeficientes da equação. Observe que o maior índice da incógnita na equação é igual a dois e é isto que a define como sendo uma equação do segundo grau. EQUAÇÃO COMPLETA E INCOMPLETADa definição acima temos obrigatoriamente que a ≠ 0, no entanto podemos ter b = 0 e/ou c = 0.Caso b ≠ 0 e c ≠ 0, temos uma equação do 2° grau completa. A sentença matemática -2x2 + 3x - 5 = 0 é um exemplo de equação do 2° grau completa, pois temos b = 3 e c = -5, que são diferentes de zero. -x2 + 7 = 0 é um exemplo de equação do 2° grau incompleta, pois b = 0. Neste outro exemplo, 3x2 - 4x = 0 a equação é incompleta, pois c = 0. Veja este último exemplo de equação do 2° grau incompleta, 8x2 = 0, onde tanto b, quanto c são iguais a zero. RESOLUÇÃOA resolução de uma equação do segundo grau consiste em obtermos os possíveis valores reais para a incógnita, que torne a sentença matemática uma equação verdadeira. Tais valores são a raiz da equação FÓRMULA GERAL Para a resolução de uma equação do segundo grau completa ou incompleta, podemos recorrer à fórmula geral de resolução: Esta fórmula também é conhecida como fórmula de Bhaskara. O valor b2 -4ac é conhecido como discriminante da equação e é representado pela letra grega Δ. Temos então que Δ = b2 -4ac, o que nos permitir escrever a fórmula geral de resolução como: RESOLUÇÃO INCOMPLETAPara a resolução de equações incompletas podemos recorrer a certos artifícios. Vejamos: Para o caso de apenas b = 0 temos: Portanto para equações do tipo ax2 + c = 0, onde b = 0, podemos utilizar a fórmula simplificada para calcularmos as suas raízes. Observe no entanto que a equação só possuirá raízes no conjunto dos números reais se .Para o caso de apenas c = 0 temos: Portanto para equações do tipo ax2 + bx = 0, onde c = 0, uma das raízes sempre será igual a zero e a outra será dada pela fórmula . Para o caso de b = 0 e c = 0 temos: Podemos notar que ao contrário dos dois casos anteriores, neste caso temos apenas uma única raiz real, que será sempre igual a zero. Discriminante da equação do 2° grauO cálculo do valor do discriminante é muito importante, pois através deste valor podemos determinar o número de raízes de uma equação do segundo grau. Como visto acima, o discriminante é representado pela letra grega Δ e equivale à expressão b2 - 4ac, isto é:Δ = b2 - 4ac. Discriminante menor que zeroCaso Δ < 0, a equação não tem raízes reais, pois : Discriminante igual a zeroCaso Δ = 0, a equação tem duas raízes reais e iguais, pois : Discriminante maior que zeroCaso Δ > 0, a equação tem duas raízes reais e diferentes, pois : Conjunto Verdade de equações do 2° grauA partir do estudado acima, podemos esquematizar o conjunto verdade das equações do segundo grau completas e incompletas como a seguir: Para o caso das equações completas temos: Para o caso das equações incompletas onde somente b = 0 temos: Para o caso das equações incompletas onde somente c = 0 temos: E no caso das equações incompletas onde tanto b = 0, quanto c = 0 temos: Exemplo de resolução de uma equação do segundo grau Encontre as raízes da equação: 2x2 - 6x - 56 = 0 Aplicando a fórmula geral de resolução à equação temos: Observe que temos duas raízes reais distintas, o que já era de se esperar, pois apuramos para Δ o valor 484, que é maior que zero. Logo: As raízes da equação 2x2 - 6x - 56 = 0 são: -4 e 7. EXERCÍCIOS 1) RESOLVA AS SEGUINTES EQUAÇÕES a) x² + 9 x + 8 = 0 (R:-1 e -8)
2) RESOLVA AS EQUAÇÕES DE 2º GRAU 1) x² - 5x + 6 = 0 _____(R:2,3)
3) RESOLVA AS EQUAÇÕES a) x² - 7x = 0 (R: 0 e 7) b) x² + 5x = 0 (R: 0 e -5)
4) CALCULE
PROBLEMAS COM EQUAÇÃO DO 2° GRAU 1) A soma de um numero com o seu quadrado é 90. Calcule esse numero. (R:9 e-10) 2) A soma do quadrado de um número com o próprio número é 12. Calcule esse numero (R: 3 e -4)
4) A diferença entre o quadrado e o dobro de um mesmo número é 80. Calcule esse número (R:10 e -8) 5) O quadrado de um número aumentado de 25 é igual a dez vezes esse número. Calcule esse número (R: 5) 6) A soma do quadrado de um número com o seu triplo é igual a 7 vezes esse número. Calcule esse número.(R: 0 e 4) 7) O quadrado menos o quádruplo de um numero é igual a 5. Calcule esse número (R: 5 e -1) 8) O quadrado de um número é igual ao produto desse número por 3, mais 18. Qual é esse numero? (R: 6 e -3) 9) O dobro do quadrado de um número é igual ao produto desse numero por 7 menos 3. Qual é esse numero? (R:3 e ½) 10) O quadrado de um número menos o triplo do seu sucessivo é igual a 15. Qual é esse numero?(R: 6 e -3) 11) Qual o número que somado com seu quadrado resulta em 56? (R:-8 e 7) 12) Um numero ao quadrado mais o dobro desse número é igual a 35. Qual é esse número ? (R:-7 e 5) 13) O quadrado de um número menos o seu triplo é igual a 40. Qual é esse número? (R:8 e -5) 14) Calcule um número inteiro tal que três vezes o quadrado desse número menos o dobro desse número seja igual a 40. (R:4) 15) Calcule um número inteiro e positivo tal que seu quadrado menos o dobro desse número seja igual a 48. (R:8) 16) O triplo de um número menos o quadrado desse número é igual a 2. Qual é esse número? (R:1 e 2) 17) Qual é o número , cujo quadrado mais seu triplo é igual a 40? ( R: 5 , -8) 18) O quadrado de um número diminuido de 15 é igual ao seu dobro. Calcule esse número. (R: 5 e -3) 19) Determine um número tal que seu quadrado diminuído do seu triplo é igual a 28. (R:7 e -4) 20) Se do quadrado de um número, negativo subtraimos 7, o resto será 42. Qual é esse número? (R: -7) 21) A diferença entre o dobro do quadrado de um número positivo e o triplo desse número é 77. Calcule o número. (R: 7) 22) Determine dois números ímpares consecutivos cujo produto seja 143. (R: 11 e 13 ou -11, -13) 23) Um azulejista usou 2000 azulejos quadrados e iguais para revestir 45m² de parede. Qual é a medida do lado de cada azulejo? (R:15 cm) |